九年级上册数学二次函数知识点有哪些？

九年级上册数学：二次函数 知识点总结

二次函数是初中数学的重点和难点,它不仅与一元二次方程、一元二次不等式关系密切，也是高中数学学习的基础。

二次函数的定义

定义： 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。

• 关键点： 二次项系数 a 必须不为零。a=0，函数就变成了 y = bx + c，是一次函数。
• 自变量： x 的取值范围是全体实数。
• 二次项： ax² 是二次项，a 是二次项系数。
• 一次项： bx 是一次项，b 是一次项系数。
• 常数项： c 是常数项。

特殊形式：

• y = ax² (b=0, c=0)：这是最简单的二次函数，是研究其他二次函数的基础。
• y = ax² + k (b=0)：顶点在 y 轴上。
• y = a(x-h)² (b=0, c=0)：顶点在 x 轴上。
• y = a(x-h)² + k：这是顶点式，非常便于研究函数的图像和性质。

---

二次函数的图像与性质

二次函数 y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。

抛物线的基本特征：

• 开口方向：
  • 当 a > 0 时，抛物线开口向上。
  • 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
• 对称轴：
  • 抛物线是轴对称图形,它有一条对称轴，对于一般式 y = ax² + bx + c，其对称轴是直线 x = -b/(2a)。
  • 对于顶点式 y = a(x-h)² + k，其对称轴是直线 x = h。
• 顶点：
  • 抛物线的最低点或最高点叫做顶点。
  • 对于一般式 y = ax² + bx + c，顶点坐标是 (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))。
  • 对于顶点式 y = a(x-h)² + k，顶点坐标是 (h, k)。顶点式非常直观地给出了顶点坐标。
• 与坐标轴的交点：
  • 与 y 轴的交点：
    • 令 x = 0，则 y = c，抛物线与 y 轴的交点坐标是 (0, c)。
  • 与 x 轴的交点：
    • 令 y = 0，则 ax² + bx + c = 0，解这个一元二次方程，得到的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
    • 判别式 Δ = b² - 4ac 决定了交点个数：
      • Δ > 0：抛物线与 x 轴有两个不同的交点。
      • Δ = 0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴上）。
      • Δ < 0：抛物线与 x 轴没有交点。

函数的增减性（最值）：

• 当 a > 0 时：
  • 对称轴左侧 (x < -b/(2a))：y 随 x 的增大而减小。
  • 对称轴右侧 (x > -b/(2a))：y 随 x 的增大而增大。
  • 最值： 函数有最小值，最小值在顶点处取得，最小值为 y_min = (4ac-b²)/(4a)。
• 当 a < 0 时：
  • 对称轴左侧 (x < -b/(2a))：y 随 x 的增大而增大。
  • 对称轴右侧 (x > -b/(2a))：y 随 x 的增大而减小。
  • 最值： 函数有最大值，最大值在顶点处取得，最大值为 y_max = (4ac-b²)/(4a)。

---

二次函数解析式的求法

确定一个二次函数需要三个独立的条件,根据已知条件的不同，选择不同的设法。

一般式：y = ax² + bx + c

• 适用条件： 已知抛物线上任意三个点的坐标。
• 方法： 将三个点的坐标代入一般式，得到关于 a, b, c 的三元一次方程组，解方程组求出 a, b, c 的值。

顶点式：y = a(x-h)² + k

• 适用条件： 已知顶点坐标 (h, k) 和另一个点的坐标。
• 方法：
  1. 将顶点坐标 (h, k) 代入，得到 y = a(x-h)² + k。
  2. 将另一个点的坐标代入,求出 a 的值。
  3. 写出完整的解析式。

交点式（双根式）：y = a(x-x₁)(x-x₂)

• 适用条件： 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)。
• 方法：
  1. 将两个交点的横坐标 x₁, x₂ 代入，得到 y = a(x-x₁)(x-x₂)。
  2. 利用第三个点的坐标（或顶点、对称轴等信息）求出 a 的值。
  3. 写出完整的解析式。

---

二次函数与一元二次方程、不等式的关系

这是二次函数应用的核心,体现了数形结合的思想。

设二次函数 y = ax² + bx + c，一元二次方程 ax² + bx + c = 0，一元二次不等式 ax² + bx + c > 0 (或 < 0)。

关系： 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根，就是二次函数 y = ax² + bx + c 的图像（抛物线）与 x 轴交点的横坐标。

二次不等式的解法（数形结合法）：

• 步骤：

  1. 先将不等式化为标准形式：ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0。
  2. 令 y = ax² + bx + c，画出抛物线的草图（确定开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点）。
  3. 根据 a 的符号确定开口方向。
  4. 解方程 ax² + bx + c = 0，找到抛物线与 x 轴的交点（设为 x₁, x₂，且 x₁ < x₂）。
  5. 根据 y 的取值范围（即不等号的方向），确定 x 的取值范围。

• 以 a > 0 为例）：

  • ax² + bx + c > 0 的解集是 x < x₁ 或 x > x₂（抛物线在 x 轴上方部分的 x 取值范围）。
  • ax² + bx + c < 0 的解集是 x₁ < x < x₂（抛物线在 x 轴下方部分的 x 取值范围）。

• 当 a < 0 时，结论相反。

---

二次函数的应用

求最值问题：

• 类型： 最大利润、最大高度、最大面积、最小成本等。
• 步骤：
  1. 审题： 理解题意，找出变量（通常是自变量 x 和因变量 y）。
  2. 建模： 根据题意，列出 y 与 x 之间的函数关系式 y = ax² + bx + c。
  3. 求解： 通过求二次函数的顶点坐标，确定函数的最值。
  4. 作答： 回答题目所求的问题，注意单位。

几何图形问题：

• 类型： 利用二次函数求图形的最大面积等。
• 关键： 通常需要利用几何图形的性质（如相似三角形、勾股定理、面积公式等）来建立变量之间的关系。

---

重要思想与方法

1. 数形结合思想： 这是本章最重要的思想，将函数的解析式（数）与它的图像（形）紧密联系起来，用图像的性质来理解解析式，用解析式来研究图像。
2. 配方法： 将一般式 y = ax² + bx + c 通过配方转化为顶点式 y = a(x-h)² + k 的方法，这是研究二次函数性质的基本工具。
3. 待定系数法： 通过设定函数解析式，利用已知条件建立方程（组）来求解未知系数的方法，求解析式的过程就是待定系数法的应用。

---

总结与建议：

• 抓牢图像： 紧紧抓住抛物线的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点这四个核心要素来理解和记忆二次函数的性质。
• 勤于画图： 遇到二次函数问题，先尝试画出它的草图，直观的图形能帮助你更好地理解题意和找到解题思路。
• 多练应用题： 应用题是本章的难点和重点，要多练习，掌握“从实际问题中抽象出数学模型”的能力。
• 对比学习： 将二次函数与一次函数、反比例函数进行对比，理解它们的区别和联系，有助于构建完整的知识体系。

希望这份总结对你有帮助！祝你学习进步！