九年级数学二次函数应用题怎么解？

核心知识点回顾

1. 二次函数的一般形式: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
2. 二次函数的顶点式: y = a(x - h)² + k
   • 顶点坐标为 (h, k)
   • 对称轴为直线 x = h
3. 二次函数的交点式: y = a(x - x₁)(x - x₂)
   • 与x轴的交点坐标为 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)
4. 二次函数的性质:
   • 开口方向: 由 a 的符号决定。
     • a > 0，开口向上，有最小值。
     • a < 0，开口向下，有最大值。
   • 最值问题: 顶点坐标的纵坐标 k 就是函数的最大值或最小值。
   • 对称性: 关于对称轴 x = h 对称。

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常见应用题题型及解题步骤

解题通用步骤：

1. 审题: 仔细阅读题目，理解题意，找出关键量（自变量和因变量）。
2. 设元: 设出自变量 x 和因变量 y。
3. 建模: 根据题目中的等量关系，列出 y 与 x 之间的函数关系式（二次函数）。
4. 求解: 根据题目要求，利用二次函数的性质（如顶点、对称轴、与坐标轴的交点等）进行计算或分析。
5. 检验: 检验求得的解是否符合实际意义（如边长、高度、时间等必须为正数）。
6. 作答: 写出完整的答案。

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利润最大问题

这是最经典的应用题类型，通常涉及商品的单价、销量、总成本、总利润等。

核心关系式:

• 总利润 = (单件售价 - 单件成本) × 销售量
• 总利润 = 销售额 - 总成本

解题关键: 找出“利润”与“销售量”或“售价”之间的二次函数关系,然后求其最大值。

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几何图形最值问题

通常涉及矩形的面积、周长，或者几何体（如圆柱、圆锥）的表面积、体积等。

核心关系式:

• 矩形面积 = 长 × 宽
• 圆柱体积 = 底面积 × 高
• 圆柱侧面积 = 底面周长 × 高

解题关键: 利用几何图形的内在联系（如相似三角形、勾股定理、固定周长等）建立变量关系，将面积或体积表示为某个变量的二次函数,然后求其最大值或最小值。

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抛物线运动问题（物理应用）

通常描述物体（如小球、炮弹）的斜抛运动,其轨迹是一条抛物线。

核心关系式:

• 高度 h 与水平距离 x 的关系: h = ax² + bx + c
• 最高点: 抛物线的顶点,对应最大高度。
• 落地: 当 h = 0 时，求出的 x 值就是物体的水平射程。

解题关键: 理解 a, b, c 的物理意义（如 c 通常是初始高度）,利用顶点式求解最高点和对称轴。

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典型例题精讲

例题1：利润最大化问题

某商店购进一种商品，进价为每件20元，市场调查发现，如果以每件30元销售，每天可卖出100件；在此基础上，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少5件，设销售单价为 x 元，每天的利润为 w 元。

(1) 求 w 与 x 之间的函数关系式； (2) 当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

解析:

(1) 求函数关系式

• 设元: 设销售单价为 x 元，每天的利润为 w 元。
• 找关系:
  • 单件利润 = 销售价 - 进价 = (x - 20) 元。
  • 销售量: 基础销售量为100件，每提价1元，销量减5件，提价了 (x - 30) 元，所以销量减少了 5(x - 30) 件。
    • 实际销售量 = 100 - 5(x - 30) = 100 - 5x + 150 = 250 - 5x 件。
• 建模: 利润 = 单件利润 × 销售量 w = (x - 20)(250 - 5x) w = -5x² + 250x + 100x - 5000 w = -5x² + 350x - 5000 注意：这个二次函数开口向下，有最大值。

(2) 求最大利润 方法一：配方法（化为顶点式） w = -5(x² - 70x) - 5000 w = -5(x² - 70x + 35² - 35²) - 5000 w = -5[(x - 35)² - 1225] - 5000 w = -5(x - 35)² + 6125 - 5000 w = -5(x - 35)² + 1125

• 顶点坐标为 (35, 1125)。
• 因为 a = -5 < 0，所以当 x = 35 时，w 有最大值,最大利润是1125元。

公式法（利用顶点横坐标公式 x = -b/2a）

• a = -5, b = 350
• 顶点的横坐标 x = -b / (2a) = -350 / (2 × -5) = 350 / 10 = 35
• 将 x = 35 代入原函数求 w: w = (35 - 20)(250 - 5 × 35) = 15 × (250 - 175) = 15 × 75 = 1125 元。

答案: (1) w = -5x² + 350x - 5000 (2) 当销售单价定为35元时，每天的利润最大,最大利润是1125元。

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例题2：几何图形最值问题

如图，用长为60米的篱笆靠墙围成一个矩形花园（墙足够长），设矩形的一边长为 x 米。

(1) 求花园面积 S 与 x 之间的函数关系式； (2) 当 x 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

解析:

• 分析: 篱笆总长为60米，用于围三条边（两条宽和一条长，或两条长和一条宽），我们需要根据 x 的定义来确定哪一边是 x。
  • 情况一: 假设 x 是与墙平行的边的长度。
    • 则另外两条与墙垂直的边长度之和为 (60 - x) 米，每条边长为 (60 - x) / 2 米。
    • 面积 S = x × (60 - x) / 2 = -0.5x² + 30x。
  • 情况二: 假设 x 是与墙垂直的边的长度。
    • 则与墙平行的边长为 (60 - 2x) 米。
    • 面积 S = x × (60 - 2x) = -2x² + 60x。
  • 通常题目会给出示意图或明确说明，我们以情况二为例进行解答。

(1) 求函数关系式

• 设与墙垂直的边长为 x 米，则与墙平行的边长为 (60 - 2x) 米。
• 面积 S = x(60 - 2x) = -2x² + 60x。
• 注意自变量 x 的取值范围: 边长必须为正数。
  • x > 0
  • 60 - 2x > 0 => x < 30
  • 0 < x < 30。

(2) 求最大面积

• S = -2x² + 60x 是一个开口向下的抛物线,有最大值。
• 顶点横坐标 x = -b / (2a) = -60 / (2 × -2) = 60 / 4 = 15。
• x = 15 在其取值范围 (0, 30) 内。
• 将 x = 15 代入函数求 S: S = -2(15)² + 60(15) = -2 × 225 + 900 = -450 + 900 = 450 平方米。

答案: (1) S = -2x² + 60x (0 < x < 30) (2) 当与墙垂直的边长为15米时，花园的面积最大,最大面积是450平方米。

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解题技巧与注意事项

1. 定义域是关键: 二次函数的图像是无限延伸的，但实际问题中的自变量（如长度、时间、价格）都有其取值范围。求出的解必须在定义域内才有效。
2. 选择合适的函数形式:
   • 求最值问题，顶点式最方便。
   • 已知与x轴的交点（如求落地时间、盈利与亏损的平衡点），交点式最方便。
   • 一般情况，一般式是基础。
3. 理解 a 的作用: a 的符号决定了开口方向，从而决定了函数有最大值还是最小值，这是判断“最大利润”还是“最小成本”的第一步。
4. 建立模型是核心: 将文字语言转化为数学符号和关系式是解题中最难的一步，一定要反复读题,找出等量关系。
5. 注意单位: 最后作答时，不要忘记带上单位（如元、平方米、秒等）。

希望这份详细的总结能帮助你攻克九年级二次函数应用题！多加练习，掌握建模的思路，你会发现这类题目其实有很强的规律性,祝你学习进步！