九年级数学单元测试题考点有哪些？

九年级数学上册《二次函数》单元测试题

考试时间： 90分钟 满分： 100分

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选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列函数中，是二次函数的是 ( ) A. $y = 3x - 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2 - 2x + 1$ D. $y = \sqrt{x^2 + 1}$

2. 抛物线 $y = 2(x-3)^2 + 1$ 的顶点坐标是 ( ) A. $(3, 1)$ B. $(-3, 1)$ C. $(3, -1)$ D. $(-3, -1)$

3. 抛物线 $y = -x^2 + 4x - 5$ 的对称轴是直线 ( ) A. $x = -2$ B. $x = 2$ C. $x = -4$ D. $x = 4$

4. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( ) A. $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$ B. $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$ C. $a < 0$, $b < 0$, $c < 0$ D. $a > 0$, $b > 0$, $c < 0$ (注：此处为文字描述，实际试卷应有图象，图象为开口向下的抛物线，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧)

5. 若二次函数 $y = x^2 - 2x + k$ 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ( ) A. $k > 1$ B. $k < 1$ C. $k > -1$ D. $k < -1$

6. 将抛物线 $y = x^2$ 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是 ( ) A. $y = (x+2)^2 - 3$ B. $y = (x-2)^2 - 3$ C. $y = (x+2)^2 + 3$ D. $y = (x-2)^2 + 3$

7. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的值恒为非负数，且当 $x = 2$ 时，$y$ 有最小值1，则这个函数的表达式为 ( ) A. $y = (x-2)^2 + 1$ B. $y = (x+2)^2 + 1$ C. $y = -\frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$ D. $y = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$

8. 一个运动员打高尔夫球，其击球的高度h(m)与球飞出的时间t(s)之间的关系式为 $h = -16t^2 + 64t$，则高尔夫球飞出的最大高度是 ( ) A. 16m B. 32m C. 64m D. 128m

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填空题（每小题3分，共18分）

9. 抛物线 $y = 2x^2$ 的开口向 __，顶点坐标是 __。

10. 已知抛物线 $y = (x-1)^2 + 2$，当 $x$ __ 时,y随x的增大而增大。

11. 若抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 经过点 $A(1, 0)$ 和 $B(2, 0)$，则b = __，c = __。

12. 请写出一个开口向下，且对称轴为直线 $x=2$ 的二次函数表达式： __。（答案不唯一）

13. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 与x轴的交点坐标是 __。

14. 用总长为60m的篱笆围成一个矩形花园，花园的最大面积是 __ m²。

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解答题（共58分）

(8分) 在平面直角坐标系中，画出函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 的图象。 (1) 求出抛物线的顶点坐标、对称轴和与坐标轴的交点坐标。 (2) 根据图象，写出当 $y < 0$ 时,x的取值范围。

(8分) 已知二次函数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2}$。 (1) 将其化为顶点式，并指出其开口方向、顶点坐标和对称轴。 (2) 求出它与x轴的交点坐标。

(10分) 已知二次函数的图象经过点 $A(1, 4)$、$B(2, 1)$、$C(3, 0)$ 三点。 (1) 求这个二次函数的表达式。 (2) 写出该函数图象的顶点坐标和对称轴。

(10分) 某商店购进一种商品，进价为每件40元，如果每件售价为50元，每天可卖出100件，市场调查发现，每件售价每提高1元，每天的销售量就减少5件。 (1) 设每件商品的售价为x元(x > 50)，每天的利润为w元，求w与x之间的函数关系式。 (2) 当每件商品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

(12分) 如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒(0 ≤ t ≤ 4)。 (1) 用含t的代数式表示△PBQ的面积S。 (2) 当t为何值时，△PBQ的面积S最大？最大面积是多少？ (注：此处为文字描述，实际试卷应有图形，为一个矩形ABCD，P在AB上，Q在BC上)

(10分) 阅读理解： 对于二次函数 $y = x^2 + 2x - 3$，当 $x = 1$ 时，$y = 0$；当 $x = -3$ 时，$y = 0$，我们说方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 的两个根是1和-3，抛物线与x轴的交点的横坐标就是对应方程的根。 根据以上信息，解决下列问题： 已知二次函数 $y = x^2 - (m-1)x - m$。 (1) 证明：无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有两个交点。 (2) 若该函数的图象与x轴的一个交点是点A(3, 0)，求m的值,并写出函数的表达式。

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参考答案与解析

选择题

1. C (解析：根据二次函数定义 $y=ax^2+bx+c$ (a≠0)，只有C符合。)
2. A (解析：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点为 $(h, k)$。)
3. B (解析：对称轴公式 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2$。)
4. B (解析：开口向下，故a<0；对称轴在y轴右侧，故 $-\frac{b}{2a} > 0$，因a<0，所以b>0；与y轴交于正半轴，故c>0。)
5. B (解析：图象与x轴有两个交点，则判别式 $\Delta > 0$。$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k > 0$，解得 $k < 1$。)
6. A (解析：左加右减，上加下减。)
7. D (解析：值恒为非负数，故开口向上(a>0)，有最小值，故顶点为最低点，当x=2时y有最小值1，故顶点为(2,1)，代入顶点式 $y=a(x-2)^2+1$，又a>0，排除C，将点(2,1)代入原函数 $1=a(2)^2+b(2)+c$，且 $-\frac{b}{2a}=2$，用顶点式更简单，因为a>0且开口程度不确定，D选项是合理的，因为它确实满足顶点为(2,1)且开口向上。)
8. C (解析：求最大高度即求函数最大值。$h = -16t^2 + 64t = -16(t^2 - 4t) = -16(t-2)^2 + 64$，当t=2时，h有最大值64m。)

填空题

9. 上，(0, 0) (解析：a=2>0，开口向上；顶点在原点。)
10. > 1 (解析：对称轴x=1，开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大。)
11. -3，2 (解析：将A(1,0)和B(2,0)代入，得 $\begin{cases} 1+b+c=0 \ 4+2b+c=0 \end{cases}$，解得b=-3, c=2。)
12. $y = -(x-2)^2$ (答案不唯一，如 $y=-2(x-2)^2+1$ 等，只要满足a<0且h=2即可。)
13. (1, 0) 和 (3, 0) (解析：令y=0，解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，得 $(x-1)(x-3)=0$，x=1或x=3。)
14. 225 (解析：设矩形一边长为x，则另一边为(30-x)，面积 $S = x(30-x) = -x^2 + 30x$，当 $x = -\frac{30}{2 \times (-1)} = 15$ 时，S最大，$S_{max} = 15 \times 15 = 225$ m²。)

解答题

15. (1) $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$。 顶点坐标：(1, -4)，对称轴：直线x=1。 令y=0，解得x=-1或x=3，与x轴交点为(-1,0)和(3,0)。 令x=0，y=-3，与y轴交点为(0, -3)。 (2) 根据图象，当-1 < x < 3时，y < 0。

16. (1) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2 + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{9}{2}$。 开口向下，顶点坐标(2, $\frac{9}{2}$)，对称轴：直线x=2。 (2) 令y=0，$-\frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{9}{2} = 0$，$(x-2)^2 = 9$，$x-2 = \pm 3$。 $x = 5$ 或 $x = -1$。 与x轴交点为(-1, 0)和(5, 0)。

17. (1) 设二次函数为 $y = ax^2 + bx + c$。 将A(1,4), B(2,1), C(3,0)代入，得： $\begin{cases} a + b + c = 4 \ 4a + 2b + c = 1 \ 9a + 3b + c = 0 \end{cases}$ 解得：a=1, b=-4, c=7。 所以函数表达式为 $y = x^2 - 4x + 7$。 (2) 顶点坐标：$x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$，$y = 2^2 - 4 \times 2 + 7 = 3$，顶点为(2, 3)。 对称轴：直线x=2。

18. (1) 每件售价为x元，则每件利润为 $(x-40)$ 元。 每天销售量为 $100 - 5(x-50) = 100 - 5x + 250 = 350 - 5x$ 件。 利润 $w = (x-40)(350-5x) = -5x^2 + 550x - 14000$。 (2) $w = -5x^2 + 550x - 14000 = -5(x^2 - 110x) - 14000 = -5(x-55)^2 + 15125 - 14000 = -5(x-55)^2 + 1125$。 当x=55时，w有最大值1125元。 答：当售价定为55元时，每天利润最大,最大利润为1125元。

19. (1) 运动t秒后，$AP = t$，$PB = 6 - t$。 $BQ = 2t$。 $S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (6-t) \times 2t = t(6-t) = -t^2 + 6t$。 (2) $S = -t^2 + 6t = -(t^2 - 6t) = -(t-3)^2 + 9$。 当t=3秒时，S有最大值，最大面积为9 cm²。

20. (1) 证明：对于方程 $x^2 - (m-1)x - m = 0$， 判别式 $\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 \times 1 \times (-m) = m^2 - 2m + 1 + 4m = m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$。 因为 $(m+1)^2 \ge 0$ 对任意实数m都成立，且当m=-1时，$\Delta=0$，图象与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；当m≠-1时，$\Delta>0$，图象与x轴有两个交点。 无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有交点。 (2) 将点A(3, 0)代入函数 $y = x^2 - (m-1)x - m$： $0 = 3^2 - (m-1) \times 3 - m$ $0 = 9 - 3m + 3 - m$ $0 = 12 - 4m$ $4m = 12$ $m = 3$。 当m=3时，函数表达式为 $y = x^2 - (3-1)x - 3 = x^2 - 2x - 3$。