七年级数学上册奥数题

校园之窗 2026年1月24日 07:55:46 99ANYc3cd6 1 0

奥数思维核心：数形结合、分类讨论、转化与化归

在解决奥数题时，要时刻想着这三个“法宝”。

有理数与绝对值的“高级玩法”

课本上学习了绝对值的定义，但奥数题会深入考察绝对值的几何意义和非负性。

（图片来源网络，侵删）

核心知识点：

几何意义：|a| 表示数 a 在数轴上对应的点到原点 0 的距离。
非负性：|a| ≥ 0，几个非负数的和为零,则它们各自为零。
绝对值的化简：关键是判断绝对值内式子的正负。

经典例题1：绝对值的几何意义（数轴问题）

** 数轴上 A、B 两点分别表示数 -5 和 10，求： (1) 数轴上到 A、B 两点距离相等的点 C 表示的数是多少？ (2) 数轴上是否存在点 P，使得点 P 到点 A 的距离是点 P 到点 B 距离的 2 倍？若存在，求出点 P 表示的数；若不存在,请说明理由。

思路分析： (1) 到 A、B 两点距离相等的点，A、B 两点的中点。 (2) 这是一个典型的分类讨论问题，因为点 P 的位置不确定，它可能在 A 的左边，A 和 B 之间，或者 B 的右边,我们需要分情况讨论。

解答： (1) 点 C 是 A、B 的中点，其表示的数为 (-5 + 10) / 2 = 5 / 2 = 2.5。 (2) 设点 P 表示的数为 x。

P 在 A 的左边（x < -5）
- P 到 A 的距离：|x - (-5)| = -x - 5
- P 到 B 的距离：|x - 10| = 10 - x
- 根据题意：-x - 5 = 2(10 - x)
- 解得：-x - 5 = 20 - 2x => x = 25
- 检验：x=25 不满足 x < -5 的前提,所以此情况无解。
P 在 A 和 B 之间（-5 ≤ x ≤ 10）
- P 到 A 的距离：x - (-5) = x + 5
- P 到 B 的距离：10 - x
- 根据题意：x + 5 = 2(10 - x)
- 解得：x + 5 = 20 - 2x => 3x = 15 => x = 5
- 检验：x=5 满足 -5 ≤ x ≤ 10，x=5 是一个解。
P 在 B 的右边（x > 10）
- P 到 A 的距离：x - (-5) = x + 5
- P 到 B 的距离：x - 10
- 根据题意：x + 5 = 2(x - 10)
- 解得：x + 5 = 2x - 20 => x = 25
- 检验：x=25 满足 x > 10，x=25 是另一个解。
存在这样的点 P，它们表示的数是 5 或 25。

整式化简与求值的“技巧”

课本要求会去括号、合并同类项，奥数题则引入了整体代入、条件求值等技巧,考察对式子结构的洞察力。

（图片来源网络，侵删）

核心知识点：

整体思想：把一个复杂的代数式看作一个整体。
构造法：根据已知条件,构造出目标式子需要的部分。
多项式系数关系：如 ax²+bx+c=0 对任意 x 成立，则 a=0, b=0, c=0。

经典例题2：整体代入与构造法

** 已知 x - 2y = 4，求代数式 3(x - 2y)² - 2(2y - x) - 5 的值。

思路分析： 如果先解方程求出 x 和 y 的值再代入，会非常麻烦，观察到代数式中反复出现 x-2y 和 2y-x（它们互为相反数），我们可以利用整体思想。

解答： 设 A = x - 2y。根据已知条件，A = 4。而 2y - x = -(x - 2y) = -A。将原式用 A 表示： 3A² - 2(-A) - 5 = 3A² + 2A - 5 现在把 A = 4 代入上式： = 3(4)² + 2(4) - 5 = 3 * 16 + 8 - 5 = 48 + 8 - 5 = 51

答案： 51

一元一次方程的“进阶应用”

一元一次方程是奥数的基石，常用于解决行程问题、工程问题、利润问题、数字问题等，奥数题的特点是条件隐蔽、关系复杂。

核心知识点：

设未知数技巧：设“1”份、设中间量为未知数。
等量关系的寻找：从不同角度描述同一个量。
含参方程的讨论：方程的解的正负、整数性等。

经典例题3：复杂行程问题

** 甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行，甲的速度是乙的 1.5 倍，如果甲比乙早出发 40 分钟，但在乙出发后 1 小时两人相遇，求甲、乙两人的速度。

思路分析： 这是典型的“相遇问题”，核心等量关系是：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程,关键在于把时间统一。

解答：

设未知数：设乙的速度为 x 千米/小时，则甲的速度为 5x 千米/小时。
表示时间：
- 甲的总时间 = 40分钟 + 1小时 = 1 2/3 小时 = 5/3 小时。
- 乙的总时间 = 1 小时。
列方程：
- 甲走的路程 = 甲的速度 × 甲的时间 = 5x * (5/3) = 2.5x
- 乙走的路程 = 乙的速度 × 乙的时间 = x * 1 = x
- 根据等量关系：5x + x = 36
解方程：
- 5x = 36
- x = 36 / 3.5 = 72 / 7 ≈ 10.29 (千米/小时)
- 甲的速度 5x = 1.5 * (72/7) = 108/7 ≈ 15.43 (千米/小时)

答案： 乙的速度是 72/7 千米/小时，甲的速度是 108/7 千米/小时。

定义新运算与找规律

这类题主要考察快速学习新规则和归纳推理的能力。

核心知识点：

定义新运算：严格按照新定义的运算规则进行计算。
找规律：从特例入手，观察数或式子的变化规律（如：差、商、和、平方等）。

经典例题4：定义新运算

* 对于有理数 a, b，我们定义一种新运算“⊕”，规则是 a ⊕ b = 2a - b，`3 ⊕ 5 = 23 - 5 = 1。 (1) 求4 ⊕ (2 ⊕ 3)的值。 (2) 若x ⊕ 5 = 3`，求 x 的值。

思路分析： 严格按照“先算括号内，再算括号外”的原则,并代入定义的公式。

解答： (1) 先算括号内：2 ⊕ 3 = 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1 再算括号外：4 ⊕ 1 = 2*4 - 1 = 8 - 1 = 7 4 ⊕ (2 ⊕ 3) = 7。

(2) 根据定义：x ⊕ 5 = 2x - 5 根据题意：2x - 5 = 3 解得：2x = 8，x = 4。

应用题综合（浓度、方案选择等）

经典例题5：浓度问题（十字交叉法思想）

** 现有含盐 10% 的盐水 20 克和含盐 20% 的盐水 30 克，将这两种盐水混合,求混合后盐水的浓度。

思路分析： 混合后盐的总量 ÷ 混合后盐水的总量 = 新浓度。

解答：

盐的总量：20 * 10% + 30 * 20% = 2 + 6 = 8 (克)
盐水的总量：20 + 30 = 50 (克)
新浓度：(8 / 50) * 100% = 16%

答案： 混合后盐水的浓度为 16%。

练习题（请你尝试做一做）

（绝对值） 已知 |x-2| + |y+3| = 0，求 x+y 的值。
（整式求值） 已知 a + b = 5，ab = 6，求 a² + b² 的值。（提示：利用 (a+b)² 的展开式）
（方程应用） 某商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元,这种服装每件的成本价是多少元？
（定义新运算） 定义 a ※ b = a² - 2ab，计算 (1 ※ 2) ※ 3。
（找规律） 观察下列数列的规律，写出第 5 个数和第 n 个数。 2, 6, 12, 20, ...

练习题答案与提示

答案： -1 提示： 利用非负性，两个非负数 |x-2| 和 |y+3| 的和为 0，则它们都为 0。x=2, y=-3。
答案： 13 提示： a² + b² = (a+b)² - 2ab = 5² - 2*6 = 25 - 12 = 13。
答案： 125 元 提示： 设成本价为 x 元。
- 标价：(1 + 40%)x = 1.4x
- 售价：4x * 0.8 = 1.12x
- 利润：售价 - 成本 = 1.12x - x = 0.12x
- 根据题意：12x = 15，解得 x = 125。
答案： 36 提示： 先算括号内：1 ※ 2 = 1² - 2*1*2 = 1 - 4 = -3，再算括号外：(-3) ※ 3 = (-3)² - 2*(-3)*3 = 9 + 18 = 27。 （抱歉，我计算错了，重新算一遍）
- 1 ※ 2 = 1² - 2*1*2 = 1 - 4 = -3
- (-3) ※ 3 = (-3)² - 2*(-3)*3 = 9 - (-18) = 9 + 18 = 27。 答案更正为 27。
答案： 第5个数是 30，第 n 个数是 n(n+1)。 提示：
- 第1个数：2 = 1 * 2
- 第2个数：6 = 2 * 3
- 第3个数：12 = 3 * 4
- 第4个数：20 = 4 * 5
- 第 n 个数：n * (n+1)