数学竞赛题七年级上册
校园之窗 2026年1月8日 19:17:33 99ANYc3cd6
分为几个模块,每个模块包含知识点、典型例题、思路点拨和详细解答，希望能帮助你更好地理解和掌握。
有理数的巧算与绝对值
七年级上册的有理数竞赛题,重点往往不在于复杂计算，而在于观察、技巧和绝对值的非负性。
知识点回顾：
- 运算律：灵活运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化计算。
- 绝对值的性质：
|a| ≥ 0，|a| = |b| ⇒ a = b 或 a = -b。 - 去绝对值符号：关键在于判断绝对值内式子的正负。
例题1：巧算计算
计算 (-1) + (-2) + (-3) + ... + (-99) + (-100)
思路点拨： 直接相加非常繁琐，观察数字，它们是连续的整数，可以利用加法结合律，将正负数配对，计算会非常简单。
详细解答：
原式 = [(-1) + (-100)] + [(-2) + (-99)] + [(-3) + (-98)] + ...
= (-101) + (-101) + (-101) + ...
现在需要知道有多少个 -101，从1到100，共有100个数，所以可以配成 100 / 2 = 50 对。
原式 = 50 × (-101) = -5050。
例题2：绝对值问题
已知 |x - 2| + |y + 3| = 0，求 x + y 的值。
思路点拨： 这道题的关键是利用绝对值的非负性，几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都必须等于0。
详细解答：
因为 |x - 2| ≥ 0，|y + 3| ≥ 0，并且它们的和为0。
必须有 |x - 2| = 0 且 |y + 3| = 0。
由此可得：
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
y + 3 = 0 ⇒ y = -3
x + y = 2 + (-3) = -1。
整式加减的应用
整式加减的竞赛题,常与找规律、定义新运算、整体代入等思想结合。
知识点回顾：
- 合并同类项：字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项。
- 去括号与添括号：注意符号变化。
- 整体思想：将一个复杂的式子看作一个整体进行计算。
例题3：定义新运算
我们定义一种新运算 ，对于任意有理数 a 和 b，有 a ※ b = 3a - 2b。2 ※ 5 = 3×2 - 2×5 = 6 - 10 = -4，求 (x ※ 2) ※ 4 的值。
思路点拨：
严格按照新运算的定义，从内到外逐步计算，先把 x ※ 2 看作一个整体，先求出它的表达式，再和4进行新运算。
详细解答：
第一步：计算 x ※ 2
根据定义 a ※ b = 3a - 2b，x ※ 2 = 3x - 2×2 = 3x - 4。
第二步：计算 (x ※ 2) ※ 4
这相当于 (3x - 4) ※ 4。
再次运用定义，这里 a = 3x - 4，b = 4。
(3x - 4) ※ 4 = 3×(3x - 4) - 2×4
= 9x - 12 - 8
= 9x - 20
(x ※ 2) ※ 4 = 9x - 20。
例题4：整体代入求值
已知 A = 3x² - 2x + 1，B = x² + 2x - 3，求 A - 2B 的值，并当 x = -1/2 时，求 A - 2B 的值。
思路点拨：
先化简 A - 2B，得到一个关于 x 的多项式，然后再代入 x 的值计算，如果先分别求出 A 和 B 的值再计算，会比较麻烦，先化简再代入是更优的方法。
详细解答：
A - 2B = (3x² - 2x + 1) - 2(x² + 2x - 3)
= 3x² - 2x + 1 - 2x² - 4x + 6 （注意：括号前是-2，要去括号变号）
= (3x² - 2x²) + (-2x - 4x) + (1 + 6)
= x² - 6x + 7
将 x = -1/2 代入化简后的式子：
x² - 6x + 7
= (-1/2)² - 6 × (-1/2) + 7
= 1/4 + 3 + 7
= 1/4 + 10
= 10.25 或 41/4
一元一次方程的应用
这是七年级上册竞赛的重中之重,难点在于复杂的应用题，需要通过设未知数、找等量关系、列方程来解决。
知识点回顾：
- 设未知数：通常是问什么设什么，或者设中间量为
x。 - 找等量关系：这是列方程的灵魂，常见于“和、差、倍、分”或“行程、工程、利润”等问题中。
- 解方程：步骤要规范，注意移项变号。
例题5：和差倍分问题
甲、乙两个仓库共存货物95吨，如果从甲仓库调15吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物是乙仓库的2倍，求甲、乙两个仓库原来各存货物多少吨？
思路点拨：
这是一个典型的“和差倍分”问题，可以设未知数表示原来的量，也可以设未知数表示变化后的量，通常设变化后的量为 x 会使方程更简单。
详细解答：
设未知数表示原来的量
设甲仓库原来存货物 x 吨，则乙仓库原来存 (95 - x) 吨。
根据题意，从甲仓库调15吨到乙仓库后：
甲仓库有 (x - 15) 吨，乙仓库有 (95 - x + 15) = (110 - x) 吨。
甲仓库是乙仓库的2倍，所以有方程：
x - 15 = 2(110 - x)
x - 15 = 220 - 2x
x + 2x = 220 + 15
3x = 235
x = 235 / 3 （这个结果不是整数，说明在理解题意上可能有误，或者题目本身设计如此，让我们用更优的方法再试一次。）
设未知数表示变化后的量（更优）
设从甲仓库调15吨到乙仓库后，乙仓库有货物 x 吨。
此时甲仓库有货物 2x 吨。
根据调货前后货物总量不变，有：
2x + x = 95
3x = 95
x = 95 / 3 （依然不是整数，看来这个题目的数据设计就是如此，我们继续用方法一来完成解答。）
回到方法一：
x = 235 / 3 吨，这就是甲仓库原来的货物。
乙仓库原来有 95 - 235/3 = (285 - 235) / 3 = 50 / 3 吨。
检查：
调货后，甲有 235/3 - 15 = 235/3 - 45/3 = 190/3 吨。
乙有 50/3 + 15 = 50/3 + 45/3 = 95/3 吨。
190/3 是否等于 2 × (95/3)？是的，190/3 = 190/3。
所以答案是正确的，只是数据比较特殊，在竞赛中要适应各种数据。
例题6：行程问题（环形追及）
在一条400米的环形跑道上,甲、乙两人同时同地同向出发，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒4米，问：甲经过多长时间第一次追上乙？
思路点拨： 这是环形追及问题，追及问题的核心是追及路程和速度差。 同向而行时，追及路程就是跑道一圈的长度，因为快的人要比慢的人多跑一整圈才能追上。
详细解答：
- 确定追及路程：因为是环形跑道，同向追及，甲要追上乙，需要比乙多跑一圈，所以追及路程是
400米。 - 确定速度差：甲的速度是
6米/秒，乙的速度是4米/秒，同向而行时，速度差是6 - 4 = 2米/秒。 - 计算追及时间：时间 = 路程 / 速度差。
所需时间 =
400 / (6 - 4) = 400 / 2 = 200秒。
答：甲经过200秒第一次追上乙。
几何初步
七年级的几何竞赛题主要考察线段、角的计算和性质，以及数形结合的思想。
知识点回顾：
- 线段：线段公理（两点之间，线段最短）；线段和差；中点。
- 角：角的和差；平角、周角；角平分线。
- 对顶角：对顶角相等。
例题7：线段长度计算
已知线段 AB = 10cm，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，求线段 MN 的长度。
思路点拨：
画出图形是解决几何问题的第一步，通过画图可以直观地看到 MN 和 AB 之间的关系，这里 MN = MC + CN，而 MC 和 CN 分别是 AC 和 BC 的一半。
详细解答：
画图：
A ----M---- C ----N---- B
根据题意：
MC = 1/2 AC
CN = 1/2 BC
MN = MC + CN
= 1/2 AC + 1/2 BC
= 1/2 (AC + BC)
因为点 C 在线段 AB 上，AC + BC = AB。
MN = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5 cm。
无论点 C 在线段 AB 上的什么位置（只要在A、B之间），MN 的长度永远是 AB 的一半。
希望这些例题和解析能对你的数学竞赛学习有所帮助！做竞赛题的关键在于多思考、多总结、多画图，培养数学思维比做对一道题更重要，加油！
