九年级北师大版测试卷有哪些重点考点？

校园之窗 2026年1月10日 10:16:46 99ANYc3cd6 1 0

九年级数学上册（北师大版）综合测试卷

考试时间：120分钟满分：150分

选择题（每小题3分，共30分）

一元二次方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是 A. $x = 0$ B. $x = 4$ C. $x_1 = 0, x_2 = 4$ D. $x_1 = 0, x_2 = -4$
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形
已知 $⊙O_1$ 和 $⊙O_2$ 的半径分别为 $3cm$ 和 $5cm$，若 $O_1O_2 = 2cm$，则两圆的位置关系是 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
用配方法解一元二次方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，配方后得到的方程是 A. $(x-3)^2 = 16$ B. $(x-3)^2 = 2$ C. $(x+3)^2 = 16$ D. $(x+3)^2 = 2$
一个不透明的袋子中装有 $3$ 个红球和 $2$ 个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{2}$
如图,$AB$ 是 $⊙O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙O$ 上，若 $\angle BOC = 80°$，则 $\angle A$ 的度数是

A. $10°$
B. $20°$
C. $40°$
D. $80°$

若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k > 1$ B. $k < 1$ C. $k \ge -1$ D. $k \le -1$
如图,$PA$ 切 $⊙O$ 于点 $A$，$PO$ 交 $⊙O$ 于点 $B$，若 $PA = 6$，$PB = 3$，则 $⊙O$ 的半径是

A. $3$
B. $4$
C. $4.5$
D. $9$

某商店销售一批服装,每件成本价为 $100$ 元，为了获取利润，商店将服装按标价的八折出售，但仍可获利 $20\%$，则这种服装每件的标价是 A. $120$ 元 B. $150$ 元 C. $160$ 元 D. $180$ 元
如图,在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 6$，$BC = 8$，将 $\triangle ABC$ 绕直角顶点 $C$ 旋转 $90°$ 得到 $\triangle A'B'C$，则点 $A$ 在旋转过程中所经过的路径长是

A. $3\pi$
B. $4\pi$
C. $5\pi$
D. $6\pi$

填空题（每小题3分，共24分）

计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\hspace{2cm}}$。
已知一元二次方程 $x^2 - 5x + 1 = 0$ 的两根为 $a$ 和 $b$，则 $a + b = \underline{\hspace{2cm}}$。
已知正六边形的边长为 $2$，则它的边心距为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $(2, -3)$，则 $k = \underline{\hspace{2cm}}$。
一个圆锥的底面半径为 $3$，高为 $4$，则这个圆锥的侧面积为 $\underline{\hspace{2cm}}$。
用长度分别为 $2, 3, 4, 5, 6$（单位：cm）的五条线段作为边，从中随机选取三条线段，能构成三角形的概率是 $\underline{\hspace{2cm}}$。
如图,$AB$ 是 $⊙O$ 的弦，$OC \perp AB$ 于点 $D$，交 $⊙O$ 于点 $C$，若 $AB = 8$，$CD = 2$，则 $⊙O$ 的半径为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$，$AC = 8$，$BD = 6$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C \to D$ 的路径运动，运动速度为 $1$ 个单位/秒，设运动时间为 $t$ 秒，当点 $P$ 运动到使 $\triangle POD$ 的面积是菱形面积的一半时，$t$ 的值为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

解答题（共66分）

(本小题满分8分) 解方程：$(x-3)^2 - 2x(x-3) = 0$。
(本小题满分8分) 先化简，再求值：$(\frac{a}{a-1} - 1) \div \frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1}$，$a = \sqrt{2} + 1$。
(本小题满分8分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m-1)x + m - 2 = 0$。 (1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根。 (2) 若方程的一个根为 $0$，求 $m$ 的值及方程的另一个根。
(本小题满分10分) 如图，在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$D$ 是 $AC$ 的中点，$⊙O$ 是 $\triangle BCD$ 的外接圆，与斜边 $AB$ 交于点 $E$。

(1) 求证：$AC$ 是 $⊙O$ 的切线。 (2) 若 $BC = 6$，$AC = 8$，求 $AE$ 的长。

(本小题满分10分) 某校为了解九年级学生每周的体育锻炼时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

(1) 本次调查共抽取了多少名学生？
(2) 补全条形统计图。
(3) 如果该校九年级共有 $800$ 名学生，估计每周体育锻炼时间不少于 $5$ 小时的学生约有多少名？

(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，点 $A(-4, 0)$，点 $B(0, 3)$。 (1) 求 $AB$ 的长度。 (2) 将线段 $AB$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $90°$ 得到线段 $A'B$，请画出旋转后的图形，并写出点 $A'$ 的坐标。 (3) 求旋转过程中，点 $A$ 所经过的路径长。

(本小题满分10分) 某商店购进一批单价为 $20$ 元的文具盒，如果以单价 $30$ 元售出，那么每月可售出 $400$ 个，根据销售经验，售价每上涨 $1$ 元，其销售量就减少 $10$ 个，设售价为 $x$ 元 $(x \ge 30)$。 (1) 求每月的销售利润 $y$（元）与售价 $x$（元）之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？

参考答案及评分标准

选择题（每小题3分，共30分）

填空题（每小题3分，共24分） 11. $\sqrt{3}$ 12. $5$ 13. $\sqrt{3}$ 14. $-6$ 15. $15\pi$ 16. $\frac{3}{5}$ 17. $5$ 18. $3$ 或 $9$ （注：此题较难，点P可能在AB边或CD边上）

解答题（共66分）

(8分) 解：$(x-3)^2 - 2x(x-3) = 0$ $(x-3)[(x-3) - 2x] = 0$ ........................... (2分) $(x-3)(-x-3) = 0$ ................................. (4分) $x-3 = 0$ 或 $-x-3 = 0$ ........................... (6分) $x_1 = 3$, $x_2 = -3$ .................................. (8分)
(8分) 解：原式 $= \frac{a-(a-1)}{a-1} \div \frac{(a-2)^2}{(a+1)(a-1)}$ ........................ (2分) $= \frac{1}{a-1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{(a-2)^2}$ ................................. (4分) $= \frac{a+1}{(a-2)^2}$ .................................................. (6分) 当 $a = \sqrt{2} + 1$ 时，原式 $= \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1-2)^2} = \frac{\sqrt{2}+2}{(\sqrt{2}-1)^2}$ ........................ (7分) $= \frac{\sqrt{2}+2}{3-2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}+2)(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{2}+4+6+4\sqrt{2}}{9-8} = 7\sqrt{2}+10$ ...(8分) （注：此题计算量较大，步骤清晰即可得分）
(8分) (1) 证明：$\Delta = [-(m-1)]^2 - 4 \times 1 \times (m-2)$ ........................ (2分) $= m^2 - 2m + 1 - 4m + 8$ ................................. (4分) $= m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2$ ............................... (6分) $\because$ 对于任意实数 $m$，$(m-3)^2 \ge 0$，且当 $m \ne 3$ 时，$(m-3)^2 > 0$。又因为当 $m=3$ 时，方程为 $x^2-2x+1=0$，有两个相等的实数根，条件为“总有两个不相等的实数根”，此处应为笔误，通常题目会问“总有两个实数根”或“有两个不相等的实数根”，按“有两个实数根”理解： $\because$ 对于任意实数 $m$，$(m-3)^2 \ge 0$， $\therefore$ 此方程总有两个实数根。 .................................... (8分) （若按原题“不相等”，则需加条件 $m \ne 3$）

(2) 解：若方程的一个根为 $0$，则 $0^2 - (m-1) \times 0 + m - 2 = 0$。解得 $m = 2$。 ................................................ (2分) 将 $m=2$ 代入原方程，得 $x^2 - x = 0$。解得 $x_1 = 0$, $x_2 = 1$。 ..................................... (4分) $m$ 的值是 $2$，方程的另一个根是 $1$。 ............................ (8分)
(10分) (1) 证明：连接 $OD$。 ................................................ (1分) $\because D$ 是 $AC$ 的中点，$\angle C = 90°$， $\therefore CD = AD$，且 $OD$ 是 Rt$\triangle ACD$ 斜边 $AC$ 的中线。 ...(3分) $\therefore OD = \frac{1}{2}AC = AD$。 .................................... (4分) $\therefore \angle ODA = \angle OAD$。 ..................................... (5分) 又 $\because \angle C = 90°$，$OC \perp AC$，即 $OC$ 是半径 $OD$ 的延长线， $\therefore AC$ 是 $⊙O$ 的切线。 ........................................ (6分)

(2) 解：在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$。 ...(7分) 连接 $BE$。 ..................................................... (8分) $\because BC$ 是 $⊙O$ 的直径， $\therefore \angle BEC = 90°$。 ........................................ (9分) 又 $\because \angle C = 90°$， $\therece \triangle ABC \sim \triangle EBC$。 $\there \frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BE}$。 $\frac{8}{6} = \frac{10}{BE}$，解得 $BE = \frac{15}{2}$。 ....................... (10分) （注：也可用切割线定理或勾股定理求解）
(10分) (1) 解：$20 \div 10\% = 200$ (名)。答：本次调查共抽取了 $200$ 名学生。 ................................ (3分)

(2) 解：$200 \times 25\% = 50$ (名)，$200 \times 15\% = 30$ (名)。补全统计图如下：(正确画出高度为 $50$ 和 $30$ 的条形) ................... (6分) （图略）

(3) 解：$800 \times (25\% + 15\%) = 800 \times 40\% = 320$ (名)。答：估计每周体育锻炼时间不少于 $5$ 小时的学生约有 $320$ 名。 ...... (10分)
(12分) (1) 解：$AB = \sqrt{(0-(-4))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。 ...(3分)

(2) 解：如图所示，画出旋转后的线段 $A'B$。 ..................... (5分) 点 $A'$ 的坐标是 $(0, -4)$。 .................................... (7分) （图略）

(3) 解：点 $A$ 旋转的路径是以 $O$ 为圆心，$OA$ 为半径的一段圆弧。 $OA = 4$。 ................................................ (9分) 旋转的角度为 $90°$，即 $\frac{\pi}{2}$ 弧度。 ......................... (10分) 路径长 $l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{90 \times \pi \times 4}{180} = 2\pi$。 ...(12分) （或 $l = \alpha r = \frac{\pi}{2} \times 4 = 2\pi$）
(10分) (1) 解：售价上涨 $(x-30)$ 元，销售量减少 $10(x-30)$ 个。实际销售量为 $[400 - 10(x-30)]$ 个。 ............................ (2分) 每个文具盒的利润为 $(x-20)$ 元。 ................................. (3分) $\therefore y = (x-20)[400 - 10(x-30)]$ ............................. (4分) $= (x-20)(700 - 10x)$ ........................................... (5分) $= -10x^2 + 900x - 14000$。 ............................... (6分) 即 $y = -10x^2 + 900x - 14000$ $(x \ge 30)$。

(2) 解：由(1)知，$y = -10x^2 + 900x - 14000$。 ............... (7分) $= -10(x^2 - 90x) - 14000$ $= -10(x^2 - 90x + 2025 - 2025) - 14000$ .................... (8分) $= -10(x-45)^2 + 20250 - 14000$ $= -10(x-45)^2 + 6250$。 .................................. (9分) $\because a = -10 < 0$，$\therefore$ 抛物线开口向下。当 $x = 45$ 时，$y$ 有最大值，最大值为 $6250$。 ............... (10分) 答：当售价定为 $45$ 元时，每月的销售利润最大，最大利润是 $6250$ 元。