六年级数学阴影面积怎么求？
校园之窗 2025年12月2日 02:59:14 99ANYc3cd6
核心思想
求阴影部分面积,最核心的思路是 “转化” 和 “加减”，我们很少会直接计算一个不规则的阴影图形，而是通过以下策略，把它变成我们熟悉的、能计算的图形：
- 整体法：先求出整个图形的面积，再减去空白部分的面积。
阴影面积 = 整个图形面积 - 空白部分面积 - 分割法：把阴影部分分割成几个规则的图形（如长方形、正方形、三角形、圆等），分别计算面积再相加。
阴影面积 = 图形1面积 + 图形2面积 + ... - 等积变形法：利用等底等高的三角形面积相等、图形的平移旋转等性质，将阴影部分移动或替换成一个规则图形。
- 加减组合法：结合以上多种方法，先加后减，或先减后加。
常见题型及解题技巧
下面我们通过几个典型的例题来理解这些方法。
整体法（最常用）
这种方法适用于阴影部分是一个“大图形挖掉一个小图形”或者空白部分形状简单的情况。
【例题1】 在一个边长为10厘米的正方形中，有一个半径为3厘米的圆，求正方形内，圆外部分的阴影面积。
【解题思路】 这里的阴影部分就是正方形的面积减去圆的面积。
【解答步骤】
- 计算正方形面积：
S_正方形 = 边长 × 边长 = 10 × 10 = 100 (平方厘米) - 计算圆的面积：
S_圆 = π × 半径² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26 (平方厘米) - 计算阴影面积：
S_阴影 = S_正方形 - S_圆 = 100 - 28.26 = 71.74 (平方厘米)
答：阴影部分的面积是71.74平方厘米。
分割法
当阴影部分由几个规则图形组合而成时,可以将其分割开分别计算。
【例题2】 下图是一个大正方形，里面有一个小正方形，阴影部分是L形，已知大正方形边长为8厘米，小正方形边长为4厘米，求阴影部分的面积。
【解题思路】 方法一（整体法）：用大正方形面积减去小正方形面积。 方法二（分割法）：将L形阴影分割成两个长方形。
【解答步骤（以分割法为例）】
- 分割图形：将L形阴影部分从中间竖着切开，分成两个长方形。
- 计算上面长方形面积：
长 = 大正方形边长 = 8厘米
宽 = (大正方形边长 - 小正方形边长) / 2 = (8 - 4) / 2 = 2厘米
S_上 = 8 × 2 = 16 (平方厘米) - 计算下面长方形面积：
长 = 大正方形边长 = 8厘米
宽 = 2厘米
S_下 = 8 × 2 = 16 (平方厘米) - 计算阴影总面积：
S_阴影 = S_上 + S_下 = 16 + 16 = 32 (平方厘米)
（用整体法验证：8×8 - 4×4 = 64 - 16 = 48？哦，我分割错了！）
重新思考分割法：
正确的分割方式应该是：将L形阴影部分水平或竖直切成一个长方形和一个正方形。
竖着切：
- 左边是一个长方形,长=8cm，宽=4cm。
- 右边是一个长方形,长=4cm，宽=(8-4)=4cm。
S_阴影 = (8×4) + (4×4) = 32 + 16 = 48 (平方厘米)这样就对了，分割法的关键是找准分割线。
答：阴影部分的面积是48平方厘米。
等积变形法（难点）
这种方法巧妙地利用了图形的性质,让问题变得非常简单。
【例题3】 下图是一个长方形，ABCD是它的对角线，求三角形ABD的面积。
【解题思路】 这个三角形ABD的底和高我们都不容易直接得到，我们可以利用一个重要性质：一个长方形可以被其对角线分成两个完全相同的三角形，这两个三角形的面积相等。
【解答步骤】
- 计算长方形面积：
假设长方形长为a，宽为b。
S_长方形 = a × b - 利用等积变形：
对角线BD将长方形ABCD分成了三角形ABD和三角形BCD。
因为这两个三角形形状、大小完全相同，所以它们的面积相等。
S_三角形ABD = S_三角形BCD - 计算三角形面积：
S_三角形ABD = S_长方形 / 2 = (a × b) / 2
答：三角形ABD的面积是长方形面积的一半。
加减组合法（综合应用）
这是最考验综合能力的方法,需要灵活运用以上技巧。
【例题4】 在一个半径为10厘米的圆中，有一个内接正方形（正方形的四个顶点都在圆上），求圆与正方形之间的阴影部分面积。
【解题思路】 这个阴影部分不是一个整体，也不是一个简单的挖空，我们可以这样想：
- 先求整个圆的面积。
- 再求正方形的面积，但是正方形的边长不知道，需要通过圆的半径来求。
- 最后用圆的面积减去正方形的面积。
【解答步骤】
- 计算圆的面积：
S_圆 = π × 半径² = 3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314 (平方厘米) - 计算正方形的面积：
- 连接圆心O和正方形的两个对角顶点（比如A和C），就得到了正方形的对角线AC。
- 因为正方形内接于圆,所以对角线AC的长度等于圆的直径。
- 直径 = 2 × 半径 = 2 × 10 = 20厘米。
- 重要公式：正方形的面积 = 对角线² / 2
S_正方形 = 20² / 2 = 400 / 2 = 200 (平方厘米)
- 计算阴影面积：
S_阴影 = S_圆 - S_正方形 = 314 - 200 = 114 (平方厘米)
答：阴影部分的面积是114平方厘米。
- 观察图形：仔细看阴影部分是什么形状，它和周围的图形有什么关系？
- 选择策略：思考用哪种方法（整体、分割、等积、组合）最合适。
- 如果是“挖空”型，优先考虑 整体法。
- 如果是“拼合”型，优先考虑 分割法。
- 如果图形中有等底等高、对称等关系，优先考虑 等积变形法。
- 寻找关键数据：计算面积需要知道长度、半径等，如果题目没直接给，要利用图形关系（如直径=2×半径，正方形对角线=直径等）来求。
- 分步计算：一步一步写出计算过程，不要跳步，避免出错。
- 检查答案：看看计算结果是否合理，单位是否正确。
希望这些方法和例子能帮助你更好地掌握求阴影部分面积的技巧！多做一些练习，你一定能攻克这个难点。
