八年级上册等边三角形

等边三角形的定义与性质

定义

三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

关键点：定义中包含了“三条边相等”这一核心条件。

性质

等边三角形是特殊的等腰三角形,它集等腰三角形的性质于一身，并且拥有更独特的性质。

性质类别		图示说明
边	三条边都相等。	AB = BC = CA
角	三个内角都相等，并且每个内角都等于 60°。	∠A = ∠B = ∠C = 60°
高、中线、角平分线	等边三角形三线合一（高、中线、角平分线重合），并且三条高、三条中线、三条角平分线都相等。	AD 既是 BC 边上的高，也是中线，也是角平分线。
对称性	等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。	每条边上的高所在的直线都是对称轴。
外角	每个外角都等于 120° (因为 180° - 60° = 120°)。

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等边三角形的判定

如何判断一个三角形是等边三角形？主要有以下几种方法：

1. 定义法：证明三角形的三条边都相等。

   • AB = BC = CA ⇒ △ABC 是等边三角形。

2. 角角角判定法：证明三角形的三个内角都等于 60°。

   
   （图片来源网络，侵删）
   • ∠A = ∠B = ∠C = 60° ⇒ △ABC 是等边三角形。

3. “等角+等边”判定法（最常用）：证明三角形是等腰三角形，并且有一个角是 60°。

   • 证明思路：
     • 已知 AB = AC (等腰三角形)，且 ∠B = 60°。
     • ∠C = ∠B = 60° (等边对等角)。
     • ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 60° - 60° = 60°。
     • ∠A = ∠B = ∠C = 60°，根据“角角角”判定法，△ABC 是等边三角形。

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等边三角形与其他图形的关系

等边三角形与等腰三角形

• 等边三角形是特殊的等腰三角形。
• 等腰三角形不一定是等边三角形（除非它的顶角或底角是60°）。

等边三角形与直角三角形

• 等边三角形的每个内角都是60°，所以它不可能是直角三角形。
• 通过作等边三角形的高,可以得到两个全等的含30°角的直角三角形。
  • 在等边△ABC中，AD是高。
  • 则 △ABD ≌ △ACD (HL 或 AAS)。
  • 在Rt△ABD中，∠B = 60°，∠BAD = 30°，BD = 1/2 AB。
  • 在直角三角形中,如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，这个性质就是从等边三角形推导出来的。

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经典例题与解题技巧

例题1：基础性质应用

已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，BE是AC边上的中线。 求证：∠ABD = ∠DAE。

解析：

• 分析：要证明两个角相等，可以利用等边三角形的性质，找到它们各自等于哪个度数。
• 证明过程：
  1. 因为△ABC是等边三角形，
  2. ∠ABC = 60°。
  3. 又因为 AD 是高，AD 也是角平分线。
  4. ∠BAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 × 60° = 30°。
  5. 因为 BE 是中线，E 是 AC 的中点。
  6. AE = 1/2 AC。
  7. 又因为 AB = AC (等边三角形三边相等)，AE = 1/2 AB。
  8. 在Rt△ABE中，AE = 1/2 AB，根据30°所对的直角边等于斜边一半的逆定理，可得 ∠ABE = 30°。
  9. 因为 BE 是中线，BE 也是角平分线（三线合一），∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30°。
  10. ∠ABD = ∠ABE = 30°。
  11. ∠ABD = ∠DAE。

例题2：判定方法应用

如图,在△ABC中，BD、CE 是两条角平分线，且 BD = CE。 求证：△ABC是等边三角形。

解析：

• 分析：要证明一个三角形是等边三角形，可以尝试证明它是等腰三角形且有一个角为60°。
• 证明过程：
  1. 在△ABD和△ACE中：
     • ∠ABD = ∠ACE (因为 BD、CE 是角平分线，∠ABD = 1/2 ∠ABC，∠ACE = 1/2 ∠ACB)。
     • AB = AC (需要先证明，这里思路有误，换一种方法)。
  2. 正确思路：先证明△ABC是等腰三角形。
     • 在△BDC和△CEB中：
       • BD = CE (已知)
       • ∠DBC = ∠ECB (同上，角平分线)
       • BC = CB (公共边)
     • △BDC ≌ △CEB (AAS)。
     • ∠B = ∠C。
     • AB = AC (等角对等边)，△ABC是等腰三角形。
  3. 因为 AB = AC，∠B = ∠C。
  4. 又因为 BD 是角平分线，∠ABD = ∠DBC = 1/2 ∠B。
  5. 同理,∠ACE = 1/2 ∠C。
  6. 因为 ∠B = ∠C，∠ABD = ∠ACE。
  7. 因为 BD = CE (已知)，AB = AC (已证)，
  8. △ABD ≌ △ACE (SAS)。
  9. ∠A = ∠B。
  10. 因为 ∠A = ∠B = ∠C，∠A = 180° / 3 = 60°。
  11. △ABC是等腰三角形，且有一个角 (∠A) 等于60°。
  12. △ABC是等边三角形。

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易错点提醒

1. 混淆性质和判定：性质是“如果是等边三角形，..”，判定是“..，那么它是等边三角形”，不要混用。
2. 忽略“等腰+60°”的判定法：这是最快捷的判定方法之一，需要重点掌握。
3. 三线合一的应用：在等边三角形中，高、中线、角平分线是同一条线，这个性质在计算角度和长度时非常有用，要能灵活识别。
4. 对称轴的数量：等边三角形有三条对称轴，不要记成一条或四条。

掌握等边三角形,要抓住以下几个核心：

• 一个核心定义：三边相等。
• 两大核心性质：三边相等，三角均为60°；三线合一，三条对称轴。
• 三大核心判定：三边相等；三角均为60°；等腰且一角为60°。

希望这份详细的梳理能帮助你学好八年级上册的等边三角形！如果还有具体的问题，随时可以提出来。