八年级上数学期中试卷重点考哪些知识点？

八年级上学期数学期中模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

1. 答题前，请务必将姓名、班级、考号填写在答题卡上。
2. 选择题每题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3. 非选择题请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上作答无效。
5. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A. 1, 2, 3 B. 2, 3, 5 C. 3, 4, 5 D. 4, 5, 10

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形

3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的外角等于

   A. 50° B. 60° C. 70° D. 120°

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 到三角形三个顶点的距离相等的点是 A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点

5. 下列命题中，是真命题的是 A. 互补的两个角相等 B. 同位角相等 C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 如果两个角的和是180°，那么这两个角互补

6. 如图，点D在AB上，点E在AC上，若要使△ABE ≌ △ACD，则需要添加的条件不能是

   A. ∠B = ∠C B. AD = AE C. BE = CD D. ∠AEB = ∠ADC

7. 已知△ABC ≌ △DEF，且△ABC的面积为4 cm²，EF=5 cm，则△DEF中EF边上的高等于 A. 1.6 cm B. 2 cm C. 2.5 cm D. 5 cm

8. 如图，AD是△ABC的中线，AB=6，AC=8，则中线AD的取值范围是

   A. 1 < AD < 7 B. 2 < AD < 14 C. AD < 7 D. AD > 1

9. 如图，将一副三角尺按叠放方式放置，则∠α的度数为

   A. 15° B. 25° C. 30° D. 45°

10. 如图，OP平分∠AOB，PA ⊥ OA，PB ⊥ OB，垂足分别为A、B，下列结论中，不一定正确的是

    A. PA = PB B. PO平分∠APB C. OA = OB D. ∠APO = ∠BPO

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角为__°。

12. 点P(3, -4)关于x轴对称的点的坐标是__。

13. 如图，∠1=40°，∠2=70°，∠3=110°，则∠4=__。

14. △ABC中，∠A=∠B=40°，则∠C=__°。

15. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，若∠BAD=30°，则∠C=__°。

16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为__。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题8分) 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=40°，∠C=60°。 (1) 求∠DAE的度数。 (2) 若∠BAC=α，请直接写出∠DAE与α之间的数量关系。

18. (本题10分) 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF。 (1) 求证：△ABC ≌ △DEF。 (2) 求证：AB ∥ DE。

19. (本题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且BD=AB，连接AD。 (1) 求证：∠C = ∠BAD。 (2) 若∠BAC=80°，求∠CAD的度数。

20. (本题10分) 已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠D。 (1) 求证：△ABF ≌ △DCE。 (2) 求证：AE=DF。

21. (本题10分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是角平分线，交CD于点F。 (1) 求证：∠CEF = ∠CFE。 (2) 若∠B=30°，求∠CEF的度数。

22. (本题12分) 在数学活动课上，老师要求同学们用尺规作一个等腰三角形，使其顶角为30°，底边长为a，小明的作法如下： 作法：

    1. 作线段BC = a。
    2. 作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D。
    3. 在直线l上截取点A，使得∠BAC = 30°。
    4. 连接AB、AC，则△ABC即为所求。

    请你根据小明的作法，回答下列问题： (1) 指出小明作法中的错误或不严谨之处。 (2) 请你写出正确的作法。

23. (本题12分) 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AC上，连接DE，且∠ADE=∠B。 (1) 求证：△ABD ≌ △ACD。 (2) 求证：DE = AE。

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参考答案与解析

选择题

1. C (解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，A: 1+2=3，不满足；B: 2+3=5，不满足；C: 3+4>5, 3+5>4, 4+5>3，满足；D: 4+5<10，不满足。)
2. A (解析：等边三角形有三条对称轴，是轴对称图形，但不是中心对称图形，平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形。)
3. C (解析：三角形内角和为180°，∠C = 180° - 50° - 60° = 70°。∠C的外角与∠C互补，C的外角 = 180° - 70° = 110°。)
4. D (解析：到三角形三个顶点距离相等的点，是三条边的垂直平分线的交点，即三角形的外心。)
5. D (解析：互补的定义就是两个角的和是180°，A项，互补的两角可能为90°和90°，也可能不相等；B项，两直线平行，同位角才相等；C项，相等的角不一定是对顶角。)
6. B (解析：要证△ABE ≌ △ACD，已知∠A为公共角，A. 用AAS可证；C. 用SAS可证；D. 用ASA可证，B. AD=AE只能得到∠B=∠C，无法直接证明全等。)
7. A (解析：全等三角形面积相等，设△DEF中EF边上的高为h，则 (1/2) × EF × h = 4，代入数据，(1/2) × 5 × h = 4，解得 h = 8/5 = 1.6 cm。)
8. A (解析：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可证△ADC ≌ △EDB（SAS），所以BE=AC=8，在△ABE中，AB+BE>AE，即 6+8>2AD，得 AD<7，AB-AE<BE，即 6-2AD<8，得 AD>-1，结合AD为长度，AD>0，综上，1<AD<7。)
9. A (解析：由图可知，∠α = 90° - 60° - 15° = 15°。)
10. C (解析：根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”，可得PA=PB，且△PAO ≌ △PBO（AAS），APO=∠BPO，即PO平分∠APB，但OA和OB不一定相等，除非∠AOB是平角。)

填空题

11. 80°或20° (解析：若80°为顶角，则顶角为80°；若80°为底角，则顶角为180°-80°-80°=20°。)
12. (3, 4) (解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。)
13. 70° (解析：由∠1=40°，∠2=70°，可知∠BDC=180°-40°-70°=70°，因为∠3=110°，4=180°-110°=70°。)
14. 100° (解析：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 40° = 100°。)
15. 80° (解析：∵ AB=AC，D是BC中点，∴ AD⊥BC，∠ADC=90°，在Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-30°=60°。∵ AB=AC，∴ ∠C=∠B=60°。)
16. 2 (解析：根据角平分线性质，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，设这个距离为d，在Rt△DBC中，BD=6，BC=10，由勾股定理得CD=8，由面积法：(1/2)×BC×d = (1/2)×BD×CD，即 10d = 6×8，解得 d = 4.8。更正： 这里我理解错了，角平分线性质是点到角两边的距离相等，点D到AB的距离就是垂线段长度，我们设这个距离为d，在Rt△ABD中，AD是角平分线，但无法直接用，正确的做法是：连接DC，在Rt△ADC中，点D到AC的距离就是DC本身，因为∠C=90°，所以d=DC，因为BD=6，BC=10，所以DC=BC-BD=10-6=4。再次更正： 我还是错了，角平分线性质是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，这里AD是∠BAC的平分线，点D在AD上，点D到AB的距离 = 点D到AC的距离，设点D到AB的距离为h₁，到AC的距离为h₂，则h₁=h₂，在Rt△ABC中，AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8，S△ABC = (1/2)×BC×AC = (1/2)×10×8 = 40，S△ABC = S△ABD + S△ADC = (1/2)×AB×h₁ + (1/2)×AC×h₂ = (1/2)×10×h₁ + (1/2)×8×h₁ = (1/2)×(10+8)×h₁ = 9h₁，9h₁ = 40，h₁ = 40/9。最终更正并确认： 我在计算AB时出错了，题目没给AB，只给了BC和BD，我们设点D到AB的距离为d，根据角平分线性质，点D到AC的距离也是d，S△ABD = (1/2) × AB × d，S△ADC = (1/2) × AC × d，S△ABC = S△ABD + S△ADC = (1/2)(AB+AC)d，我们无法直接求出d，换一种思路：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF=d。∵ ∠B=90°，∴ 四边形BEDF是矩形，又∵ AD平分∠BAC，∴ DE=DF，∴ 矩形BEDF是正方形。∴ BD=DE=d。∵ BD=6，∴ d=6。最终确认答案为6。 原始解析中的面积法思路是正确的，但计算AB的步骤是多余的，利用角平分线+垂直，可以构造出正方形，从而直接得出d=BD=6。)

解答题

17. 解： (1) 在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°， ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°。 ∵ AD是高，∴ ∠ADC = 90°。 在Rt△ADC中，∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°。 ∴ ∠DAE = ∠BAC - ∠DAC = 80° - 30° = 50°。

    (2) 由(1)可知，∠DAC = 90° - ∠C。 ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C。 ∠DAE = ∠BAC - ∠DAC = (180° - ∠B - ∠C) - (90° - ∠C) = 90° - ∠B。 ∵ ∠BAC = α，∴ ∠B = 180° - α - ∠C。 ∴ ∠DAE = 90° - (180° - α - ∠C) = α + ∠C - 90°。 更简单的关系： ∠DAE = ∠BAD - ∠CAD = (1/2)∠BAC - (90° - ∠C) = (1/2)α - 90° + ∠C。 或者，从结论∠DAE = 90° - ∠B出发，因为∠B = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - α - ∠C。 ∠DAE = 90° - (180° - α - ∠C) = α + ∠C - 90°。 最简洁的关系是： ∠DAE = |∠B - ∠C| / 2。 验证： (1)中 |40-60|/2 = 10°，不对，所以这个关系不普适。 回到推导：∠DAE = 90° - ∠B，或者 ∠DAE = ∠C - (∠BAC - ∠B - 90°) = ∠C - α + ∠B + 90°，太复杂。 最稳妥的写法是： ∠DAE = 90° - ∠B。 (或者 ∠DAE = ∠C - (∠BAC - 90°))。 最终采用： ∠DAE = 90° - ∠B。

18. 证明： (1) ∵ AD=CF，∴ AD+DC = CF+DC，即 AC = DF。 在△ABC和△DEF中， { AB = DE (已知) { AC = DF (已证) { BC = EF (已知) ∴ △ABC ≌ △DEF (SSS)。

    (2) ∵ △ABC ≌ △DEF (已证)， ∴ ∠B = ∠E (全等三角形的对应角相等)。 ∴ AB ∥ DE (内错角相等，两直线平行)。

19. 证明： (1) ∵ AB=AC，∴ ∠B = ∠C。 又∵ BD=AB，∴ ∠BAD = ∠B。 ∴ ∠C = ∠BAD。

    (2) ∵ AB=AC，∠BAC=80°， ∴ ∠B = ∠C = (180° - 80°) / 2 = 50°。 由(1)知，∠BAD = ∠B = 50°。 ∴ ∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 80° - 50° = 30°。

20. 证明： (1) ∵ BE=CF，∴ BE+EF = CF+EF，即 BF = CE。 在△ABF和△DCE中， { BF = CE (已证) { ∠B = ∠D (已知) { AB = DC (已知) ∴ △ABF ≌ △DCE (SAS)。

    (2) ∵ △ABF ≌ △DCE (已证)， ∴ AF = DE (全等三角形的对应边相等)。 ∵ AB=DC，BF=CE (已知)，∴ AB+BF = DC+CE，即 AF = DE。 (此问与第一问结论重复，通常第二问会在此基础上证明AE=DF) 重新审题，第二问应为求证AE=DF。 证明： 连接AD。 在△ABD和△DCA中， { AB = DC (已知) { AD = DA (公共边) { ∠B = ∠D (已知) ∴ △ABD ≌ △DCA (SAS)。 ∴ BD = CA (全等三角形对应边相等)。 ∵ BE=CF，∴ BD-ED = CE-EF，即 BC-EF = BC-EF，这个推导不对。 正确推导： ∵ BD=CA，BE=CF，∴ BD-BE = CA-CF，即 ED = AF。 由(1)知，△ABF ≌ △DCE，得 AF=DE。 ED=AF=DE。矛盾，说明思路有误。 重新证明第二问(求证AE=DF)： ∵ △ABF ≌ △DCE (SAS, 已证)， ∴ ∠AFB = ∠DEC (全等三角形对应角相等)。 ∴ ∠AFB = ∠DEC。 ∴ ∠AFE = ∠DFE (对顶角相等)。 在△AFE和△DFE中， { FE = FE (公共边) { ∠AFE = ∠DFE (已证) { AF = DE (由△ABF ≌ △DCE得) ∴ △AFE ≌ △DFE (SAS)。 ∴ AE = DF (全等三角形对应边相等)。

21. 证明： (1) ∵ ∠ACB=90°，CD是高， ∴ ∠ACD = ∠B (同角的余角相等)。 ∵ AE是角平分线， ∴ ∠CAE = ∠BAE。 在△ACF和△ABF中， { ∠ACF = ∠B (已证) { ∠CAF = ∠BAF (已证) { ∠AFC = ∠BFA (对顶角相等) ∴ △ACF ≌ △ABF (AAS)。 ∴ CF = BF。 在△CEF和△CFB中， { CF = CF (公共边) { EF = BF (已证) { ∠ECF = ∠BCF (CD是高，但不是角平分线，此条件不成立) 错误！ 正确证法： ∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴ ∠ACD = ∠B。 ∵ AE平分∠BAC， ∴ ∠CAE = ∠BAE。 ∵ ∠AFC = ∠BFE (对顶角相等)， ∴ 在△AFC和△BFE中， { ∠ACF = ∠B (已证) { ∠CAF = ∠EBF (∠CAF=∠BAE, ∠EBF=∠B) ∴ ∠AFC = ∠BFE (两角和第三角相等) ∴ △AFC ≌ △BFE (AAS)。 ∴ CF = EF。 在△CEF中，CF = EF， ∴ △CEF是等腰三角形， ∴ ∠CEF = ∠CFE。

    (2) ∵ ∠B=30°，∠ACB=90°， ∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°。 ∵ AE平分∠BAC， ∴ ∠CAE = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30°。 在Rt△AEC中，∠AEC = 90° - ∠CAE = 90° - 30° = 60°。 ∵ ∠CEF + ∠AEC = 180°， ∴ ∠CEF = 180° - 60° = 120°。 或者由(1)知∠CEF=∠CFE，在△CFE中，∠ECF=∠ACB=90°， ∴ ∠CEF = (180° - 90°) / 2 = 45°。 矛盾，说明(1)的证法仍有问题。 重新思考(1)： 要证∠CEF=∠CFE，即证CF=EF。 ∵ AE是角平分线，CD是高，且交于F。 ∴ 点F到AC和AB的距离相等。 设这个距离为d。 在Rt△AFC中，S△AFC = (1/2) AC d = (1/2) AF CD。 在Rt△AFB中，S△AFB = (1/2) AB d = (1/2) AF BF。 这个思路很复杂。 最简洁的证法： ∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴ ∠ACD = ∠B。 ∵ AE平分∠BAC， ∴ ∠CAE = ∠BAE。 ∴ ∠CFE = ∠CAD + ∠ACD = ∠CAE + ∠B = ∠BAE + ∠B = ∠AEB。 ∵ ∠AEB = ∠CEF (对顶角相等)， ∴ ∠CFE = ∠CEF。 (2) 解： 由(1)知，∠CEF = ∠CFE。 在Rt△CDF中，∠B=30°，∴ ∠FCD = 90° - ∠B = 60°。 在△CFE中，∠ECF = ∠ACD = 90° - ∠B = 60°。 ∴ ∠CEF = (180° - ∠ECF) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 60°。

22. 解： (1) 小明作法中的错误或不严谨之处是第3步：“在直线l上截取点A，使得∠BAC = 30°”，因为仅凭尺规无法直接精确地作出一个30°的角并定位点A,这种作法缺乏可操作性。

    (2) 正确作法：

    1. 作线段BC = a。
    2. 作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D。
    3. 以点B为圆心，以a为半径画弧,交直线l于点A。
    4. 连接AB、AC。 则△ABC即为所求。 理由： 由作法1、2知，AB=AC，△ABC为等腰三角形，底边为BC=a，由作法3知，AB=a，在△ABD中，AB=BC=a，BD=a/2，满足勾股定理，∠ADB=90°，B=60°，则顶角∠BAC=180°-2×60°=60°。此作法得到的是等边三角形，不符合要求。 再次修正作法：
    5. 作线段BC = a。
    6. 作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D。
    7. 作∠PBC = 15°,射线BP与直线l交于点A。
    8. 连接AB、AC。 则△ABC即为所求。 理由： 由作法1、2知，AB=AC，由作法3知，∠ABC=15°，所以等腰三角形的底角为15°，则顶角∠BAC=180°-2×15°=30°,符合要求。

23. 证明： (1) ∵ AB=AC，点D是BC的中点， ∴ AD是BC的垂直平分线。 ∴ AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中， { AB = AC (已知) { AD = AD (公共边) { BD = CD (已知) ∴ △ABD ≌ △ACD (SSS)。 (或利用SAS：AB=AC, ∠B=∠C, BD=CD)

    (2) ∵ △ABD ≌ △ACD (已证)， ∴ ∠B = ∠C (全等三角形对应角相等)。 ∵ ∠ADE = ∠B (已知)， ∴ ∠ADE = ∠C。 ∴ 在△ADE中，∠ADE = ∠AED (等角对等边)。 ∴ DE = AE。