八年级数学期末考试试卷

校园之窗 2026年1月1日 17:47:47 99ANYc3cd6 1 0

这份试卷涵盖了人教版八年级下学期的核心知识点，包括二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数、数据分析等，题型全面，难度适中,旨在帮助学生进行全面的复习和自我检测。

八年级数学下学期期末考试模拟试卷

（考试时间：120分钟满分：120分）

（图片来源网络，侵删）

注意事项：

本试卷共三大题,26小题。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
答案全部写在答题卡上,写在本试卷上无效。
作图题可先用铅笔在答题卡的指定位置作图，确认后用0.5mm黑色签字笔描黑。

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

下列根式中，是最简二次根式的是 A. $ \sqrt{8} $ B. $ \sqrt{12} $ C. $ \sqrt{a^2+1} $ D. $ \sqrt{\frac{1}{2}} $
下列函数中，y随x的增大而减小的是 A. $ y = 2x + 1 $ B. $ y = -x + 3 $ C. $ y = x^2 $ D. $ y = \frac{1}{x} $
以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是 A. 3, 4, 6 B. 5, 12, 13 C. 4, 5, 6 D. 2, 3, 4
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平行四边形的两条对角线长分别为10cm和14cm，一边长为12cm，则这个平行四边形的面积为 A. 48 cm² B. 96 cm² C. 112 cm² D. 168 cm²
一次函数 $ y = kx + b $ 的图象如图1所示，则关于x的不等式 $ kx + b < 0 $ 的解集是 A. $ x < -2 $ B. $ x > -2 $ C. $ x < 1 $ D. $ x > 1 $ (图1为一条过点(-2,0)和(0,1)的直线)
一次函数 $ y_1 = k_1x + b_1 $ 和 $ y_2 = k_2x + b_2 $ 的图象交于点 $ P(-1, 2) $，当 $ x < -1 $ 时，$ y_1 > y_2 $，则下列结论正确的是 A. $ k_1 > k_2 $ B. $ k_1 < k_2 $ C. $ b_1 > b_2 $ D. $ b_1 < b_2 $
在一次数学竞赛中，某小组5名同学的成绩（单位：分）分别是：85, 90, 88, 92, 95，这组数据的中位数和众数分别是 A. 90, 88 B. 90, 90 C. 88, 95 D. 90, 无
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已知 $ a = \sqrt{3} - 1 $，$ b = 2 $，$ c = \sqrt{5} $，则 $ a, b, c $ 的大小关系是 A. $ a < b < c $ B. $ b < a < c $ C. $ c < b < a $ D. $ a < c < b $
如图2，在菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC, BD $ 相交于点O，$ \angle ABC = 60^\circ $，$ AB = 4 $，则菱形的面积为 A. $ 4\sqrt{3} $ B. $ 8 $ C. $ 8\sqrt{3} $ D. $ 16 $ (图2为一个标准的菱形，对角线交点为O)
一个不透明的袋子中装有5个红球和若干个白球，这些球除颜色外完全相同，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则袋中白球的数量大约是 A. 10个 B. 15个 C. 20个 D. 25个

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

计算：$ \sqrt{12} - \sqrt{3} = $ __________。
在平面直角坐标系中，点 $ P(-3, 4) $ 到原点 $ O(0, 0) $ 的距离是 __________。
已知 $ \square ABCD $ 的周长为36cm，$ AB $ 比 $ BC $ 长2cm，则 $ AB $ 的长为 __________ cm。
一个正比例函数的图象经过点 $ (2, -6) $，则这个函数的表达式为 __________。
小明记录了本周的最高气温（单位：°C）分别是：18, 19, 21, 20, 22, 21, 20，这组数据的方差是 __________。
如图3，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点，连接 $ AE $，交对角线 $ BD $ 于点 $ F $，则 $ EF $ 的长为 __________。 (图3为矩形ABCD，E为BC中点，AE与BD交于F)

解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

(6分) 计算：$ (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{48} + \sqrt{12} $。
(6分) 先化简，再求值：$ \frac{a-2}{a^2-4} \div \left(1 - \frac{2}{a+2}\right) $，$ a = \sqrt{3} + 1 $。
(8分) 如图4，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，$ DF \perp AC $ 于点 $ F $。 (1) 求证：$ DE = DF $； (2) 若 $ AB = 8 $，$ AC = 6 $，$ BC = 10 $，求 $ \triangle ABC $ 的面积和 $ DE $ 的长。 (图4为三角形ABC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC)
(8分) 为了解某校八年级学生“一分钟跳绳”的次数情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试结果绘制成不完整的统计图（如图5、图6）。 (图5为条形统计图，横轴为次数范围，纵轴为人数；图6为扇形统计图) 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1) 这次共抽取了多少名学生？ (2) 补全条形统计图； (3) 如果该校八年级共有1000名学生，估计“一分钟跳绳”次数在120次及以上（含120次）的学生有多少名？
(8分) 已知一次函数 $ y = -x + 4 $ 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B。 (1) 求点A、B的坐标； (2) 若点C在x轴上，且 $ \triangle ABC $ 的面积为4,求点C的坐标。
(10分) 如图7，在 $ \square ABCD $ 中，$ E, F $ 分别是对角线 $ AC $ 上的两点，且 $ AE = CF $。 (1) 求证：$ \triangle ABE \cong \triangle CDF $； (2) 求证：$ BE \parallel DF $。 (图7为平行四边形ABCD，对角线AC上有点E,F，且AE=CF)
(10分) 某商店销售一种商品，成本价为每件40元，据市场调查发现，销售单价定为50元时，每天可售出20件；销售单价每上涨1元，每天销售量就减少1件，设销售单价为 $ x $ 元（$ x \ge 50 $），每天的销售利润为 $ y $ 元。 (1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式； (2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(16分) 如图8，在平面直角坐标系中，点 $ A(-4, 0) $，$ B(0, 3) $。 (1) 求线段AB的长度； (2) 若点C是x轴上的一个动点，当 $ \triangle ABC $ 是以AB为斜边的直角三角形时，求点C的坐标； (3) 若点P在y轴上，是否存在点P，使得 $ PA + PB $ 的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 (图8为坐标系，点A(-4,0)，点B(0,3))

参考答案及评分标准

选择题

C 2. B 3. B 4. B 5. A 6. B 7. B 8. A 9. C 10. B

填空题 11. $ \sqrt{3} $ 12. 5 13. 10 14. $ y = -3x $ 15. 2 16. $ \frac{5}{3} $

解答题

解：原式 = $ (\sqrt{5})^2 - 2^2 - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} $ = $ 5 - 4 - 2\sqrt{3} $ = $ 1 - 2\sqrt{3} $ (6分)
解：原式 = $ \frac{a-2}{(a+2)(a-2)} \div \left(\frac{a+2-2}{a+2}\right) $ = $ \frac{1}{a+2} \div \frac{a}{a+2} $ = $ \frac{1}{a+2} \times \frac{a+2}{a} $ = $ \frac{1}{a} $ (3分) 当 $ a = \sqrt{3} + 1 $ 时，原式 = $ \frac{1}{\sqrt{3}+1} $ = $ \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} $ = $ \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} $ = $ \frac{\sqrt{3}-1}{2} $ (6分)
(1) 证明： 在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 的中点， $ \therefore AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线。 (1分) $ \because DE \perp AB $，$ DF \perp AC $， $ \therefore DE $ 和 $ DF $ 分别是点 $ D $ 到 $ AB $ 和 $ AC $ 的距离。 (2分) 根据定理：三角形一边上的中线与这边上的高所夹的角，等于这边所对的角的补角的一半（或直接使用面积法）。更简单的方法是连接 $ AD $，利用面积相等证明： $ S{\triangle ABD} = S{\triangle ADC} $ $ \frac{1}{2} AB \cdot DE = \frac{1}{2} AC \cdot DF $ $ \therefore DE = DF $ (4分) (2) 解： $ \because BC = 10 $，$ DE \perp AB $，$ DF \perp AC $， $ \therefore \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ $，$ \angle ABC = 90^\circ $。 (6分) $ \therefore \triangle ABC $ 是直角三角形。 $ S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 $。 (7分) 由(1)知 $ DE = DF $，且 $ S{\triangle ABC} = S{\triangle ABD} + S{\triangle ADC} $， $ 24 = \frac{1}{2} AB \cdot DE + \frac{1}{2} AC \cdot DE $ $ 24 = \frac{1}{2} \times 8 \times DE + \frac{1}{2} \times 6 \times DE $ $ 24 = 4DE + 3DE $ $ 24 = 7DE $ $ DE = \frac{24}{7} $ (8分)
解： (1) 由条形图可知，次数在100-110次的有20人，由扇形图可知，其占总体的25%。设总人数为 $ n $，则 $ 20 \div n = 25\% $，解得 $ n = 80 $。这次共抽取了80名学生。 (3分) (2) 次数在110-120次的人数为 $ 80 \times 37.5\% = 30 $ 人。次次在120-130次的人数为 $ 80 \times 25\% = 20 $ 人。次数在130次及以上的人数为 $ 80 \times 12.5\% = 10 $ 人。补全条形图如下：(略) (5分) (3) 根据样本估计总体， 1000名学生中，次数在120次及以上的学生约有： $ 1000 \times (25\% + 12.5\%) = 1000 \times 37.5\% = 375 $ 名。 (8分)
解： (1) 令 $ y = 0 $，则 $ -x + 4 = 0 $，解得 $ x = 4 $，所以点A的坐标为 $ (4, 0) $。令 $ x = 0 $，则 $ y = 4 $，所以点B的坐标为 $ (0, 4) $。 (4分) (2) 设点C的坐标为 $ (x, 0) $。 $ \triangle ABC $ 的面积为4， $ \therefore \frac{1}{2} \times AB \times |x_C - x_A| = 4 $。 (5分) 先求AB的长度：$ AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。 (6分) $ \therefore \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times |x - 4| = 4 $， $ 2\sqrt{2} |x - 4| = 4 $， $ |x - 4| = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} $。 (7分) $ x - 4 = \sqrt{2} $ 或 $ x - 4 = -\sqrt{2} $，解得 $ x = 4 + \sqrt{2} $ 或 $ x = 4 - \sqrt{2} $。 (8分) 所以点C的坐标为 $ (4 + \sqrt{2}, 0) $ 或 $ (4 - \sqrt{2}, 0) $。
(1) 证明： 在 $ \square ABCD $ 中， $ AB = CD $，$ \angle BAE = \angle DCF $。 (2分) 又 $ \because AE = CF $， $ \therefore AE + EF = CF + EF $，即 $ AF = CE $。 (4分) 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CDF $ 中， $ \begin{cases} AB = CD \ \angle BAE = \angle DCF \ AF = CE \end{cases} $ $ \therefore \triangle ABE \cong \triangle CDF $ (SAS)。 (6分) (2) 证明： 由(1)知 $ \triangle ABE \cong \triangle CDF $， $ \therefore \angle ABE = \angle CDF $。 (8分) 又 $ \because AB \parallel CD $， $ \therefore \angle ABE = \angle CDF $ 是内错角， $ \therefore BE \parallel DF $。 (10分)
解： (1) 设销售单价为 $ x $ 元时，每天的销售量为 $ (20 - (x - 50)) = (70 - x) $ 件。 (2分) 每件商品的利润为 $ (x - 40) $ 元。 (3分) $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为： $ y = (x - 40)(70 - x) $ $ = -x^2 + 110x - 2800 $。 (5分) (2) $ y = -x^2 + 110x - 2800 $ 是一个开口向下的二次函数，当 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{110}{2 \times (-1)} = 55 $ 时，$ y $ 有最大值。 (8分) 最大利润为 $ y = -55^2 + 110 \times 55 - 2800 = -3025 + 6050 - 2800 = 225 $ 元。 (10分) 答：当销售单价定为55元时，每天的销售利润最大,最大利润是225元。
解： (1) 点 $ A(-4, 0) $，$ B(0, 3) $， $ AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 $。 (4分) (2) 设点C的坐标为 $ (x, 0) $。 $ \because \triangle ABC $ 是以AB为斜边的直角三角形， $ \therefore \angle ACB = 90^\circ $。 (5分) 根据勾股定理，有 $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $。 $ AC^2 = (x + 4)^2 $，$ BC^2 = x^2 + 9 $，$ AB^2 = 25 $。 (6分) $ (x+4)^2 + x^2 + 9 = 25 $， $ x^2 + 8x + 16 + x^2 + 9 = 25 $， $ 2x^2 + 8x = 0 $， $ 2x(x + 4) = 0 $。 (8分) 解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = -4 $。 (9分) 当 $ x = 0 $ 时，点C与点B重合，构不成三角形，舍去。当 $ x = -4 $ 时，点C与点A重合，构不成三角形，舍去。 (10分) (此处为易错点，说明直接设C在x轴上不正确，应使用几何方法) 正确解法： $ \because \angle ACB = 90^\circ $，$ AB $ 为斜边， $ \therefore $ 点C在以AB为直径的圆上，且C在x轴上。 (5分) AB的中点为圆心 $ M(-2, \frac{3}{2}) $，半径为 $ \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} $。 (7分) 圆的方程为 $ (x+2)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 $。 (8分) 令 $ y = 0 $，代入得 $ (x+2)^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4} $， $ (x+2)^2 = \frac{25}{4} - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} = 4 $， $ x+2 = \pm 2 $。 (10分) 解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = -4 $。 (11分) 经检验，$ C(0,0) $ 和 $ C(-4,0) $ 都与A、B重合，构不成三角形。 (不存在这样的点C) (重新审视题意，可能是题目描述有歧义，或者题目有图暗示C不与A,B重合，通常考试中会避免此情况，我们假设题目是“以AB为斜边，且C不与A,B重合”，则此问无解，但更可能是笔误，应为“以AB为一边”，我们按“以AB为斜边”解答，并说明特殊情况。) 最终答案： 满足条件的点C不存在，因为求得的点C与点A或点B重合，不能构成三角形。 (12分) (3) 存在，作点B关于y轴的对称点 $ B'(0, -3) $。 (13分) 连接 $ AB' $，与y轴的交点即为所求的点P。 (14分) 直线 $ AB' $ 的解析式为 $ y = \frac{-3-0}{0-(-4)}x - 3 = -\frac{3}{4}x - 3 $。 (15分) 令 $ x = 0 $，得 $ y = -3 $。所以点P的坐标为 $ (0, -3) $。 (16分)