八年级下册等腰三角形

第一部分：核心概念与性质

定义

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

• 相等的两条边叫做腰。
• 另外一条边叫做底边。
• 两腰所夹的角叫做顶角。
• 底边与腰所夹的角叫做底角。

重要性质

等腰三角形具有以下重要性质：

性质1：等边对等角

• 等腰三角形的两个底角相等。
• 语言表达：在△ABC中，AB = AC，∠B = ∠C。
• 作用：用于证明角相等。

性质2：三线合一

• 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
• 语言表达：在△ABC中，AB = AC，且 AD 是顶角A的平分线（或AD是中线，或AD是高），
  • AD ⊥ BC (垂直)
  • BD = DC (平分底边)
  • ∠BAD = ∠CAD (平分顶角)
• 作用：这是等腰三角形最重要的性质，可以实现“角、边、垂直”之间的转化，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据。

性质3：轴对称性

• 等腰三角形是轴对称图形。
• 对称轴：顶角的平分线（所在的直线）就是它的对称轴。
• 作用：利用对称性，可以找到全等三角形，或者将图形的一部分翻折到另一部分,从而得到相等的线段和角。

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第二部分：判定定理

如何判断一个三角形是等腰三角形呢？

判定定理：等角对等边

• 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即这个三角形是等腰三角形）。
• 语言表达：在△ABC中，∠B = ∠C，AB = AC。
• 作用：这是证明两条线段相等的重要方法,尤其是在无法直接利用全等三角形时。

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第三部分：等边三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形,它有三条相等的边。

定义

三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

性质

• 边的关系：三条边都相等。
• 角的关系：三个角都相等，并且每个角都等于 60°。
• 对称性：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个角的平分线（或三条高、三条中线）。

判定

• 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。
• 角判定法1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
• 角判定法2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
  • 情况1：顶角是60°。
  • 情况2：底角是60°。

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第四部分：重点与难点

等腰三角形的“三线合一”

这是等腰三角形的核心，也是最容易混淆和出错的地方。在等腰三角形中，只要出现“顶角平分线”、“底边中线”、“底边高”中的任意一条，另外两条也必然存在，这是解题的“钥匙”。

分类讨论思想中没有明确说明哪两条边是腰时，就需要使用分类讨论的思想。

• 典型问题：已知等腰三角形的一边长为 a，另一边长为 b，求周长。
  • 情况1：假设 a 为腰，b 为底边。
    • 必须满足：a + a > b （两边之和大于第三边）
    • 如果成立，则周长为 2a + b。
  • 情况2：假设 b 为腰，a 为底边。
    • 必须满足：b + b > a （两边之和大于第三边）
    • 如果成立，则周长为 2b + a。
  • 注意：如果两种情况都成立，那么这个三角形有两种可能的周长，如果只有一种情况成立,则只有一种周长。

等腰直角三角形

• 定义：顶角为90°的等腰三角形。
• 性质：
  • 两个底角都是45°。
  • 它既是轴对称图形，也是中心对称图形（旋转对称）。
  • 如果两条直角边长为 a，则斜边长为 a√2。

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第五部分：典型例题与解题思路

例题1：性质应用

如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE = DF。

解题思路：

1. 观察图形：看到等腰三角形 AB=AC 和 D是BC中点，立刻想到“三线合一”。
2. 应用性质：因为 AB=AC，D是BC中点，AD 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的中线。
3. 推出结论：根据“三线合一”，AD 也是底边 BC 上的高，即 AD⊥BC。
4. 寻找全等：现在有了 AD⊥BC 和 DE⊥AB，DF⊥AC,可以找到两个直角三角形。
5. 证明全等：在 △AED 和 △AFD 中：
   • ∠AED = ∠AFD = 90° (垂直定义)
   • AD = AD (公共边)
   • ∠EAD = ∠FAD (因为 AD 是角平分线，由“三线合一”得出)
   • △AED ≌ △AFD (AAS)
6. 得出结论：因为全等三角形的对应边相等，DE = DF。

例题2：分类讨论

已知等腰三角形的一边长为 8，另一边长为 3,求这个三角形的周长。

解题思路：

1. 情况一：假设腰长为 8，底边长为 3。
   • 检查三边关系：8 + 8 > 3 (16 > 3，成立)，8 + 3 > 8 (11 > 8，成立)。
   • 周长 = 8 + 8 + 3 = 19。
2. 情况二：假设腰长为 3，底边长为 8。
   • 检查三边关系：3 + 3 > 8 (6 > 8，不成立)。
   • 所以这种情况不成立。
3. 得出结论：这个三角形的周长只能是 19。

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第六部分：易错点提醒

1. 混淆“性质”与“判定”：

   • 性质：“等边 → 等角”（已知是等腰三角形，得出角相等）。
   • 判定：“等角 → 等边”（已知角相等，证明是等腰三角形）。
   • 不要用性质去证明一个三角形是等腰的。

2. 忽略“三线合一”中的任意性：只要给出其中一个条件（平分线、中线、高）,就能推出另外两个。

3. 忘记验证三边关系：在解决与边长有关的问题时，尤其是分类讨论后，一定要用“两边之和大于第三边”来检验所得到的边长是否能构成三角形。

4. 对“底角”和“顶角”的理解不清：一定要明确哪两条是腰，哪条是底边,才能正确找出顶角和底角。

学习等腰三角形，要牢牢抓住“等边对等角”和“三线合一”这两大核心，要善于运用分类讨论的思想解决不确定性的问题，并通过练习熟练掌握性质和判定的应用，这部分内容是后续学习四边形、圆等知识的基础,务必学扎实。