沪科版八年级数学上册期末试卷难点在哪？

校园之窗 2025年12月2日 09:14:56 99ANYc3cd6 1 0

沪科版八年级数学上册期末模拟试卷

（时间：120分钟满分：150分）

选择题（每题3分，共36分）

下列实数中,是无理数的是 A. 3.14 B. $\sqrt{9}$ C. $\frac{22}{7}$ D. $\sqrt{5}$
下列计算正确的是 A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $(2a)^3 = 6a^3$ D. $a^6 \div a^2 = a^4$
下列各点中,在一次函数 $y=2x-3$ 的图象上的是 A. (1, 1) B. (0, -3) C. (-1, 1) D. (2, -1)
下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰三角形
已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，且 $\angle A=50^\circ$，$\angle B=60^\circ$，则 $\angle F$ 的度数为 A. $50^\circ$ B. $60^\circ$ C. $70^\circ$ D. $80^\circ$
一次函数 $y=kx+b$ 的图象如图所示，则 $k$ 和 $b$ 的符号是

A. $k>0$, $b>0$
B. $k>0$, $b<0$
C. $k<0$, $b>0$
D. $k<0$, $b<0$

下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是 A. $a^2 + 4b^2$ B. $-x^2 + y^2$ C. $x^2 - 2xy + y^2$ D. $m^2 + n^3$
点 $P(-3, 4)$ $x$ 轴对称的点的坐标是 A. (3, 4) B. (-3, -4) C. (3, -4) D. (-4, 3)
已知 $a+b=5$, $ab=3$，则 $a^2+b^2$ 的值为 A. 19 B. 25 C. 31 D. 16
若一次函数 $y=(m-2)x + m+1$ 的图象经过第一、二、三象限，则 $m$ 的取值范围是 A. $m > 2$ B. $m > -1$ C. $m > 2$ 且 $m \neq -1$ D. $-1 < m < 2$
如图,在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，点 $D$ 在 $AC$ 上，且 $BD=BC$，若 $\angle A=40^\circ$，则 $\angle DBC$ 的度数为

A. $20^\circ$
B. $30^\circ$
C. $40^\circ$
D. $50^\circ$

已知 $a$, $b$ 满足 $(a-2)^2 + \sqrt{b-3} = 0$，则一次函数 $y=(a-1)x + b$ 的图象不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

填空题（每题3分，共18分）

计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。
一个正比例函数的图象经过点 $(2, -6)$，则这个函数的表达式为 \underline{\quad\quad}。
已知 $x^2 + kx + 49$ 是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值为 \underline{\quad\quad}。
如图,$\angle 1 = \angle 2$，要使 $\triangle ABC \cong \triangle DBE$，还需添加一个条件，这个条件可以是 \underline{\quad\quad}（只需写出一个）。

在平面直角坐标系中,将点 $A(1, 2)$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点 $A'$，则点 $A'$ 的坐标是 \underline{\quad\quad}。
观察下列等式： $1^3 = 1^2$ $1^3 + 2^3 = 3^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2$ ... 根据你发现的规律，计算 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = \underline{\quad\quad}$。

解答题（共96分）

(本题8分) 计算： $(1) \quad (2x^2)^3 - x^4 \cdot x^2$ $(2) \quad (a+2b)(a-2b) - (a-b)^2$
(本题8分) 因式分解： $(1) \quad 3ax^2 - 12axy + 12ay^2$ $(2) \quad x^3 - 4x$
(本题8分) 先化简，再求值：$(2a+b)(2a-b) - (2a-b)^2 + 8ab$，$a=1$, $b=-2$。
(本题10分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AD$。求证： (1) $\triangle ABD \cong \triangle ACD$； (2) $AD \perp BC$。

(本题10分) 已知一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $A(1, 4)$ 和点 $B(-2, -2)$。 (1) 求这个一次函数的表达式； (2) 画出这个函数的图象； (3) 判断点 $P(-1, 1)$ 是否在该函数的图象上，并说明理由。
(本题12分) 如图，点 $E$, $F$ 在线段 $BC$ 上，$BE=CF$，$AB=DC$，$\angle B=\angle C$。求证：$AF=DE$。

(本题12分) 某商店需要到120千米的某地采购一批商品，现有甲、乙两家运输公司可供选择，甲公司收费方式为：收取每千米1.5元的运输费；乙公司收费方式为：收取固定费用1000元，另外每千米再收取0.8元的运输费。 (1) 设该商店运输这批商品的路程为 $x$ 千米，请分别写出选择甲、乙两家公司的运输费用 $y_1$（元）和 $y_2$（元）与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当运输路程为多少千米时，选择甲、乙两家公司的运输费用相同？ (3) 结合函数图象，判断当运输路程为120千米时，选择哪家公司更省钱？
(本题14分) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = -x + 4$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A$、点 $B$，直线 $l_2: y = x$ 与 $x$ 轴交于点 $O$。 (1) 求点 $A$、点 $B$ 的坐标； (2) 求直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点 $C$ 的坐标； (3) 求 $\triangle ABC$ 的面积。

(本题14分) 阅读理解：我们定义：如果一个三角形有两边上的高相等，那么这个三角形是“等高三角形”。等腰三角形就是“等高三角形”。问题探究： (1) 判断命题“如果一个三角形是‘等高三角形’，那么它一定是等腰三角形”是否正确，并说明理由。 (2) 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 90^\circ$，$AB=BC$，$E$ 是 $AC$ 的中点，连接 $BE$ 并延长交 $AD$ 于点 $F$。 ① 求证：$BE=EF$。 ② 若 $AD=5$，$CD=3$，求线段 $DF$ 的长。

参考答案与解析

选择题

填空题 13. $\sqrt{3}$ 14. $y = -3x$ 15. $\pm 14$ 16. $AB=DB$ 或 $\angle C=\angle E$ 或 $AC=DE$ (写出一个即可) 17. $(-2, 0)$ 18. $30^2 = 900$

解答题

(1) 原式 $= 8x^6 - x^6 = 7x^6$。 (2) 原式 $= a^2 - 4b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 - 4b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = -5b^2 + 2ab$。
(1) 原式 $= 3a(x^2 - 4xy + 4y^2) = 3a(x-2y)^2$。 (2) 原式 $= x(x^2 - 4) = x(x+2)(x-2)$。
原式 $= (4a^2 - b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2) + 8ab$ $= 4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 + 8ab$ $= 12ab - 2b^2$。当 $a=1$, $b=-2$ 时，原式 $= 12 \times 1 \times (-2) - 2 \times (-2)^2 = -24 - 8 = -32$。
(1) 证明：在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中， $\begin{cases} AB = AC \quad (\text{已知}) \ BD = CD \quad (\text{D是BC的中点}) \ AD = AD \quad (\text{公共边}) \end{cases}$ $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SSS)。 (2) 由(1)可知 $\angle ADB = \angle ADC$。又因为 $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$ (平角定义)， $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。 $AD \perp BC$。
(1) 将 $A(1, 4)$, $B(-2, -2)$ 代入 $y=kx+b$ 得： $\begin{cases} 4 = k + b \ -2 = -2k + b \end{cases}$ 解得 $k=2$, $b=2$。所以函数表达式为 $y=2x+2$。 (2) 图像略（过点A(1,4)和点B(-2,-2)的直线）。 (3) 当 $x=-1$ 时，$y=2 \times (-1) + 2 = 0$。因为点 $P(-1, 1)$ 的纵坐标是1，不等于0，所以点 $P$ 不在该函数的图象上。
证明：$\because BE=CF$， $\therefore BE+EC = CF+EC$，即 $BC=EF$。在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DCF$ 中， $\begin{cases} AB = DC \quad (\text{已知}) \ \angle B = \angle C \quad (\text{已知}) \ BC = EF \quad (\text{已证}) \end{cases}$ $\triangle ABC \cong \triangle DCF$ (SAS)。 $AC=DF$，$\angle ACB=\angle DFE$。在 $\triangle ACF$ 和 $\triangle DCE$ 中， $\begin{cases} AC = DF \quad (\text{已证}) \ \angle ACB = \angle DFE \quad (\text{已证}) \ CF = CE \quad (\text{BE=CF}) \end{cases}$ $\triangle ACF \cong \triangle DCE$ (SAS)。 $AF=DE$。
(1) $y_1 = 1.5x$，$y_2 = 0.8x + 1000$。 (2) 由 $y_1 = y_2$ 得 $1.5x = 0.8x + 1000$。解得 $x = \frac{1000}{0.7} = \frac{10000}{7} \approx 1429$ (千米)。答：当运输路程约为1429千米时，两家公司费用相同。 (3) 当 $x=120$ 时， $y_1 = 1.5 \times 120 = 180$ (元)， $y_2 = 0.8 \times 120 + 1000 = 96 + 1000 = 1096$ (元)。因为 $180 < 1096$，所以当运输路程为120千米时，选择甲公司更省钱。
(1) 令 $y=0$，得 $-x+4=0$，$x=4$。$A(4, 0)$。令 $x=0$，得 $y=4$。$B(0, 4)$。 (2) 解方程组 $\begin{cases} y = -x + 4 \ y = x \end{cases}$，将 $y=x$ 代入 $y=-x+4$ 得 $x=-x+4$，$2x=4$，$x=2$。 $y=2$，交点 $C$ 的坐标为 $(2, 2)$。 (3) $S{\triangle ABC} = S{\triangle AOB} - S{\triangle AOC} - S{\triangle BOC}$。 $S{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。 $S{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \times OA \times |yC| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$。 $S{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \times OB \times |xC| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$。 $S{\triangle ABC} = 8 - 4 - 4 = 0$。（此题设计有误，C点在AB上，面积为0，更正为：C点坐标应为 $(2, 2)$，但 $y=-x+4$ 当 $x=2$ 时 $y=2$，计算无误，请检查题目描述，可能是直线 $l_2$ 的方程有误，$y=-x$ 或 $y=2x$ 等，此处按原题计算结果为0，但通常此类题不会设计为0。） （假设题目有笔误，将 $l_2$ 改为 $y = -x$） (2) 解方程组 $\begin{cases} y = -x + 4 \ y = -x \end{cases}$，无解，两直线平行，此假设也不对。 （假设题目有笔误，将 $l_2$ 改为 $y = x + 1$） (2) 解方程组 $\begin{cases} y = -x + 4 \ y = x + 1 \end{cases}$，得 $x+1=-x+4$，$2x=3$，$x=1.5$，$y=2.5$，交点 $C(1.5, 2.5)$。 (3) $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times |xC|$。$AB = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$，计算复杂。 （建议以原题 $y=x$ 计算，可能是想考察学生发现面积为0的能力） 按原题 $y=x$ 计算： $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。以 $AC$ 为底，$A(4,0)$, $C(2,2)$。$AC = \sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。点 $B(0,4)$ 到直线 $AC$（$y=-x+4$）的距离 $h$。直线 $AC$ 的一般式为 $x+y-4=0$。 $h = \frac{|0+4-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 0$。 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 0 = 0$。点 $C$ 在直线 $AB$ 上，$A, B, C$ 三点共线，$\triangle ABC$ 的面积为0。
(1) 不正确，一个非等腰的直角三角形，两条直角边上的高都等于另一条直角边，是相等的，但它不是等腰三角形。 (2) ① 证明：连接 $CE$。 $\because \angle ABC = 90^\circ$, $E$ 是 $AC$ 的中点， $\therefore BE = \frac{1}{2}AC$ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。 $\because E$ 是 $AC$ 的中点， $\there CE = \frac{1}{2}AC$。 $\therefore BE = CE$。 $\therefore \angle CBE = \angle BCE$。 $\because AB=BC$, $\angle ABC=90^\circ$, $\therefore \angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$。 $\therefore \angle BCE = \angle BCA = 45^\circ$。 $\therefore \angle CBE = 45^\circ$。 $\therefore \angle FBE = \angle ABC - \angle CBE = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$。 $\therefore \angle FBE = \angle BCE$。在 $\triangle FBE$ 和 $\triangle CBE$ 中， $\begin{cases} \angle FBE = \angle CBE \quad (\text{已证}) \ BE = BE \quad (\text{公共边}) \ \angle FEB = \angle CEB \quad (\text{对顶角相等}) \end{cases}$ $\triangle FBE \cong \triangle CBE$ (ASA)。 $BE=EF$。 ② 解：由①可知，$E$ 是 $BF$ 的中点。取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $EG$。在 $\triangle ABF$ 中，$E, G$ 分别是 $BF, AB$ 的中点， $EG$ 是 $\triangle ABF$ 的中位线。 $EG \parallel AF$ 且 $EG = \frac{1}{2}AF$。 $\because \angle ABC = 90^\circ$, $G$ 是 $AB$ 的中点， $\therefore EG = \frac{1}{2}AB$ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。 $\because AB=BC$, $E$ 是 $AC$ 的中点， $\therefore EG = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = CE$。 $\because EG \parallel AF$, $\therefore \angle GED = \angle FAD$。 $\because \angle GED = \angle CED$ (对顶角相等), $\there \angle CED = \angle FAD$。在 $\triangle CED$ 和 $\triangle FAD$ 中， $\begin{cases} \angle CED = \angle FAD \quad (\text{已证}) \ \angle EDC = \angle FDA \quad (\text{对顶角相等}) \ CD = AD - AC \quad (\text{此路不通}) \end{cases}$ （换一种思路） 在Rt$\triangle ABC$中，$AB=BC$，设 $AB=BC=a$，则 $AC=a\sqrt{2}$。 $E$是中点，$AE=CE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$。在Rt$\triangle ADC$中，$AD=5$, $CD=3$，由勾股定理得 $AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。 $a\sqrt{2} = 4$，$a = 2\sqrt{2}$。 $AB=BC=2\sqrt{2}$。由①知 $BE=EF$，且 $BE=CE=\frac{AC}{2} = 2$。 $EF=2$，$BF=4$。在Rt$\triangle ABF$中，$AB=2\sqrt{2}$，$BF=4$。由勾股定理得 $AF = \sqrt{BF^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16-8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。在 $\triangle ADF$ 中，$AD=5$, $AF=2\sqrt{2}$，$DF=AD-AF=5-2\sqrt{2}$。 （此解法更直接） 答：线段 $DF$ 的长为 $5-2\sqrt{2}$。