八年级数学下册期中试卷难点在哪里？

校园之窗 2025年12月31日 17:20:38 99ANYc3cd6 1 0

八年级数学下册期中模拟试卷

（考试时间：120分钟满分：120分）

选择题（每小题3分，共30分）

下列二次根式中，是最简二次根式的是 A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{5}$ D. $\sqrt{\frac{1}{2}}$
下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是 A. 3, 4, 5 B. 5, 12, 13 C. 6, 8, 10 D. 7, 8, 9
下列计算正确的是 A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C. $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ D. $(\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2}$
下列命题中，是真命题的是 A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 四条边都相等的四边形是正方形
若最简二次根式 $\sqrt{3a-2}$ 和 $\sqrt{2a+3}$ 是同类二次根式，则 $a$ 的值为 A. 5 B. -5 C. 1 D. -1
一次函数 $y=kx+b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $kx+b > 0$ 的解集是

A. $x > -1$  B. $x < -1$  C. $x > 1$  D. $x < 1$

已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的面积为 A. 24 cm² B. 48 cm² C. 12 cm² D. 96 cm²
如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，若 $AB = 4$ cm，则 $AC$ 的长为

A. 4 cm  B. 6 cm  C. 8 cm  D. $4\sqrt{3}$ cm

下列说法错误的是 A. 平行四边形的对角相等 B. 菱形的四条边都相等 C. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 D. 对角线相等的平行四边形是正方形
已知点 $A(1, y_1)$, $B(2, y_2)$ 都在直线 $y = -x + 3$ 上，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是 A. $y_1 > y_2$ B. $y_1 < y_2$ C. $y_1 = y_2$ D. 无法确定

填空题（每小题3分，共24分）

计算：$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \underline{\hspace{2cm}}$。
比较大小：$3\sqrt{2}$ ______ $2\sqrt{7}$。（填“>”、“<”或“=”）
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a=5$, $b=12$，则斜边 $c$ 上的中线长为 ______。
一个多边形的内角和是 $1080^{\circ}$，则这个多边形是 ______边形。
若菱形的周长为 20 cm，一条对角线长为 6 cm，则另一条对角线的长为 ______ cm。
一次函数 $y = -2x + 4$ 的图象与 $x$ 轴的交点坐标是 ______，与 $y$ 轴的交点坐标是 ______。
如图，在 $\square ABCD$ 中，$E$, $F$ 分别是 $AD$, $BC$ 的中点，若 $AB=5$，$BC=6$，则阴影部分的周长是 ______。

写出一个图象经过点 $(1, 2)$ 且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的一次函数表达式：______。（答案不唯一）

解答题（共66分）

（本题满分8分）计算： $$ (1) \quad (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} $$ $$ (2) \quad \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} $$

**20.（本题满分8分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$ cm，$BC = 10$ cm，$BC$ 边上的中线 $AD = 12$ cm，求证：$\triangle ABC$ 是直角三角形。

**21.（本题满分10分）如图，在 $\square ABCD$ 中，$E$, $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。求证：(1) $\triangle ABE \cong \triangle CDF$； (2) $BE \parallel DF$。

**22.（本题满分10分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 的中点，连接 $CE$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $F$。求证：$\triangle FAE \cong \triangle CDE$。

**23.（本题满分10分）已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A(1, 4)$ 和点 $B(-2, -1)$。 (1) 求这个一次函数的表达式； (2) 画出这个函数的图象； (3) 根据图象，直接写出 $y > 0$ 时 $x$ 的取值范围。

**24.（本题满分10分）如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$AC = 8$ cm，$BD = 6$ cm。 (1) 求菱形的边长和面积； (2) 求 $\angle ABC$ 的度数。

**25.（本题满分10分）为响应“节能减排”号召，某小区计划将一块长为 30 米，宽为 20 米的长方形绿地进行改造，方案一：在绿地中间修建一个面积为 $S$ 平方米的长方形喷泉（喷泉与原绿地的边分别平行），四周留出同样宽度的空地，方案二：在绿地的一角修建一个面积为 $S$ 平方米的正方形休息区，其余部分种植草坪。 (1) 若方案一中喷泉的长比宽多 4 米，四周留出的空地宽度为 2 米，求喷泉的面积 $S$。 (2) 在方案二中，若要使草坪的面积为 500 平方米,求休息区的边长。

参考答案与解析

选择题

C （解析：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或分式，A、B可化简，D含有分母。）
D （解析：根据勾股定理逆定理，$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \neq 9^2 = 81$，不能构成直角三角形。）
B （解析：A、C是同类二次根式才能合并或相除，D的结果应为2。）
C （解析：A、B、D都需要加上“平行四边形”这个前提。）
A （解析：同类二次根式，被开方数相同，$3a-2 = 2a+3$，解得 $a=5$。）
A （解析：不等式 $kx+b > 0$ 的解集是函数图象在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 的取值范围。）
A （解析：菱形面积 $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm²。）
C （解析：在矩形 $ABCD$ 中，$OA = OB$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$\triangle OAB$ 是等边三角形，故 $AC = 2OA = 2AB = 8$ cm。）
D （解析：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形。）
A （解析：将 $x_1=1, x_2=2$ 代入 $y=-x+3$，得 $y_1=2, y_1=1$，因为 $-1 < 0$，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，故 $y_1 > y_2$。）

填空题 11. $\sqrt{2}$ （解析：$\sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$。） 12. < （解析：$3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}$，$2\sqrt{7} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{28}$，因为 $18 < 28$，$\sqrt{18} < \sqrt{28}$。） 13. $\frac{13}{2}$ （解析：斜边 $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。） 14. 八（解析：设边数为 $n$，则 $(n-2) \times 180^{\circ} = 1080^{\circ}$，解得 $n=8$。） 15. 8 （解析：菱形边长为 $20 \div 4 = 5$ cm，设另一条对角线为 $d$，根据菱形对角线互相垂直平分，有 $(6/2)^2 + (d/2)^2 = 5^2$，解得 $d=8$ cm。） 16. (2, 0), (0, 4) （解析：令 $y=0$，得 $x=2$；令 $x=0$，得 $y=4$。） 17. 22 （解析：阴影部分由两个全等的三角形组成，周长等于 $2 \times (AB + EF)$。$EF=BC=6$，所以周长为 $2 \times (5 + 6) = 22$。） 18. $y = -x + 3$ （答案不唯一，只要满足 $k<0$ 且 $b-k=2$ 即可，如 $y=-2x+4$。）

解答题

$$ (1) \quad (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{27} $$ $$ = (\sqrt{3})^2 - 1^2 + 3\sqrt{3} $$ $$ = 3 - 1 + 3\sqrt{3} $$ $$ = 2 + 3\sqrt{3} $$

$$ (2) \quad \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} $$ $$ = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$ $$ = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$ $$ = 5 $$

证明： 在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线， $BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm。在 $\triangle ABD$ 中，$AB^2 = 13^2 = 169$，$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$。 $AB^2 = AD^2 + BD^2$。根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABD$ 是直角三角形，且 $\angle ADB = 90^{\circ}$。因为 $\angle ADB$ 和 $\angle ADC$ 是邻补角，$\angle ADC = 90^{\circ}$。在 $\triangle ADC$ 中，$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 12^2 + 5^2 = 169$。 $AC = 13$ cm。 $AB^2 + BC^2 = 13^2 + 10^2 = 169 + 100 = 269$，$AC^2 = 169$。 $AB^2 + BC^2 \neq AC^2$，$\triangle ABC$ 不是直角三角形。 （注：本题有陷阱，需要重新审视，更正的证法如下：） 证明： 在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线， $BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm。在 $\triangle ABD$ 中，$AB^2 = 13^2 = 169$，$AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$。 $AB^2 = AD^2 + BD^2$。根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABD$ 是直角三角形，且 $\angle ADB = 90^{\circ}$。因为 $\angle ADB$ 和 $\angle ADC$ 是邻补角，$\angle ADC = 90^{\circ}$。在 $\triangle ADC$ 中，$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 12^2 + 5^2 = 169$。 $AC = 13$ cm。 $AB^2 + BC^2 = 13^2 + 10^2 = 169 + 100 = 269$，$AC^2 = 169$。 $AB^2 + BC^2 \neq AC^2$，$\triangle ABC$ 不是直角三角形。（再次检查，原题可能有误，或者考察的是“不是直角三角形”，如果题目数据为 $BC=24$，则 $BD=12$，$AB^2=AD^2+BD^2$，同理 $AC^2=AD^2+DC^2$，可得 $AB=AC=13$，$AB^2+AC^2=BC^2$，是等腰直角三角形，按原题数据，结论应为“不是直角三角形”。） $\triangle ABC$ 不是直角三角形。

证明： (1) 在 $\square ABCD$ 中，$AB \parallel CD$, $AB = CD$。 $\because \angle BAE = \angle DCF$（两直线平行，内错角相等）又 $\because AE = CF$ $\therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF$ (SAS)

(2) $\because \triangle ABE \cong \triangle CDF$ $\therefore \angle ABE = \angle CDF$ $\therefore BE \parallel DF$（内错角相等,两直线平行）

证明： 在矩形 $ABCD$ 中， $\because AD \parallel BC$ $\therefore \angle FAE = \angle BCD$ 又 $\because E$ 是 $AD$ 的中点，$\therefore AE = ED$ 在矩形 $ABCD$ 中，$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$ $\therefore \angle FAE = \angle CDE$ 在 $\triangle FAE$ 和 $\triangle CDE$ 中， $\begin{cases} \angle FAE = \angle CDE \ AE = DE \ \angle AEF = \angle DEC \text{（对顶角）} \end{cases}$ $\therefore \triangle FAE \cong \triangle CDE$ (ASA)

(1) 将 $A(1, 4)$, $B(-2, -1)$ 代入 $y = kx + b$，得 $\begin{cases} 4 = k + b \ -1 = -2k + b \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = 5 \ b = -1 \end{cases}$ 所以一次函数的表达式为 $y = 5x - 1$。

(2) 图象略。（过点 (0, -1) 和 (1, 4) 画一条直线）

(3) 从图象可知，当 $y > 0$ 时，$x$ 的取值范围是 $x > \frac{1}{5}$。

(1) 菱形对角线互相垂直平分， $AO = \frac{1}{2}AC = 4$ cm，$BO = \frac{1}{2}BD = 3$ cm。在 Rt$\triangle AOB$ 中，$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm。菱形面积 $S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ cm²。

(2) 在 Rt$\triangle AOB$ 中，$\sin \angle ABO = \frac{AO}{AB} = \frac{4}{5}$。 $\because \angle ABC = 2 \angle ABO$ $\therefore \sin \angle ABC = \sin(2 \angle ABO) = 2 \sin \angle ABO \cos \angle ABO$ $\cos \angle ABO = \frac{BO}{AB} = \frac{3}{5}$ $\therefore \sin \angle ABC = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ $\angle ABC = \arcsin(\frac{24}{25})$。（注：本题也可以用余弦定理：$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2+5^2-8^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{50-64}{50} = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25}$。）（或者直接用特殊角关系：$\tan \angle ABO = \frac{4}{3}$，$\angle ABO \approx 53.13^{\circ}$，$\angle ABC \approx 106.26^{\circ}$，初中阶段通常要求掌握方法，不要求算出具体角度。）

(1) 设喷泉的宽为 $x$ 米，则长为 $(x+4)$ 米。根据题意，喷泉的长与绿地的宽平行，所以喷泉的长 + 2 × 空地宽度 = 绿地的长。即 $(x+4) + 2 \times 2 = 30$ $x + 8 = 30$ $x = 22$ 喷泉的长为 $22+4=26$ 米。喷泉的面积 $S = 26 \times 22 = 572$ 平方米。

(2) 设休息区的边长为 $x$ 米。根据题意，草坪的面积为 $500$ 平方米。 $30 \times 20 - x^2 = 500$ $600 - x^2 = 500$ $x^2 = 100$ $x = 10$ 或 $x = -10$（舍去）答：休息区的边长为 10 米。