九年级数学中考测试卷含哪些重点题型？

这份试卷严格遵循中考的题型、题量、难度和时间分配，涵盖了初中数学的核心知识点，旨在帮助同学们进行全面的自我检测和考前冲刺。

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九年级数学中考模拟测试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

注意事项：

1. 本试卷共三大题,26小题。
2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 所有答案均需填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5mm黑色签字笔描黑。

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. $-2025$ 的相反数是 A. $-2025$ B. $2025$ C. $-\frac{1}{2025}$ D. $\frac{1}{2025}$

2. 下列运算正确的是 A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^6$ C. $a^6 \div a^2 = a^3$ D. $(a+b)^2 = a^2 + b^2$

3. 下列图形中,既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 等腰梯形

4. 2025年5月,某市空气质量优良天数达到150天，将150用科学记数法表示为 A. $0.15 \times 10^3$ B. $1.5 \times 10^2$ C. $15 \times 10^1$ D. $150 \times 10^0$

5. 不等式组 $\begin{cases} x-1 > 0 \ 2x-1 \le 3 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是

   A. B. C. D.

6. 某校九年级（1）班50名同学的体重统计表如下：

体重（kg）	45	48	50	52	55
人数	5	10	20	10	5

则该班同学体重的众数和中位数分别是
A. 50, 50
B. 50, 52
C. 52, 50
D. 20, 50

7. 如图,在$\triangle ABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$边上的点，$DE \parallel BC$，$AD=2$，$DB=3$，$DE=4$，则$BC$的长为

   A. 6 B. 7 C. 8 D. 10

8. x$的一元二次方程$x^2-4x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是 A. $k < 4$ B. $k > 4$ C. $k \le 4$ D. $k \ge 4$

9. 如图,$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，$OD \perp BC$，$D$为垂足，若$AB=10$，$\angle B=30^\circ$，则$OD$的长为

   A. 5 B. $\frac{5}{2}$ C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ D. $5\sqrt{3}$

10. 如图,在平面直角坐标系中，点$A$、$B$的坐标分别为$(1,0)$、$(3,2)$，将线段$AB$向右平移2个单位长度，得到线段$A'B'$，则点$A'$的坐标为

    A. $(3,0)$ B. $(3,2)$ C. $(1,2)$ D. $(-1,0)$

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式：$x^2 - 4y^2 = \underline{\quad}$。

12. 函数$y=\sqrt{x-2}$中，自变量$x$的取值范围是 $\underline{\quad}$。

13. 如图,$\angle 1 = 70^\circ$，$\angle 2 = 110^\circ$，$AB \parallel CD$，则$\angle 3$的度数为 $\underline{\quad}$。

14. 一个圆锥的底面半径为3,高为4，则这个圆锥的侧面积为 $\underline{\quad}$（结果保留$\pi$）。

15. 如图,在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$AC=8$，$BC=6$，点$D$在边$AC$上，$AD=2$，$DE \perp AB$于点$E$，则$DE$的长为 $\underline{\quad}$。

16. 观察下列等式： $1^3 = 1^2$ $1^3 + 2^3 = 3^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2$ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2$ ... 按此规律，$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3 = \underline{\quad}$。

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解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题满分8分） 计算：$(\pi - 2025)^0 + |-3| + 2\cos 45^\circ - (\frac{1}{2})^{-1}$。

18. （本题满分8分） 先化简，再求值：$(\frac{a}{a-1} - \frac{2}{a+1}) \cdot \frac{a^2-1}{a}$，a=2+\sqrt{3}$。

19. （本题满分8分） 如图，在$\square ABCD$中，$E$、$F$是对角线$AC$上的两点，且$AE=CF$。 求证：$BE=DF$。

20. （本题满分8分） 某校为了解九年级学生每周的体育锻炼时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图表（不完整）。

    请根据图中信息,解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）求“3小时”所在扇形的圆心角的度数。 （3）如果该校九年级共有800名学生，请估计每周体育锻炼时间达到3小时及以上的学生有多少名？

(注：此处应插入条形图和扇形图，条形图显示锻炼1小时、2小时、3小时、4小时的人数分别为20、50、30、10人，扇形图显示各时间段占比。)

21. （本题满分10分） 在一次“校园读书节”活动中，学校购进$A$、$B$两种图书若干本，全部用于奖励给获奖学生，购进$A$种图书的数量是$B$种图书的2倍，且购进$A$种图书比$B$种图书多用了400元，已知$A$种图书的单价比$B$种图书的单价少10元。 （1）求$A$、$B$两种图书的单价各是多少元？ （2）学校计划用不超过1600元的资金再次购进$A$、$B$两种图书，总数量不少于100本，请你给出一种最省钱的购书方案，并求出最少需要多少元。

22. （本题满分10分） 如图，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m>0)$的图象交于点$A(1,4)$和点$B(n,-2)$。 （1）求反比例函数和一次函数的表达式。 （2）根据图象，直接写出不等式$kx+b > \frac{m}{x}$的解集。

(注：此处应插入坐标系，标出点A(1,4)和点B(n,-2)，并画出过这两点的直线和双曲线。)

（本题满分10分） 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$BD$、$DE$。 （1）求证：$BD=CD$。 （2）若$AB=6$，$\angle BAC=30^\circ$，求图中阴影部分的面积。

(注：此处应插入几何图形：等腰三角形ABC，AB=AC为直径的圆O，与BC交于D，与AC交于E。)

（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$。 （1）求抛物线的解析式。 （2）点$P$是抛物线上一动点，且位于第一象限，连接$PA$、$PB$，当$\triangle PAB$的面积为4时，求点$P$的坐标。 （3）若点$M$是抛物线对称轴上的一个动点，当$\triangle AMB$的周长最小时，求点$M$的坐标。

(注：此处应插入坐标系，标出点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，并画出过这三点的抛物线。)

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参考答案及评分标准

选择题

1. B
2. B
3. C
4. B
5. A (注：原题缺少数轴图，此处假设A表示解集x>0.5)
6. A
7. D (注：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{2}{5}=\frac{4}{BC}$，解得BC=10)
8. A
9. B (注：连接OC，由AB是直径，得∠ACB=90°，OD⊥BC，OD是△ABC的中位线，OD=AB/2=5，错误，应重新计算。∠B=30°，AB=10，OC=OB=5，在Rt△OBC中，∠OCB=∠B=30°，OD⊥BC，OD=OC·cos∠OCB=5·cos30°=5√3/2，更正：连接OC，∠ACB=90°，OD⊥BC，则OD∥AC，又O是AB中点，所以D是BC中点，OD是△ABC的中位线，OD=AC/2，在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10，AC=AB·sin30°=5，所以OD=5/2。)
10. A

填空题 11. $(x+2y)(x-2y)$ 12. $x \ge 2$ 13. $70^\circ$ (注：由AB∥CD，∠1=∠3，3=70°) 14. $15\pi$ (注：圆锥母线$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，侧面积$S_{侧}=\frac{1}{2}Cl=\frac{1}{2}(2\pi \cdot 3) \cdot 5 = 15\pi$) 15. $\frac{24}{5}$ (注：由勾股定理，$AB=10$。$\triangle ABC \sim \triangle DBE$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{DE}{6}=\frac{2}{8}$，解得$DE=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，错误，应为$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{DE}{6}=\frac{2}{8}$，$DE=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，更正：$\triangle ADE \sim \triangle ABC$，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{DE}{6}=\frac{2}{8}$，解得$DE=\frac{3}{2}$。) 16. $55^2$ 或 $3025$ (注：规律是$1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$，$1+2+\dots+10=55$，所以结果是$55^2=3025$)

解答题 17. 解： 原式 = $1 + 3 + 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$ $= 1 + 3 + \sqrt{2} - 2$ $= 2 + \sqrt{2}$。 (评分标准：每步正确得2分)

18. 解： 原式 = $\frac{a(a+1)-2(a-1)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$ $= \frac{a^2+a-2a+2}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a}$ $= \frac{a^2-a+2}{a}$ $= a - 1 + \frac{2}{a}$。 当$a=2+\sqrt{3}$时， 原式 = $(2+\sqrt{3}) - 1 + \frac{2}{2+\sqrt{3}}$ $= 1+\sqrt{3} + 2(2-\sqrt{3})$ $= 1+\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}$ $= 5 - \sqrt{3}$。 (评分标准：化简过程正确得4分，代入求值正确得4分)

19. 证明： ∵ 四边形$ABCD$是平行四边形， ∴ $OA=OC$，$OB=OD$。 又 $\because AE=CF$， $\therefore OA-AE=OC-CF$，即 $OE=OF$。 在$\triangle OBE$和$\triangle ODF$中， $\begin{cases} OB=OD \ \angle BOD = \angle DOF \ OE=OF \end{cases}$ ∴ $\triangle OBE \cong \triangle ODF$ (SAS)。 ∴ $BE=DF$。 (评分标准：证出OA=OC，OB=OD得2分，证出OE=OF得2分，证出全等得3分，结论得1分)

20. 解： （1）本次调查抽取的学生数为：$20+50+30+10=110$（名）。 （2）“3小时”所在扇形的圆心角为：$\frac{30}{110} \times 360^\circ \approx 98.18^\circ$。 （3）每周体育锻炼时间达到3小时及以上的学生有$30+10=40$（名）。 估计该校九年级每周体育锻炼时间达到3小时及以上的学生有：$800 \times \frac{40}{110} \approx 291$（名）。 (评分标准：（1）问3分，（2）问3分，（3）问2分)

21. 解： （1）设$B$种图书的单价为$x$元，则$A$种图书的单价为$(x-10)$元。 购进$A$种图书的数量为$2k$本，购进$B$种图书的数量为$k$本。 根据题意，有：$2k(x-10) - kx = 400$。 化简得：$kx - 20k = 400$。 又因为$A$种图书数量是$B$种的2倍，这个条件在单价关系上已体现，直接利用总价差： 设购进$B$种图书$k$本，则购进$A$种图书$2k$本。 $2k(x-10) - kx = 400 \implies kx - 20k = 400$。 这个方程有两个未知数，无法求解，重新审题。 “购进A种图书的数量是B种图书的2倍，且购进A种图书比B种图书多用了400元。” 设B种图书单价为$x$元，A种为$(x-10)$元。 设购进B种图书1本，则购进A种图书2本。 $2(x-10) - x = 400$ $2x - 20 - x = 400$ $x = 420$。 A种图书单价为$420-10=410$元。 答：A种图书单价是410元，B种图书单价是420元。 (评分标准：（1）问正确列出方程并求解得8分) （2）设再次购进$A$种图书$m$本，$B$种图书$n$本。 根据题意，有： $\begin{cases} 410m + 420n \le 1600 \ m + n \ge 100 \end{cases}$ 总费用$W=410m+420n$。 由$m+n \ge 100$，得$m \ge 100-n$。 代入不等式：$410(100-n) + 420n \le 1600$ $41000 - 410n + 420n \le 1600$ $10n \le -39400$，此不等式无解。 重新审题，可能是（1）问理解错误。 （1）问另一种理解：总价差400元。 设B种图书单价为$x$元，A种为$(x-10)$元。 设购进B种图书数量为1单位，A种为2单位。 $2(x-10) - 1 \cdot x = 400$ $x=420$，A=410。 这个结果导致（2）问无解，题目数据可能不合理，假设题目为“少用了400元”。 $x - 2(x-10) = 400 \implies -x+20=400 \implies x=-380$，不合理。 假设（1）问为“购进A种图书的费用比B种图书的费用多400元”。 设B种图书单价为$x$元，A种为$(x-10)$元。 设购进B种图书数量为$k$本，A种为$2k$本。 $2k(x-10) - kx = 400 \implies kx-20k=400$。 仍无法求解，最可能的是（1）问数据有误，为使题目可解，将“400元”改为“20元”。 $kx-20k=20 \implies k(x-20)=20$，取$k=1, x=40$。 A=30元，B=40元。 （2）设购进A种$m$本，B种$n$本。 $\begin{cases} 30m+40n \le 1600 \ m+n \ge 100 \end{cases}$ $W=30m+40n$。 由$m \ge 100-n$，代入得$30(100-n)+40n \le 1600 \implies 3000+10n \le 1600 \implies n \le -140$，无解。 将“1600元”改为“3000元”。 $30(100-n)+40n \le 3000 \implies 3000+10n \le 3000 \implies n \le 0$。 取$n=0, m=100$。$W=3000$元。 这套题目数据问题较大，此处按原题数据给出（1）问解法，并指出（2）问无解。 （1）解：设B种图书单价为$x$元，则A种图书单价为$(x-10)$元。 根据题意，$2(x-10) - x = 400$。 解得$x=420$。 所以A种图书单价为410元，B种图书单价为420元。 （2）设购进A种图书$m$本，B种图书$n$本。 $\begin{cases} 410m+420n \le 1600 \ m+n \ge 100 \end{cases}$ 由$m \ge 100-n$，代入得$410(100-n)+420n \le 1600$。 $41000+10n \le 1600$。 $10n \le -39400$。 $n \le -3940$。 因为$n$为非负整数，所以此不等式组无解。 答：在不超过1600元且总数量不少于100本的条件下，没有满足条件的购书方案。 (此题数据有误，按此逻辑解答)

22. 解： （1）∵ 点$A(1,4)$在$y=\frac{m}{x}$上， $\therefore 4=\frac{m}{1}$，解得$m=4$。 反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。 ∵ 点$B(n,-2)$在$y=\frac{4}{x}$上， $\therefore -2=\frac{4}{n}$，解得$n=-2$。 点$B$的坐标为$(-2,-2)$。 将$A(1,4)$、$B(-2,-2)$代入$y=kx+b$， $\begin{cases} k+b=4 \ -2k+b=-2 \end{cases}$ 解得$k=2, b=2$。 一次函数表达式为$y=2x+2$。 (评分标准：求出m得2分，求出B点坐标得2分，求出k和b得4分) （2）由图象可知，当$x<-2$或$0<x<1$时，$2x+2 > \frac{4}{x}$。 (评分标准：写出解集得2分)

23. 解： （1）证明：连接$AD$。 $\because AB$为$\odot O$的直径， $\therefore \angle ADB=90^\circ$。 即$AD \perp BC$。 又 $\because AB=AC$， $\therepto \triangle ABC$是等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高。 $\therefore BD=CD$。 (评分标准：证出∠ADB=90°得2分，证出AD是高得3分，结论得3分) （2）连接$OE$。 $\because AB=AC=6$，$\angle BAC=30^\circ$， $\therefore BC=2BD$。 在Rt$\triangle ABD$中，$AB=6$，$\angle B=75^\circ$。 $BD=AB \cdot \cos 75^\circ$，计算复杂。 另解：$\angle AOB=2\angle ACB=2 \times \frac{180^\circ-30^\circ}{2}=150^\circ$。 $S{扇形AOB} = \frac{150}{360} \pi \cdot 3^2 = \frac{15}{4}\pi$。 $S{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 150^\circ = \frac{9}{4}$。 $S{\text{阴影}} = S{扇形AOB} - S_{\triangle AOB} = \frac{15}{4}\pi - \frac{9}{4} = \frac{15\pi - 9}{4}$。 (评分标准：求出∠AOB得3分，求出扇形面积得3分，求出三角形面积得2分，结果得2分)

24. 解： （1）将$A(-1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$， $\begin{cases} a-b+c=0 \ 9a+3b+c=0 \ c=3 \end{cases}$ 解得$a=-1, b=2, c=3$。 抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。 (评分标准：正确列出方程组并求解得8分) （2）设点$P$的坐标为$(x, -x^2+2x+3)$，x>0$。 $AB=4$。 $\triangle PAB$的面积为4，$P$到$AB$的距离为$h$。 $S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times h = 2h$。 $2h=4 \implies h=2$。 $AB$在x轴上，P$点的纵坐标为2或-2。 $\because P$在第一象限，$\therefore y_P=2$。 $-x^2+2x+3=2$。 $-x^2+2x+1=0$。 $x^2-2x-1=0$。 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。 $\because x>0$，$\therefore x=1+\sqrt{2}$。 点$P$的坐标为$(1+\sqrt{2}, 2)$。 (评分标准：设出P点坐标得2分，求出高h得2分，求出y坐标得2分，解方程得2分，写出坐标得2分) （3）点$A$关于对称轴$x=1$的对称点为$A'(3,0)$，即点$B$。 当$M$与$B$重合时，$\triangle AMB$的周长最小。 此时点$M$的坐标为$(3,0)$。 (评分标准：找到对称点A'得4分，说明M与B重合得3分，写出坐标得3分)