九年级数学概率练习题

九年级数学概率综合练习题

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每题3分，共24分）

1. 下列事件中,是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是偶数 B. 掷一枚质地均匀的骰子，点数大于6 C. 在一个只有红球的袋子中摸出一个白球 D. 三角形的内角和是180°

   
   （图片来源网络，侵删）

2. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球,这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{5}{3}$

3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. 1

4. 一个不透明的盒子里有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外没有其他区别，从中随机摸出2个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是（ ） A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{1}{2}$

5. 从-2, -1, 0, 1, 2这五个数中，随机抽取一个数，记为m，再从剩下的四个数中随机抽取一个数，记为n，则点(m, n)在第二象限的概率是（ ） A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{10}$ D. $\frac{1}{2}$

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的小球,其中红球有2个，黄球有3个，白球有5个，这些球除颜色外完全相同，搅匀后随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是$\frac{1}{5}$，则袋中共有小球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 15个

7. 有四张背面完全相同的卡片,其正面分别标有数字2, -3, 5, 6，现将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将其正面的数字作为一次函数y=kx+b中的k值，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为b值，则一次函数y=kx+b的图像不经过第三象限的概率是（ ） A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{3}{4}$

8. 有一个均匀的正四面体,其四个面上分别标有数字1, 2, 3, 4，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别为m, n，如果将点(m, n)看作平面直角坐标系中的点，则点(m, n)在直线y=-x+5上的概率是（ ） A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{6}$

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填空题（每题3分，共18分）

9. “明天会下雨”是__事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）。

   
   （图片来源网络，侵删）

10. 在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球,它们除颜色外其他都相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是__。

11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次,至少出现一次正面的概率是__。

12. 一个不透明的盒子里装有2个红球、1个白球和3个黑球，这些球除颜色外没有其他区别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是__。

13. 从1到9这九个自然数中任取一个数,这个数既是2的倍数又是3的倍数的概率是__。

14. 有大小、材质完全相同的两个小球，分别标有数字“1”和“2”，现将它们放入一个不透明的袋中，随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球所标数字之和等于3的概率是__。

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解答题（共58分）

(8分) 一个不透明的袋子中装有5个完全相同的小球，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5，小明从中随机摸出一个小球，记下数字后不放回；再从中随机摸出一个小球，记下数字。 (1) 请用树状图或列表法列出所有可能出现的结果。 (2) 求两次摸出的小球上数字之和等于4的概率。

(10分) 一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同。 (1) 搅匀后从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。 (2) 搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，请用列表法或画树状图的方法，求两次都摸到红球的概率。

(10分) 有四张卡片，背面完全相同，正面分别标有数字1, 2, 3, 4，将它们背面朝上洗匀后，随机抽取一张，记录下数字，然后放回，再随机抽取一张。 (1) 请用树状图或列表法表示出两次抽取卡片可能出现的结果。 (2) 求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率。 (3) 求抽取的两张卡片上的数字之和大于4的概率。

(10分) 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以转动的转盘，并规定：顾客消费满100元就可以转动转盘一次，转盘停止后，指针所指区域内的商品即为奖品，转盘被分成四个面积相等的扇形区域，分别标有“谢谢参与”、“10元购物券”、“20元购物券”、“50元购物券”。 (1) 顾客转动转盘一次，获得奖品的概率是多少？ (2) 顾客转动转盘一次，获得20元以上（包括20元）购物券的概率是多少？

(10分) “校园歌手大赛”设置了5个奖项，一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、鼓励奖，小明和小华都参加了比赛，假设每个奖项被他们获得的概率均等。 (1) 求小明获得一等奖的概率。 (2) 求小明获得一等奖或二等奖的概率。 (3) 求小明获得一等奖，而小华获得二等奖的概率。

(10分) 一个不透明的袋子里有若干个球，它们只有颜色不同，其中红球有2个，白球有3个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中，并再向袋中加入2个与摸出球颜色相同的球，然后再次搅匀，再随机摸出一个球。 (1) 求第一次摸到红球的概率。 (2) 求第二次摸到红球的概率。

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参考答案

选择题

1. D (必然事件是指一定会发生的事件)
2. C (P(红球) = 红球数 / 总球数 = 5 / (5+3) = 5/8)
3. A (所有可能结果：(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)，共4种，满足条件的1种，概率为1/4)
4. A (用列表法或组合法：从6个球中选2个，总共有C(6,2)=15种选法，从4个黑球中选2个，有C(4,2)=6种选法，概率为6/15=2/5。注：原题选项可能有误，按计算应为2/5，但最接近且常见的陷阱是1/3，这里我们按标准计算过程给出答案，如果严格按照选项，可能是题目设定不同，但通常此题答案为2/5。 更正： 重新审题，如果是不放回摸出2个，P(两黑)= (4/6) * (3/5) = 12/30 = 2/5，所以原题选项C更合理，这里我们选择 C)
5. B (m的取值有5种可能，当m=-2时，n可以是-1,0,1,2，点(-2,n)在第二象限有2种情况(n=1,2)，当m=-1时，n可以是-2,0,1,2，点(-1,n)在第二象限有2种情况(n=1,2)，当m=0时，点(0,n)在y轴上，当m=1或2时，点(m,n)在第一或第四象限，总共有 2 + 2 = 4种满足条件的情况，总共有 5 4 = 20种等可能结果，概率为4/20=1/5。注：此题选项A更合理。 更正： 仔细分析，m=-2时，n可以是-1,0,1,2，点(-2,1)和(-2,2)在第二象限，m=-1时，n可以是-2,0,1,2，点(-1,1)和(-1,2)在第二象限，m=0,1,2时，不可能在第二象限，所以满足条件的有4种，总的结果数是5(选m) 4(选n) = 20种，P=4/20=1/5，所以选择 A)
6. B (设袋中共有x个小球，P(红球) = 红球数 / 总球数 = 2 / x = 1/5，解得x=10)
7. C (k的取值有2, -3, 5, 6，b的取值有剩下的3个，总共有4×3=12种可能，函数y=kx+b不经过第三象限，需要k>0且b≥0，k>0的情况是k=2, 5, 6，当k=2时，b可以是-3, 5, 6，满足b≥0的有5, 6，共2种，当k=5时，b可以是2, -3, 6，满足b≥0的有2, 6，共2种，当k=6时，b可以是2, -3, 5，满足b≥0的有2, 5，共2种，共有 2+2+2=6种满足条件的情况，概率为6/12=1/2。注：此题选项B更合理。 更正： 重新分析，当k=2, b=5或6，当k=5, b=2或6，当k=6, b=2或5，确实有6种，总情况是P(4,2)=4×3=12种，P=6/12=1/2，所以选择 B)
8. D (总共有4×4=16种等可能结果，点(m, n)在直线y=-x+5上，即m+n=5，可能的结果有：(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)，共4种，概率为4/16=1/4。注：此题选项C更合理。 更正： 仔细看题，m+n=5，确实有(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)四种，P=4/16=1/4，所以选择 C) （以上选择题部分题目选项与标准答案有出入，已在解题过程中标注并给出正确选择，旨在引导学生掌握解题方法。）

填空题

9. 随机
10. $\frac{2}{5}$ (P(白球) = 白球数 / 总球数 = 2 / (3+2) = 2/5)
11. $\frac{7}{8}$ (至少一次正面 = 1 - 全是反面，P(全是反面) = (1/2) (1/2) (1/2) = 1/8，所以P(至少一次正面) = 1 - 1/8 = 7/8)
12. $\frac{1}{3}$ (P(红球) = 红球数 / 总球数 = 2 / (2+1+3) = 2/6 = 1/3)
13. $\frac{1}{9}$ (既是2的倍数又是3的倍数，即6的倍数，在1-9中只有6这一个数，P=1/9)
14. $\frac{1}{4}$ (所有可能结果：(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)，满足和为3的是(1,2)和(2,1)，概率为2/4=1/4)

解答题

解： (1) 用列表法表示所有可能出现的结果： | 第一次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | 第二次 | | | | | | | 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | | 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) | (2,5) | | 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) | (3,5) | | 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - | (4,5) | | 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | - | 共有 5×4 = 20 种等可能的结果。 (2) 设“两次摸出的小球上数字之和等于4”为事件A。 满足事件A的结果有：(1,3), (3,1)，共2种。 P(A) = $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$。

解： (1) P(摸到红球) = $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$。 (2) 用列表法表示所有可能出现的结果： | 第一次 | 红球 | 白球 | | :--- | :-: | :-: | | 第二次 | | | | 红球 | (红,红) | (白,红) | | 白球 | (红,白) | (白,白) | 共有 2×2 = 4 种等可能的结果。 设“两次都摸到红球”为事件B。 满足事件B的结果有：(红,红)，共1种。 P(B) = $\frac{1}{4}$。

解： (1) 用树状图表示所有可能出现的结果：

      第一次
     /  |  |  \
    1   2  3  4
   /|\ /|\ /|\ /|\
第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

共有 4×4 = 16 种等可能的结果。 (2) 设“抽取的两张卡片上的数字之和为偶数”为事件C。 两数之和为偶数，有两种情况：两数均为奇数，或两数均为偶数。 奇数有1, 3；偶数有2, 4。 两数均为奇数的结果有：(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)，共4种。 两数均为偶数的结果有：(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)，共4种。 满足事件C的结果共有 4 + 4 = 8 种。 P(C) = $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。 (3) 设“抽取的两张卡片上的数字之和大于4”为事件D。 满足事件D的结果有：(1,4), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)，共10种。 P(D) = $\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。

解： (1) 设“获得奖品”为事件A。 因为“谢谢参与”不算奖品，所以获得奖品的情况有“10元购物券”、“20元购物券”、“50元购物券”共3种。 转盘被分成4个等份，P(A) = $\frac{3}{4}$。 (2) 设“获得20元以上购物券”为事件B。 满足事件B的情况有“20元购物券”、“50元购物券”共2种。 P(B) = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

解： (1) P(小明获得一等奖) = $\frac{1}{5}$。 (2) P(小明获得一等奖或二等奖) = P(一等奖) + P(二等奖) = $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$。 (3) 小明获得一等奖的概率是 $\frac{1}{5}$，在小明获得一等奖的情况下，小华从剩下的4个奖项中选，获得二等奖的概率是 $\frac{1}{4}$。 P(小明一等奖且小华二等奖) = $\frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$。

解： (1) P(第一次摸到红球) = $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$。 (2) 这是一个两步概率问题，需要分情况讨论。

• 第一次摸到红球。 P(第一次红) = $\frac{2}{5}$。 此时袋中球变为：红球 2+2=4个，白球3个，共7个球。 P(第二次红 | 第一次红) = $\frac{4}{7}$。 这种情况发生的概率为 P1 = $\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$。
• 第一次摸到白球。 P(第一次白) = $\frac{3}{5}$。 此时袋中球变为：红球2个，白球3+2=5个，共7个球。 P(第二次红 | 第一次白) = $\frac{2}{7}$。 这种情况发生的概率为 P2 = $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$。
• 第二次摸到红球的总概率 = P1 + P2 = $\frac{8}{35} + \frac{6}{35} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}$。
• 第二次摸到红球的概率仍然是 $\frac{2}{5}$，这是一个有趣的结论，说明在这种规则下，每次摸到红球的概率都是相同的。