七年级上册数学知识点总结人教版有哪些重点？

人教版七年级上册数学知识点总结

总体结构： 七年级上册数学主要分为四个大的板块：有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。

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第一章 有理数

核心思想： 引入负数，将数的范围从小学的“算术数”扩展到“有理数”，并研究有理数的运算。

有理数的概念

1. 正数和负数

   • 正数: 大于0的数，如 +5, 3.14, ½。
   • 负数: 小于0的数，如 -2, -π, -¾。
   • 0: 既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
   • 应用: 用正负数表示具有相反意义的量，零上5℃记作 +5℃，零下5℃记作 -5℃；收入500元记作 +500元，支出300元记作 -300元。

2. 有理数

   • 定义: 整数和分数统称为有理数。
   • 分类:
     • 按定义分: 有理数 $\begin{cases} \text{整数} \begin{cases} \text{正整数 (如 1, 2, 3)} \ \text{0} \ \text{负整数 (如 -1, -2, -3)} \end{cases} \ \text{分数} \begin{cases} \text{正分数 (如 ½, 0.5)} \ \text{负分数 (如 -¾, -0.2)} \end{cases} \end{cases}$
     • 按符号分: 有理数 $\begin{cases} \text{正有理数} \ \text{0} \ \text{负有理数} \end{cases}$

3. 数轴

   • 三要素: 原点、正方向、单位长度。
   • 作用: 数轴是数形结合的桥梁，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
   • 方法: 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

4. 相反数

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 定义: 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。
   • 几何意义: 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
   • 求法: 在一个数前面加上“-”号，求得的数就是原数的相反数，a的相反数是 -a。

5. 绝对值

   • 定义: 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
   • 表示法: 数a的绝对值记作 |a|。
   • 求法:
     • a > 0，|a| = a
     • a = 0，|a| = 0
     • a < 0，|a| = -a （注意：-a是正数）
   • 性质: 绝对值最小的有理数是0。

有理数的运算

1. 有理数的加法

   • 法则:
     • 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
     • 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
     • 互为相反数的两个数相加得0。
     • 一个数同0相加,仍得这个数。
   • 运算律:
     • 加法交换律: a + b = b + a
     • 加法结合律: (a + b) + c = a + (b + c)

2. 有理数的减法

   • 法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
   • 公式: a - b = a + (-b)
   • 关键: 将减法统一转化为加法进行计算。

3. 有理数的乘法

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 法则:
     • 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
     • 任何数同0相乘,都得0。
     • 几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
   • 运算律:
     • 乘法交换律: a × b = b × a
     • 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
     • 乘法分配律: a × (b + c) = a × b + a × c

4. 有理数的除法

   • 法则:
     • 两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
     • 0除以任何一个不为0的数,都得0。
     • 0不能作除数。
   • 倒数: 乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。
   • 公式: a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)

5. 有理数的乘方

   • 定义: 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，记作 aⁿ，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。
   • 法则:
     • 正数的任何次幂都是正数。
     • 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
     • 0的任何正整数次幂都是0。
   • 注意: 底数是负数或分数时，要加括号。-3的平方是 (-3)² = 9，而不是 -3² = -9。

6. 混合运算

   • 运算顺序:
     1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
     2. 同级运算,从左到右依次进行。
     3. 如果有括号,先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

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第二章 整式的加减

核心思想： 从具体的数过渡到抽象的字母（用字母表示数），学习代数式（整式）的加减运算，为解方程和后续学习打下基础。

整式的相关概念

1. 用字母表示数

   用字母可以表示任意数、公式、数量关系和规律，路程 = 速度 × 时间 (s = vt)。

2. 单项式

   • 定义: 由数与字母的乘积组成的代数式，叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
   • 系数: 单项式中的数字因数。
   • 次数: 单项式中所有字母的指数之和。
   • 注意: π是常数，不是字母。-2πxy² 的系数是 -2π，次数是 3。

3. 多项式

   • 定义: 几个单项式的和叫做多项式。
   • 项: 多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
   • 次数: 多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
   • 升幂/降幂排列: 按某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排列多项式的各项。

4. 整式

   • 定义: 单项式和多项式统称为整式。

整式的加减

1. 同类项

   • 定义: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
   • 注意: 常数项也是同类项。

2. 合并同类项

   • 法则: 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
   • 步骤:
     1. 找出同类项。
     2. 利用加法交换律和结合律,将同类项放在一起。
     3. 合并同类项。