八年级二次根式练习题，如何高效掌握解题技巧？

八年级数学 二次根式综合练习题

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每题3分，共24分）

1. 下列根式中,是最简二次根式的是（ ） A. $ \sqrt{12} $
   B. $ \sqrt{a^2b} $
   C. $ \sqrt{\frac{1}{2}} $
   D. $ \sqrt{x+1} $

2. 下列计算正确的是（ ） A. $ \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5} $
   B. $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
   C. $ \sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6 $
   D. $ \sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3 $

3. 下列各数中,与 $ \sqrt{3} $ 最接近的整数是（ ） A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. 3

4. 化简 $ \sqrt{(-3)^2} $ 的结果是（ ） A. -3
   B. 3
   C. 9
   D. ±3

5. 若 $ \sqrt{x-2} $ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（ ） A. $x \ge 2$
   B. $x > 2$
   C. $x \le 2$
   D. $x < 2$

6. 计算 $ \sqrt{18} - \sqrt{8} $ 的结果是（ ） A. $ \sqrt{10} $
   B. 2
   C. $ 3\sqrt{2} $
   D. $ \sqrt{2} $

7. 已知 $a=2+\sqrt{3}$, $b=2-\sqrt{3}$，则 $a^2+b^2$ 的值为（ ） A. 14
   B. 10
   C. 8
   D. 6

8. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 $2\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{6}$，则这个三角形的面积为（ ） A. $3\sqrt{2}$
   B. $2\sqrt{2}$
   C. $3\sqrt{3}$
   D. $6\sqrt{2}$

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填空题（每题3分，共24分）

9. 计算：$ \sqrt{16} = $ ______ ， $ \sqrt{(-5)^2} = $ ______ 。

10. 比较大小：$ 3\sqrt{2} $ ______ $ 2\sqrt{7} $ （填“>”、“<”或“=”）。

11. 化简：$ \sqrt{48} = $ ______ ，$ \sqrt{a^3b} = $ ______ （$a \ge 0, b \ge 0$）。

12. 计算：$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = $ ______ ，$ \sqrt{27} \div \sqrt{3} = $ ______ 。

13. 若 $ \sqrt{(x-1)^2} = 1-x $，则 $x$ 的取值范围是 ______ 。

14. 已知 $x=2+\sqrt{3}$，则代数式 $(x-1)^2 - 2(x-1) + 1$ 的值为 ______ 。

15. 在数轴上,与点 $2$ 的距离为 $\sqrt{5}$ 的点所表示的数是 ______ 。

16. 观察下列等式： $ \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} $ $ \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} $ $ \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 $ $ \sqrt{4^2+5^2} = \sqrt{41} $ ... 请你找出其中规律，计算 $ \sqrt{5^2+12^2} = $ ______ 。

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计算与化简题（每题5分，共30分）

17. 计算：$ \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} $

18. 计算：$ (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) $

19. 计算：$ (2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 $

20. 计算：$ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{50} \times \sqrt{\frac{1}{2}} $

21. 先化简,再求值：$ \frac{a+2}{a} \div \frac{a^2+4a+4}{a^2-4} $，$a=\sqrt{2}+1$。

22. 化简：$ \sqrt{18-8\sqrt{2}} $ （提示：可以将 $18-8\sqrt{2}$ 看作一个完全平方式）

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解答题（共22分）

23. （10分）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 2 cm。 (1) 求斜边 AB 的长度。 (2) 求这个三角形的面积。 (3) 求这个三角形的高 CD（斜边上的高）。

24. （12分）阅读下列材料，并回答问题。 材料：因为 $ \sqrt{(a-b)^2} = |a-b| $，所以当 $a \ge b$ 时，$ \sqrt{(a-b)^2} = a-b $。 问题：化简 $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} $。 (1) 小明同学的解法如下： $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1 $ 请问小明的解法是否正确？请说明理由。 (2) 请你模仿小明的解法，化简 $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} $。

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参考答案与解析

选择题

1. D (解析：A不是最简，因为12可以分解；B不是最简，因为a²可以开方；C不是最简，因为分母中有根号；D被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式或因式，故为最简二次根式。)
2. C (解析：A错误，不是同类二次根式不能直接相加；B正确，$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} $；C正确，$ \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 $，且 $ \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 $；D错误，$ \sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3} $。)
3. B (解析：估算 $ \sqrt{3} $ 的值，$1^2=1$, $2^2=4$，$1 < \sqrt{3} < 2$。$ \sqrt{3} \approx 1.732 $，与1最接近。)
4. B (解析：$ \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 $，注意，算术平方根的结果是非负数。)
5. A (解析：根据二次根式的定义，被开方数必须非负，$x-2 \ge 0$，解得 $x \ge 2$。)
6. D (解析：先将各二次根式化成最简形式，$ \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $，$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，$ \sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} $。)
7. A (解析：$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，先计算 $a+b = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$，再计算 $ab = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。$a^2+b^2 = 4^2 - 2 \times 1 = 16 - 2 = 14$。)
8. A (解析：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，面积 $S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$。)

填空题 9. 4, 5 (解析：$ \sqrt{16} = 4 $；$ \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 $。) 10. < (解析：将根号外的数移入根号内，比较被开方数的大小。$ 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18} $，$ 2\sqrt{7} = \sqrt{4 \times 7} = \sqrt{28} $，因为 $18 < 28$，$ \sqrt{18} < \sqrt{28} $。) 11. $4\sqrt{3}$, $a\sqrt{ab}$ (解析：$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} $；$ \sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot a \cdot b} = a\sqrt{ab} $。) 12. 4, 3 (解析：$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 $；$ \sqrt{27} \div \sqrt{3} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 $。) 13. $x \le 1$ (解析：$ \sqrt{(x-1)^2} = |x-1| $，$ |x-1| = 1-x $，根据绝对值的性质，当 $x-1 \le 0$ 即 $x \le 1$ 时，$ |x-1| = -(x-1) = 1-x $。) 14. $3$ (解析：将 $x=2+\sqrt{3}$ 代入，$(x-1)^2 - 2(x-1) + 1 = (x-1-1)^2 = (x-2)^2$，所以原式 $= (2+\sqrt{3}-2)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$。) 15. $2+\sqrt{5}$ 或 $2-\sqrt{5}$ (解析：设该点表示的数为 $x$，根据题意有 $|x-2| = \sqrt{5}$。$x-2 = \sqrt{5}$ 或 $x-2 = -\sqrt{5}$，解得 $x = 2+\sqrt{5}$ 或 $x = 2-\sqrt{5}$。) 16. 13 (解析：观察规律，$ \sqrt{n^2+(n+1)^2} $ 的值不等于整数，但 $ \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5 $，这是一个特殊的勾股数（3,4,5），题目中的 $ \sqrt{5^2+12^2} $ 对应的是另一个特殊的勾股数（5,12,13），$ \sqrt{5^2+12^2} = 13 $。)

计算与化简题 17. 解： $ \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} $ $ = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} $ $ = (2+3-1)\sqrt{3} $ $ = 4\sqrt{3} $

18. 解： $ (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) $ $ = (\sqrt{5})^2 - 1^2 $ (利用平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$) $ = 5 - 1 $ $ = 4 $

19. 解： $ (2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 $ $ = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 $ (利用完全平方公式 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$) $ = 4 \times 3 - 4\sqrt{6} + 2 $ $ = 12 - 4\sqrt{6} + 2 $ $ = 14 - 4\sqrt{6} $

20. 解： $ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \sqrt{50} \times \sqrt{\frac{1}{2}} $ $ = \sqrt{\frac{18}{2}} - \sqrt{50 \times \frac{1}{2}} $ (利用除法和乘法的法则) $ = \sqrt{9} - \sqrt{25} $ $ = 3 - 5 $ $ = -2 $

21. 解： $ \frac{a+2}{a} \div \frac{a^2+4a+4}{a^2-4} $ $ = \frac{a+2}{a} \times \frac{a^2-4}{a^2+4a+4} $ (除以一个数等于乘它的倒数) $ = \frac{a+2}{a} \times \frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)^2} $ (因式分解) $ = \frac{(a+2)(a+2)(a-2)}{a(a+2)^2} $ (约分) $ = \frac{a-2}{a} $ 当 $a=\sqrt{2}+1$ 时， 原式 $= \frac{(\sqrt{2}+1)-2}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} $ $ = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} $ (分母有理化) $ = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} $ $ = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} $ $ = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{1} $ $ = 3 - 2\sqrt{2} $

22. 解： $ \sqrt{18-8\sqrt{2}} $ $ = \sqrt{16 - 8\sqrt{2} + 2} $ (将18拆成16+2，凑成完全平方式) $ = \sqrt{4^2 - 2 \times 4 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} $ $ = \sqrt{(4 - \sqrt{2})^2} $ $ = |4 - \sqrt{2}| $ 因为 $4 > \sqrt{2}$，$ |4 - \sqrt{2}| = 4 - \sqrt{2} $。 $ \sqrt{18-8\sqrt{2}} = 4 - \sqrt{2} $。

解答题 23. 解： (1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理： $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $ $ AB^2 = 3^2 + 2^2 $ $ AB^2 = 9 + 4 $ $ AB^2 = 13 $ $ AB = \sqrt{13} $ cm (2) 三角形的面积： $ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 $ cm² (3) 设斜边 AB 上的高为 CD。 根据面积法，两种方式计算面积相等： $ \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times AC \times BC $ $ AB \times CD = AC \times BC $ $ \sqrt{13} \times CD = 3 \times 2 $ $ \sqrt{13} \times CD = 6 $ $ CD = \frac{6}{\sqrt{13}} $ $ CD = \frac{6\sqrt{13}}{13} $ cm (分母有理化)

24. 解： (1) 小明的解法是正确的。 理由：因为 $4-2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$。 $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1| $。 因为 $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$，$|\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$。 小明的解法正确。

    (2) 化简 $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} $： 我们希望将 $7+4\sqrt{3}$ 写成 $ (a+b\sqrt{3})^2 $ 的形式。 $ (a+b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 $ 我们需要 $ a^2 + 3b^2 = 7 $ 且 $ 2ab = 4 $。 由 $2ab=4$ 得 $ab=2$，可以尝试整数解，$a=2, b=1$。 代入验证：$ a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \times 1^2 = 4 + 3 = 7 $，符合。 $7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$。 $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| $ 因为 $2+\sqrt{3} > 0$，$ |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3} $。 $ \sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3} $。