七年级上册数学有理数，学什么？怎么学？
校园之窗 2025年12月9日 07:37:37 99ANYc3cd6
第一章 有理数 —— 知识结构与核心要点
本章可以大致分为四个部分：
- 有理数的概念：引入负数，定义有理数。
- 有理数的运算：本章的重中之重，包括加减乘除和乘方。
- 有理数的混合运算：综合运用各种运算。
- 科学记数法与近似数：大数的表示和估算。
第一部分：有理数的概念
正数和负数
- 正数：大于0的数，如
+5,14,1/2。+”可以省略不写。 - 负数：在正数前面加上负号“-”的数，如
-3,-1.5,-4/7。“-”不能省略。 - 0：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
- 引入负数的原因：为了表示具有相反意义的量。
- 零上5℃记作
+5℃，零下3℃记作-3℃。 - 收入500元记作
+500元，支出300元记作-300元。 - 海平面以上8844.43米记作
+8844.43米，海平面以下155米记作-155米。
- 零上5℃记作
有理数
- 定义：整数和分数统称为有理数。
- 分类：
- 按定义分：
- 有理数 $\begin{cases} \text{整数} \begin{cases} \text{正整数 (如 1, 2, 3)} \ \text{零} \ \text{负整数 (如 -1, -2, -3)} \end{cases} \ \text{分数} \begin{cases} \text{正分数 (如 1/2, 0.5)} \ \text{负分数 (如 -1/3, -0.75)} \end{cases} \end{cases}$
- 按符号分：
- 有理数 $\begin{cases} \text{正有理数} \begin{cases} \text{正整数} \ \text{正分数} \end{cases} \ \text{零} \ \text{负有理数} \begin{cases} \text{负整数} \ \text{负分数} \end{cases} \end{cases}$
- 按定义分：
- 注意：任何有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都是有理数（如
25 = 1/4，333... = 1/3）。
数轴
- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 三要素：缺一不可。
- 原点：数轴上表示0的点。
- 正方向：通常规定向右为正方向。
- 单位长度：数轴上每相邻两个点之间的距离。
- 作用：
- 表示数：所有的有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
- 比较大小：数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正数 > 0 > 负数。
相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
- 性质：
a的相反数是-a。0的相反数是0。- 互为相反数的两个数之和为
0，即a + (-a) = 0。
绝对值
- 定义：一个数在数轴上表示的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。
- 表示方法：数
a的绝对值记作|a|。 - 求法：
- 正数的绝对值是它本身：
|+5| = 5 - 负数的绝对值是它的相反数：
|-5| = 5 - 0的绝对值是0：
|0| = 0
- 正数的绝对值是它本身：
- 性质：
- 任何数的绝对值都是非负数，即
|a| ≥ 0。 |a| = b(b > 0)，a = b或a = -b。
- 任何数的绝对值都是非负数，即
第二部分：有理数的运算 (本章核心)
有理数的加法
- 法则：
- 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
(+5) + (+3) = +8(-5) + (-3) = -8
- 异号两数相加：取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。
(+5) + (-3) = +2(-5) + (+3) = -2
- 互为相反数的两个数相加：和为
0。(+5) + (-5) = 0
- 一个数与0相加：仍得这个数。
(-5) + 0 = -5
- 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
- 运算律：
- 加法交换律：
a + b = b + a - 加法结合律：
(a + b) + c = a + (b + c)
- 加法交换律：
有理数的减法
- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a - b = a + (-b)
- 示例：
9 - (-5) = 9 + (+5) = 14-3 - 7 = -3 + (-7) = -10
有理数的乘法
- 法则：
- 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
(+5) × (+3) = +15(+5) × (-3) = -15(-5) × (+3) = -15(-5) × (-3) = +15
- 任何数与0相乘：积为
0。5 × 0 = 0(-5) × 0 = 0
- 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 运算律：
- 乘法交换律：
a × b = b × a - 乘法结合律：
(a × b) × c = a × (b × c) - 乘法分配律：
a × (b + c) = a × b + a × c（非常重要！）
- 乘法交换律：
有理数的除法
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
a ÷ b = a × (1/b)(b ≠ 0)
- 倒数：乘积为
1的两个数互为倒数。a的倒数是1/a(a ≠ 0)。1的倒数是1，-1的倒数是-1。
- 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(-12) ÷ (-4) = 312 ÷ (-4) = -3
- 0除以任何非0的数都得0。
有理数的乘方
- 定义：求n个相同因数
a的积的运算，叫做a的n次方，记作aⁿ。a叫做底数，n叫做指数。 - 读法：
aⁿ读作 “a的n次方” 或 “a的n次幂”。 - 符号法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
- 任何非零数的0次幂都等于1 (
a⁰ = 1, a ≠ 0)。
- 注意：
(-2)³表示-2的三次方，底数是-2，结果是-8。-2³表示2的三次方的相反数，底数是2，结果是-8。
第三部分：有理数的混合运算
- 运算顺序（运算律）：
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 同级运算,从左到右依次进行。
- 如果有括号，先算小括号 里的，再算中括号
[ ]里的，最后算大括号 里的。
- 示例：
(-3)² + [18 - (-4) × (-1/2)] ÷ 5= 9 + [18 - 2] ÷ 5= 9 + 16 ÷ 5= 9 + 3.2= 12.2
第四部分：科学记数法与近似数
科学记数法
- 定义：把一个大于10的数表示成
a × 10ⁿ的形式，1 ≤ |a| < 10，n是正整数。 - 方法：
- 确定
a：将原数的小数点向左移动，直到1 ≤ a < 10。 - 确定
n：小数点移动了多少位，n就是多少。
- 确定
- 示例：
570 000 000 = 5.7 × 10⁸(小数点向左移动了8位)-3 150 = -3.15 × 10³(小数点向左移动了3位)
近似数与有效数字
- 近似数：与实际接近的数，我国人口约
14亿，圆周率π ≈ 3.14。 - 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。
- 有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
- 示例：
03050(精确到万分位)- 有效数字有 4 个：
3,0,5,0。 - 注意：数字
3前面的0不是有效数字，但3和5之间的0以及末尾的0都是有效数字。
- 有效数字有 4 个：
60(精确到百分位)- 有效数字有 3 个：
1,6,0。 - 末尾的
0表示精确度，不能省略。
- 有效数字有 3 个：
学习建议
- 理解概念：不要死记硬背法则，要理解其背后的含义（如数轴、相反数、绝对值的几何意义）。
- 掌握运算：运算是本章的核心，必须做到又快又准，每天进行适量的练习，特别是混合运算。
- 注意符号：有理数运算最容易出错的地方就是符号，做题时要时刻关注“同号”、“异号”的判断。
- 善用运算律：合理运用交换律、结合律、分配律可以简化运算，提高效率。
- 勤于总结：准备一个错题本，记录常错的题目和原因，定期回顾。
希望这份详细的梳理能帮助你更好地学习《有理数》这一章！加油！
（图片来源网络，侵删）
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