八年级数学上册应用题怎么解？

第一部分：全等三角形的应用题

全等三角形的应用题核心是利用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定定理，证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质来解决线段或角的大小关系问题。

解题关键：

1. 找“公共边”或“公共角”：这是构造全等三角形最常用的条件。
2. 利用垂直、平分线等条件：垂直意味着直角，平分线意味着角相等,这些都是证明全等的突破口。
3. “截长补短”法：当题目中涉及到一条线段等于另外两条线段之和或差时,常用此法构造全等三角形。

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典型例题 1：利用公共边/角

问题： 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边作等边三角形 △ACD 和 △BCE，连接 AE 和 DB。 求证：AE = DB。

解题思路：

1. 观察图形：要证明 AE = DB,可以考虑证明包含这两条边的两个三角形全等。
2. 寻找三角形：△ACE 和 △DCB 看起来像是可能全等的三角形。
3. 寻找条件：
   • 角：因为 △ACD 和 △BCE 都是等边三角形，∠ACD = ∠BCE = 60°。
   • 公共角：∠ACE = ∠ACD - ∠DCE，∠DCB = ∠BCE - ∠DCE。∠ACE = ∠DCB。
   • 边：AC = CD（等边三角形性质），BC = CE（等边三角形性质）。
4. 应用判定：在 △ACE 和 △DCB 中，我们已经找到了两边（AC=CD, BC=CE）和它们的夹角（∠ACE=∠DCB）对应相等，符合 SAS 全等判定。
5. 得出结论：因为 △ACE ≌ △DCB，所以它们的对应边 AE = DB。

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典型例题 2：截长补短法

问题： 如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，使得 AF = CF。 求证：BE = EF。

解题思路：

1. 分析目标：要证明 BE = EF，即证明 E 是 BF 的中点。
2. 分析已知：AD 是中线，说明 BD = DC，AF = CF，说明 F 是 AC 的中点。
3. 构造辅助线（截长补短）：这里可以采用“倍长中线法”。
   • 延长 AD 到点 G，使得 DG = AD。
   • 连接 BG、CG。
4. 证明全等：
   • 在 △ABD 和 △GCD 中，因为 AD = DG，∠ADB = ∠GDC（对顶角），BD = CD（已知），△ABD ≌ △GCD (SAS)。
   • 同理，在 △AFD 和 △GFD 中，可以证明 △AFD ≌ △GFD (SAS)。
5. 利用全等结论：
   • 由 △ABD ≌ △GCD，得 AB = GC，且 ∠BAD = ∠CGD。
   • 由 △AFD ≌ △GFD，得 AF = GF。
   • 因为 AF = CF，AF = GF = CF，这说明 F 是 AC 的中点，也是 AG 的中点。
   • 在 △ABG 中，F 是 AG 的中点，连接 BF 并延长交 AC 于... (回到原题)，我们发现 BF 是 △ABG 的一条中线。
   • 因为 AB = GC，且 F 是 AC 的中点，所以四边形 ABGC 是平行四边形（对角线互相平分）。
   • 在平行四边形中，对角线互相平分，BF 和 AG 互相平分，即 E 是 BF 的中点。
6. 得出结论：BE = EF。

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第二部分：轴对称的应用题

轴对称的应用题核心是利用“对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”这一性质，以及两点之间线段最短的原理。

解题关键：

1. 作对称点：解决“将军饮马”类问题时，在其中一个动点所在的直线上（或其对称位置）找到另一个动点的对称点。
2. 连接两点成线段：利用“两点之间线段最短”原理,将最短路径问题转化为求线段长度的问题。
3. 利用垂直平分线性质：证明线段相等或角相等。

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典型例题 1：将军饮马问题（两点一线）

问题： 如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 AP + PB 的值最小。

解题思路：

1. 作对称：作点 B 关于直线 l 的对称点 B'。
2. 连接：连接 AB'，与直线 l 的交点即为所求的点 P。
3. 证明最短：
   • 根据轴对称性质，PB = PB'。
   • AP + PB = AP + PB'。
   • 根据“两点之间线段最短”，当 A、P、B' 三点共线时，AP + PB' 的值最小，也就是 AB' 的长度。
   • 点 P 的位置就是 AB' 与 l 的交点。

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典型例题 2：将军饮马变式（一点两线）

问题： 如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，在 l 上找一点 P，使得 ∠APB 最大。

解题思路：

1. 作圆：作线段 AB 的垂直平分线，找到 AB 的中点 O。
2. 画圆：以 O 为圆心，OA 为半径作圆，使圆与直线 l 相切，切点即为所求的点 P。
3. 解释原理：
   • 连接 PA, PB, PO。
   • 根据圆的切线性质，PO 是圆的半径，且 PO ⊥ l。
   • 根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，P 在圆上（且不是切点），∠APB 会小于 90°。
   • 当 P 点移动到切点位置时，P、A、B 三点构成的三角形面积最大，∠APB 达到最大值（可以利用相似三角形或三角函数知识证明，此处为直观理解）。

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第三部分：实数与勾股定理的应用题

实数章节的应用题主要涉及无理数的估算、平方根和立方根的实际意义,而勾股定理则是解决几何图形中直角边和斜边关系的核心工具。

解题关键：

1. 建立数学模型：将实际问题（如 ladder, shadow, distance 等）抽象为直角三角形。
2. 确定直角边和斜边：斜边总是对着直角,且是三条边中最长的一条。
3. 应用勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 ($a^2+b^2=c^2$)。

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典型例题 1：勾股定理求距离

问题： 一个 3 米长的梯子，靠在一面垂直的墙上，梯子的脚离墙脚 0.8 米，如果梯子的顶端下滑了 0.5 米,那么梯子的脚将向外移动多少米？

解题思路：

1. 初始状态：

   • 这是一个直角三角形，墙和地面是直角边,梯子是斜边。
   • 斜边 c = 3 米，一条直角边 a = 0.8 米。
   • 求另一条直角边 b（梯子顶端的高度）。
   • $b^2 = c^2 - a^2 = 3^2 - 0.8^2 = 9 - 0.64 = 8.36$
   • $b = \sqrt{8.36} \approx 2.89$ 米。

2. 下滑后状态：

   • 梯子顶端下滑了 0.5 米，新的高度为 $b' = 2.89 - 0.5 = 2.39$ 米。
   • 斜边 c 仍为 3 米。
   • 求新的直角边 a'（梯子脚离墙脚的距离）。
   • $(a')^2 = c^2 - (b')^2 = 3^2 - (2.39)^2 = 9 - 5.7121 = 3.2879$
   • $a' = \sqrt{3.2879} \approx 1.81$ 米。

3. 求移动距离：

   梯子脚向外移动的距离为 $a' - a = 1.81 - 0.8 = 1.01$ 米。

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第四部分：一次函数的应用题

一次函数的应用题是八年级的重难点，它将代数与几何紧密结合，通常涉及行程问题、利润问题、方案选择等。

解题关键：

1. 建立函数模型：确定自变量（通常是时间、数量等）和因变量（通常是路程、利润、总价等），并写出它们之间的函数关系式 $y=kx+b$。
2. 理解 k 和 b 的意义：
   • k (斜率)：表示变化率，在行程问题中，k 是速度；在利润问题中，k 是单件利润或单件成本。
   • b (截距)：表示初始值，在行程问题中，b 是初始路程或初始位置；在利润问题中，b 是固定成本。
3. 利用函数图像和性质：
   • 交点：两个函数图像的交点坐标表示两个变量在某一时刻的值相等。
   • 增减性：当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小。
   • 特殊点：与 x 轴交点（y=0）、与 y 轴交点（x=0）。

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典型例题 1：行程问题（相遇、追及）

问题： 甲、乙两地相距 50 千米，A、B 两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，A 的速度是 6 千米/小时，B 的速度是 4 千米/小时。 (1) 求两人出发后 t 小时时，他们之间的距离 s 与时间 t 的函数关系式。 (2) 几小时后两人相遇？ (3) 画出函数图像。

解题思路：

1. 建立模型：

   • 自变量：时间 t (小时)。
   • 因变量：距离 s (千米)。
   • 两人相向而行，他们之间的距离 s = 初始距离 - (A走的距离 + B走的距离)。
   • A走的距离 = 6t，B走的距离 = 4t。
   • $s = 50 - (6t + 4t) = 50 - 10t$。
   • 定义域：$0 \le t \le 5$ (因为当 t=5 时，s=0，两人相遇)。

2. 求解相遇时间：

   • 相遇时，两人之间的距离 s = 0。
   • 令 $s = 0$，即 $50 - 10t = 0$。
   • 解得 $t = 5$ 小时。

3. 画图像：

   • 这是一个一次函数,图像是一条线段。
   • 与 y 轴交点（t=0）：s=50，坐标为 (0, 50)。
   • 与 x 轴交点（s=0）：t=5，坐标为 (5, 0)。
   • 连接点 (0, 50) 和 (5, 0) 所得的线段即为所求图像。

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典型例题 2：方案选择问题

问题： 某公司要去往 30 千米外的工地,现有两种出行方案：

• 方案一：打车，费用为起步价 10 元（含 2 千米），之后每千米 2 元。
• 方案二：租车，日租金 200 元，另外每千米油费 1 元。 (1) 分别写出两种方案的出行费用 y（元）与行驶路程 x（千米，x ≥ 2）的函数关系式。 (2) 如果去往工地并返回,哪种方案更划算？

解题思路：

1. 建立模型：

   • 方案一（打车）：
     • 当 $x \le 2$ 时，$y_1 = 10$。
     • 当 $x > 2$ 时，$y_1 = 10 + 2(x-2) = 2x + 6$。
   • 方案二（租车）：
     • 费用 = 租金 + 油费 = $200 + 1 \cdot x$。
     • $y_2 = x + 200$。

2. 方案选择（单程）：

   • 去程路程 x = 30 千米。
   • 方案一费用：$y_1 = 2 \times 30 + 6 = 66$ 元。
   • 方案二费用：$y_2 = 30 + 200 = 230$ 元。
   • 比较可知，单程去工地,打车更划算。

3. 方案选择（往返）：

   • 往返总路程 x = 30 × 2 = 60 千米。

   • 方案一费用：$y_1 = 2 \times 60 + 6 = 126$ 元。

   • 方案二费用：$y_2 = 60 + 200 = 260$ 元。

   • 比较可知，往返行程,打车依然更划算。

   • 深入分析（何时租车更划算？）：

   • 令 $y_1 = y_2$，即 $2x + 6 = x + 200$。

   • 解得 $x = 194$ 千米。

   • 这意味着，当单程路程超过 194 千米时，租车会更划算，对于 30 千米的路程,打车是更优选择。

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总结与练习建议

1. 分类练习：先从自己最擅长的章节开始，集中练习一类题型,掌握其通用解法。
2. 画图分析：几何题一定要画图，函数题一定要画坐标系和函数图像,图形是解题的钥匙。
3. 建立模型：应用题的核心是“建模”，把文字语言翻译成数学语言（方程、函数、几何图形）。
4. 错题整理：准备一个错题本，记录典型错题和好的解题思路,定期回顾。

希望这份详细的总结能帮助你更好地掌握八年级数学上册的应用题！如果你有具体的题目需要解答,随时可以提出来。