北师大版七年级下册题有何特点？

校园之窗 2026年1月13日 07:29:43 99ANYc3cd6 1 0

下面我将为你提供一个全面的复习指南，包括各章节核心知识点、典型例题、易错点分析以及备考建议,希望能帮助你更好地掌握这部分内容。

第一章：相交线与平行线

这是初中几何的入门,重点在于理解概念和掌握基本性质。

（图片来源网络，侵删）

核心知识点

相交线
- 邻补角：有公共顶点，一条公共边，另一边互为反向延长线，互补（和为180°）。
- 对顶角：有公共顶点，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线,相等。
- 垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
三线八角
- 同位角：在两条直线（被截线）的同侧，在第三条直线（截线）的同旁。（F型）
- 内错角：在两条直线（被截线）之间，在第三条直线（截线）的两侧。（Z型）
- 同旁内角：在两条直线（被截线）之间，在第三条直线（截线）的同旁。（C/U型）
- 核心：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），那么这两条直线平行。
平行线的性质与判定
- 性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
- 判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补 ⇒ 两直线平行。
- 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
平移
（图片来源网络，侵删）
- 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形运动称为平移。
- 性质：
  - 平移不改变图形的形状和大小。
  - 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

典型例题

例1： 如图，直线 a 与 b 被直线 c 所截，已知 ∠1 = 50°，∠2 = 130°，判断 a 与 b 的位置关系,并说明理由。

      c
      /
     /
    /
   a ---------------
   \             /
    \           /
     \         /
      b ---------------

(示意图，∠1和∠2是同旁内角)

解： a 与 b 平行。理由：因为 ∠1 + ∠2 = 50° + 130° = 180°， ∠1 和 ∠2 是同旁内角且互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，a ∥ b。

第二章：实数

本章引入了无理数,将数域从有理数扩展到实数。

（图片来源网络，侵删）

核心知识点

算术平方根
- 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 √a。
- 性质：√a ≥ 0（算术平方根具有非负性）；√(a²) = |a|。
平方根
- 定义：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根）。
- 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
- 表示：a 的平方根记作 ±√a。
立方根
- 定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或三次方根）。
- 性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0,立方根只有一个。
- 表示：a 的立方根记作 ³√a。
实数
- 分类：
  - 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。
  - 无理数：无限不循环小数（如 , √2, √3 等）。
- 数轴上的点：实数与数轴上的点一一对应。
- 大小比较：在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
实数的运算

加减乘除、乘方、开方（平方根、立方根）运算在有理数范围内成立的运算法则和运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用。

典型例题

例2： 求下列各式的值： (1) √16 (2) ±√(25/9) (3) ³√(-64) (4) √(3²) + |√2 - 1|

解： (1) √16 是16的算术平方根，√16 = 4。 (2) ±√(25/9) 是 25/9 的平方根，±√(25/9) = ±5/3。 (3) ³√(-64) 是 -64 的立方根，³√(-64) = -4。 (4) √(3²) + |√2 - 1| = |3| + (√2 - 1) = 3 + √2 - 1 = 2 + √2。 (注意：√2 > 1,所以绝对值可以直接去掉)

第三章：位置的确定

本章是函数和解析几何的基础,核心是坐标系。

核心知识点

平面直角坐标系
- 坐标：平面内的点可以用有序实数对 (x, y) 来表示，x 是横坐标，y 是纵坐标。
- 象限：坐标轴将平面分为四个象限，点 (x, y) 所在象限的符号特征：
  - 第一象限 ()
  - 第二象限 ()
  - 第三象限 ()
  - 第四象限 ()
- 特殊点的坐标：
  - 原点 (0, 0)
  - x轴上的点 (x, 0)
  - y轴上的点 (0, y)
对称点的坐标
- x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。(x, y) → (x, -y)
- y 轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。(x, y) → (-x, y)
- 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数。(x, y) → (-x, -y)
图形与坐标
- 用坐标表示地理位置。
- 用坐标表示平移：图形沿 x 轴平移 a 个单位，横坐标 ±a；沿 y 轴平移 b 个单位，纵坐标 ±b。（右+左-，上+下-）

典型例题

例3： 已知点 A(2, -3)，B(-4, 5)。 (1) 点 A 在第象限，点 B 在第象限。 (2) 写出点 A y 轴的对称点 A' 的坐标。 (3) 将点 A 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点 A''，求 A'' 的坐标。

解： (1) 点 A(2, -3) 的横坐标为正，纵坐标为负，所以在第四象限。点 B(-4, 5) 的横坐标为负，纵坐标为正，所以在第二象限。

(2) 点 A y 轴对称，横坐标变号，纵坐标不变。 A' 的坐标是 (-2, -3)。

(3) 点 A(2, -3) 向左平移3个单位，横坐标变为 2 - 3 = -1。再向下平移2个单位，纵坐标变为 -3 - 2 = -5。 A'' 的坐标是 (-1, -5)。

第四章：一次函数

本章是整个初中数学的重点和难点,是函数学习的开端。

核心知识点

函数的概念
- 定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量。
正比例函数
- 解析式：y = kx (k ≠ 0)
- 图像：经过原点 (0, 0) 的一条直线。
- 性质：
  - k > 0 时，图像经过一、三象限,y随x的增大而增大。
  - k < 0 时，图像经过二、四象限,y随x的增大而减小。
一次函数
- 解析式：y = kx + b (k ≠ 0, b为常数)
- 图像：一条直线。
- 性质：
  - k（斜率）决定直线的倾斜方向和增减性。
    - k > 0,y随x的增大而增大。
    - k < 0,y随x的增大而减小。
  - b（截距）决定直线与y轴的交点坐标 (0, b)。
- 待定系数法：知道两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，可以列出方程组 {kx₁+b=y₁; kx₂+b=y₂} 来求 k 和 b,从而确定函数解析式。
一次函数与方程、不等式的关系
- 一次函数与一元一次方程：一次函数 y = kx + b 的图像与x轴的交点的横坐标，就是方程 kx + b = 0 的解。
- 一次函数与一元一次不等式：
  - kx + b > 0 的解集，就是函数 y = kx + b 的图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。
  - kx + b < 0 的解集，就是函数 y = kx + b 的图像在x轴下方部分对应的x的取值范围。

典型例题

例4： 已知一次函数的图像经过点 (1, 2) 和 (-1, -4)。 (1) 求这个一次函数的解析式。 (2) 当 x = 0 时，求 y 的值。 (3) 当 y > 0 时，求 x 的取值范围。

解： (1) 设解析式为 y = kx + b。将两点坐标代入，得： {k + b = 2; -k + b = -4} 解得：k = 3，b = -1。一次函数的解析式为 y = 3x - 1。

(2) 当 x = 0 时，y = 3×0 - 1 = -1。

(3) 令 y > 0，即 3x - 1 > 0。解得：x > 1/3。当 y > 0 时，x 的取值范围是 x > 1/3。

第五章：数据的代表

本章是统计学的基础,学习如何描述一组数据的集中趋势。

核心知识点

平均数
- 算术平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
- 加权平均数：x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + ... + xₖfₖ) / (f₁ + f₂ + ... + fₖ)，f 是每个数据的“权”（权重或频数）。
中位数
- 定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。
- 特点：不受极端值（特别大或特别小的数）的影响。
众数
- 定义：一组数据中出现次数最多的数据。
- 特点：可能不止一个,也可能没有。
平均数、中位数、众数的选用
- 平均数：充分利用了所有数据信息，但易受极端值影响,适用于数据分布比较均衡的情况。
- 中位数：不受极端值影响，在数据分布不对称或存在极端值时，能更好地反映数据的“中等水平”。
- 众数：反映了数据的“普遍情况”,适用于描述分类数据的集中趋势。