八年级平行四边形测试题难点在哪？

八年级数学《平行四边形》单元测试题

考试时间： 90分钟 满分： 100分 班级： ____ 姓名： ____ 分数： ____

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列图形中,一定是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰三角形

   
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2. 在▱ABCD中，∠A:∠B=2:3，则∠C的度数为（ ） A. 36° B. 72° C. 108° D. 144°

3. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 一组对边平行，一组邻角互补 D. 一组对边相等，一组对角相等

4. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点,所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

5. 菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的边长是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm

   
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6. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=2，∠AOB=60°，则AC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 2√3 D. 4√3

7. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角

8. 在平面直角坐标系中,点A(1, 2)，B(4, 2)，C(5, 5)，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是（ ） A. (2, 5) B. (3, 5) C. (2, 5) 或 (8, 5) D. (2, 5) 或 (3, 5)

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填空题（每题3分，共24分）

9. 平行四边形的对边__，对角__，对角线__。

   
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10. 一个平行四边形的一组邻角的度数之比为1:2，则它的四个内角的度数分别为__。

11. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB=8cm，AD=6cm，则OD=__cm。

12. 菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm，则它的面积为__cm²。

13. 矩形的两条对角线的一个交角为60°，矩形的短边长为4cm，则长边长为__cm。

14. 如图1,在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是__。

(图1) (图2)

15. 如图2,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则菱形的边长为__，面积为__。

16. 已知正方形的边长为a,则其对角线长为__，面积为__。

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解答题（共52分）

（8分） 如图3，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E。 (1) 求证：AB=BE； (2) 若AB=5cm，BC=9cm，求线段CE的长。

(图3)

（10分） 如图4，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC。 (1) 求证：四边形OCED是菱形； (2) 若AB=6，BC=8，求菱形OCED的周长。

(图4)

（10分） 如图5，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点。 (1) 求证：四边形ADEF是平行四边形； (2) 若要使四边形ADEF是矩形，需要添加什么条件？请说明理由。

(图5)

（12分） 如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，延长CD至E，使DE=CD，连接AE、BE。 (1) 求证：四边形ACBE是矩形； (2) 若AB=10，AC=6，求四边形ACBE的面积。

(图6)

（12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, 2)，B(4, 0)。 (1) 若点C在x轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C、D的坐标； (2) 若点C在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C、D的坐标。

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参考答案与解析

选择题

1. D (解析：等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形。)
2. C (解析：平行四边形邻角互补，设∠A=2x，∠B=3x，则2x+3x=180°，解得x=36°，B=108°，∠C=∠A=72°。)
3. C (解析：A. 可能是等腰梯形；B. 一组对边平行且一组对角相等可以判定为平行四边形；C. 一组对边平行则邻角互补，这是平行四边形的性质，但不是判定；D. 一组对边相等且一组对角相等不能判定为平行四边形，经过仔细推敲，B是正确的判定方法。更正： C选项“一组对边平行，一组邻角互补”是平行四边形的性质，不能作为判定，正确的判定方法有：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分，B是正确的。)
4. C (解析：顺次连接任意四边形各边中点，所得四边形是平行四边形（中点四边形），当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形就是矩形。)
5. A (解析：菱形的对角线互相垂直平分，将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边（菱形的边长）为√(3²+4²)=5cm。)
6. B (解析：矩形的对角线相等且互相平分，在△AOB中，OA=OB=AB=2，且∠AOB=60°，AOB是等边三角形，AC=2OA=4。)
7. C (解析：菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等。)
8. D (解析：设点D的坐标为(x, y)，因为ABCD是平行四边形，所以AB与CD平行且相等，向量AB = (4-1, 2-2) = (3, 0)，所以向量DC = (x-5, y-5) = (3, 0)，解得x=8, y=5，或者利用对角线互相平分，AC的中点坐标为((1+5)/2, (2+5)/2) = (3, 3.5)，BD的中点坐标为((4+x)/2, (2+y)/2)，令其相等，解得x=2, y=5，所以点D的坐标是(8, 5)或(2, 5)。更正： 选项有误，应为(8, 5)或(2, 5)。)

填空题

9. 平行且相等，相等，互相平分
10. 60°, 120°, 60°, 120°
11. 4 (解析：平行四边形的对角线互相平分，OD=OB=BD/2，根据勾股定理，BD=√(8²-6²)=10cm，所以OD=5cm。更正： 题目条件不足，无法直接求出OD，需要其他条件。重新出题： 若AC=10cm，则OD=AC/2=5cm。或： 若∠ADC=90°，则可求出OD=5cm，这里我们假设题目为“若对角线AC=10cm”，则OD=5cm。)
12. 24 (解析：菱形的四条边相等，边长为20/4=5cm，设两条对角线分别为a, b，则(a/2)² + (b/2)² = 5²，已知一条对角线为6cm，设a=6，则3² + (b/2)² = 25，解得(b/2)²=16，b/2=4，b=8，面积为(ab)/2 = (68)/2 = 24cm²。)
13. 4√3 (解析：矩形的对角线相等且互相平分，形成的四个三角形都是等腰三角形，若交角为60°，则这些三角形是等边三角形，所以短边=对角线的一半=4cm，长边=4√3cm。)
14. 菱形 (解析：顺次连接矩形各边中点，所得四边形是菱形。)
15. 2, 2√3 (解析：∠ABC=60°，ABC是等边三角形，AB=BC=AC/2=4/2=2，面积为(底×高)/2 = (2 × √(2²-1²)) / 2 = (2×√3)/2 = √3。更正： 菱形的面积=对角线乘积的一半= (AC × BD) / 2，AC=4，在等边三角形ABC中，高=√3，所以BD=2×高=2√3，面积= (4 × 2√3) / 2 = 4√3。)
16. a√2, a²

解答题

(1) 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠D = ∠ABC, AD = BC。 ∵ AE平分∠BAD， ∴ ∠BAE = ∠DAE。 ∵ AD ∥ BC， ∴ ∠DAE = ∠AEB。 ∴ ∠BAE = ∠AEB。 ∴ △ABE是等腰三角形，即 AB = BE。

(2) 解： ∵ AB = 5cm，BC = 9cm， ∴ BE = AB = 5cm。 ∴ CE = BC - BE = 9 - 5 = 4cm。

(1) 证明： ∵ CE ∥ BD，DE ∥ AC， ∴ 四边形OCED是平行四边形。 又∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC = BD。 ∵ OA = OC = OB = OD， ∴ OE = OC。 ∴ 平行四边形OCED是邻边相等的平行四边形，即菱形。

(2) 解： 在Rt△ABC中，AB=6，BC=8， 由勾股定理得 AC = √(6²+8²) = 10。 ∴ OC = AC/2 = 5。 ∴ 菱形OCED的周长 = 4 × OC = 4 × 5 = 20。

(1) 证明： ∵ D、E分别是AB、AC的中点， ∴ DE是△ABC的中位线。 ∴ DE ∥ BC，且 DE = BC/2。 同理，DF是△ABC的中位线，DF ∥ AC，且 DF = AC/2。 ∴ DE ∥ BF，DF ∥ BE。 ∴ 四边形ADEF是平行四边形。

(2) 解： 当∠A=90°时，四边形ADEF是矩形。 理由：由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，当∠A=90°时，DE ∥ BC，ADE = ∠B = 90°，平行四边形ADEF有一个角是直角，所以它是矩形。

(1) 证明： ∵ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴ CD = AD = BD。 又∵ DE = CD， ∴ AD = BD = CD = DE。 ∴ 点A、B、E在以D为圆心，AD为半径的圆上，且AB、AE是直径。 ∴ ∠ACB = ∠AEB = 90°。 ∴ 四边形ACBE是平行四边形（对角线互相平分）且有一个角是直角。 ∴ 四边形ACBE是矩形。

(2) 解： ∵ AB是矩形ACBE的对角线， ∴ S_矩形ACBE = (AC × BC) / 2。 在Rt△ABC中，AC=6，AB=10， 由勾股定理得 BC = √(10²-6²) = 8。 ∴ S_矩形ACBE = (6 × 8) / 2 = 24。

解： 设点D的坐标为(x, y)。 (1) 点C在x轴上，设C(c, 0)。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB与CD平行且相等。 向量AB = (4-0, 0-2) = (4, -2)。 向量DC = (c-x, 0-y) = (4, -2)。 ∴ c - x = 4, -y = -2。 解得 y = 2, x = c - 4。 ∵ A(0,2), D(x,2) = (c-4, 2)。 又∵ AD与BC平行且相等，向量AD = (c-4, 0)，向量BC = (c-4, 0)，关系恒成立。 ∴ 点C(c, 0)，点D(c-4, 2)，这是无数解，题目不严谨，应理解为存在这样的点C和D。 我们使用对角线互相平分的方法： AC的中点 = ((0+c)/2, (2+0)/2) = (c/2, 1)。 BD的中点 = ((4+x)/2, (0+y)/2) = ((4+x)/2, y/2)。 令中点相同，得： c/2 = (4+x)/2 => c = 4 + x 1 = y/2 => y = 2 所以点D的坐标为(x, 2)，点C的坐标为(4+x, 0)，这是通解。 当x=0时，C(4,0)，D(0,2)，此时四边形是平行四边形（退化为线段）。 当x=-4时，C(0,0)，D(-4,2)。 点C的坐标为(t, 0)，点D的坐标为(t-4, 2)，其中t为任意实数。

(2) 点C在y轴上，设C(0, c)。 使用对角线互相平分的方法： AC的中点 = ((0+0)/2, (2+c)/2) = (0, (2+c)/2)。 BD的中点 = ((4+x)/2, (0+y)/2) = ((4+x)/2, y/2)。 令中点相同，得： 0 = (4+x)/2 => x = -4 (2+c)/2 = y/2 => y = 2+c 所以点D的坐标为(-4, 2+c)。 当c=0时，C(0,0)，D(-4,2)。 当c=2时，C(0,2)，D(-4,4)。 点C的坐标为(0, t)，点D的坐标为(-4, 2+t)，其中t为任意实数。