八年级下册数学单元测试重点难点是什么？

校园之窗 2025年12月22日 09:21:42 99ANYc3cd6 1 0

是整个初中阶段的重点和难点，主要集中在函数和几何两大核心板块，一份高质量的单元测试通常会覆盖这些核心知识点,并考察学生的综合应用能力。

下面我为你精心设计了一份八年级下册数学期末综合模拟测试卷，它融合了各个单元的重点，并包含了不同难度的题型,希望能帮助你进行有效的复习和自测。

（图片来源网络，侵删）

八年级下册数学期末综合模拟测试卷

（考试时间：120分钟满分：120分）

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每小题3分，共30分）

下列函数中，y是x的正比例函数的是 A. $y = 2x - 1$ B. $y = \frac{2}{x}$ C. $y = -2x^2$ D. $y = 2x$
一次函数 $y = -3x + 5$ 的图象不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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下列四组线段中，能组成直角三角形的是 A. 3, 4, 6 B. 5, 12, 13 C. 2, 3, 4 D. 1, 2, 3
一次函数 $y = kx + b$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $kx + b > 0$ 的解集是

(此处应有一张图，显示一条直线经过第一、三、四象限，与x轴交于点(2,0)，与y轴交于点(0,-1)) A. $x > 2$ B. $x < 2$ C. $x > -1$ D. $x < -1$
数据 $2, 3, 4, 5, 6$ 的方差是 A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
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已知一次函数 $y_1 = k_1x + b_1$ 和 $y_2 = k_2x + b_2$ 的图象交于点 $P(-1, 2)$，当 $x < -1$ 时，$y_1 > y_2$，则下列关系式正确的是 A. $k_1 > k_2$ B. $k_1 < k_2$ C. $b_1 > b_2$ D. $b_1 < b_2$
如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，若 $AB = 4$，则 $AC$ 的长为

(此处应有一张图，显示矩形ABCD，对角线AC和BD交于O，角AOB为60度) A. 4 B. $4\sqrt{3}$ C. 8 D. $8\sqrt{3}$
若点 $A(a, 4)$ 和 $B(3, b)$ 关于原点对称，则 $a + b$ 的值为 A. -1 B. 1 C. 7 D. -7
已知菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的边长为 A. 2 cm B. 3 cm C. 5 cm D. 10 cm
某校八年级（1）班50名同学为“希望工程”捐款，捐款情况如下表所示： | 捐款数（元） | 5 | 10 | 15 | 20 | |--------------|---|---|---|---| | 人数 | 10 | 15 | 10 | 15 | 则这50名同学捐款数的众数和中位数分别是 A. 10, 15 B. 15, 15 C. 15, 20 D. 20, 15

填空题（每小题3分，共24分）

点 $P(-3, 5)$ 关于y轴对称的点的坐标是 ____。
一次函数 $y = 2x - 4$ 与x轴的交点坐标是 ____。
函数 $y = \sqrt{x-2}$ 中，自变量x的取值范围是 ____。
已知 $a, b$ 满足 $(a-2)^2 + \sqrt{b-3} = 0$，则以a, b为直角边长的直角三角形的斜边长为 ____。
菱形的两条对角线分别为6 cm和8 cm，则菱形的面积为 ____ cm²。
已知一次函数 $y = (m-1)x + m + 2$ 的图象y随x的增大而减小，且不经过第四象限，则m的取值范围是 ____。
一个正比例函数的图象经过点 $A(-2, 3)$，那么这个函数的表达式为 ____。
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 13$，$BC = 5$，则 $AC = $____，$\triangle ABC$ 的面积为 ____。

(此处应有一张图，显示直角三角形ABC，角C为90度,AB为斜边)

解答题（共66分）

(6分) 计算： $\sqrt{48} - \sqrt{12} + (\pi - 3.14)^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

(8分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是高，$E$ 是 $BC$ 的中点。 (1) 求证：$BE = EC$。 (2) 若 $AB = 10$，$AC = 8$，$AD = 4$，求 $DE$ 的长。

(此处应有一张图，显示三角形ABC，AD垂直于BC，E是BC的中点)

(8分) 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A(1, 3)$ 和点 $B(-2, -3)$。 (1) 求这个一次函数的表达式。 (2) 画出这个函数的图象。 (3) 判断点 $P(2, 5)$ 是否在这个函数的图象上,并说明理由。

(10分) 如图，在 $\square ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$E, F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。 (1) 求证：$\triangle ABE \cong \triangle CDF$。 (2) 求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。

(此处应有一张图，显示平行四边形ABCD，对角线AC和BD交于O，E和F在AC上，AE=CF)

(10分) 某文具店销售甲、乙两种文具，已知甲种文具每件进价20元，售价25元；乙种文具每件进价30元，售价40元，该店计划一次购进这两种文具共50件，设购进甲种文具x件，总成本为w元。 (1) 求w与x之间的函数关系式。 (2) 若该店购进这批文具的资金不超过1600元，求x的取值范围。 (3) 在(2)的条件下，如何进货才能使销售完这批文具获得的利润最大？最大利润是多少？

(12分) 如图，在平面直角坐标系中，点 $A(-2, 0)$，点 $B(0, 4)$，点 $C$ 是x轴正半轴上的一个动点，连接 $BC$，作 $BD \perp BC$，且 $BD = BC$，连接 $AD$。 (1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle OBC$。 (2) 当点 $C$ 运动到什么位置时，线段 $AD$ 最短？求出此时点 $C$ 的坐标和 $AD$ 的最小值。

(此处应有一张图，显示坐标系，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，BD垂直于BC且BD=BC)

(12分) 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，点 $E$ 是 $BC$ 边上一点，连接 $AE$，将 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $F$ 处，且点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 内部。 (1) 求证：四边形 $ABFE$ 是菱形。 (2) 若点 $F$ 恰好落在对角线 $AC$ 上，求 $BE$ 的长。

(此处应有一张图，显示矩形ABCD，E在BC上，将三角形ABE沿AE翻折，B点落到F点，F在矩形内部，可能在AC上)

参考答案及解析

选择题

D (正比例函数形式为 $y=kx, k\neq 0$)
C (k=-3<0, b=5>0，图象经过第一、二、四象限)
B ($5^2 + 12^2 = 13^2$,满足勾股定理)
A (不等式 $kx+b>0$ 的解集是图象在x轴上方部分对应的x的范围，即x>2)
A (平均数为4，方差 $s^2 = \frac{1}{5}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2] = \frac{1}{5}(4+1+0+1+4) = 2$)
B (当x<-1时，y1>y2，说明直线y1在y2上方，所以y1的倾斜程度更小，即k1 < k2)
C (在Rt△AOB中，$\angle AOB=60^{\circ}$，$AB=4$，$OA = \frac{AB}{\sin60^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$，在矩形中，对角线相等且互相平分，$AC = 2OA = \frac{16\sqrt{3}}{3}$。 【更正】 此题图意可能有误，若为矩形，$\angle AOB$不一定是60度，若题目描述为菱形，则对角线互相垂直，在Rt△AOB中，$\angle AOB=60^{\circ}$，$AB=4$，$OA = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$。$AB^2 = OA^2 + OB^2$，且 $OA = OB \cdot \sqrt{3}$，设 $OB=x$，则 $OA = x\sqrt{3}$。$(x\sqrt{3})^2 + x^2 = 4^2$，$3x^2+x^2=16$，$x=2$。$AC = 2OA = 4\sqrt{3}$。 【再次更正】 重新审题，如果题目明确是矩形，且 $\angle AOB=60^{\circ}$，$OA=OB$，在Rt△AOB中，$\angle OAB=30^{\circ}$，$OB = \frac{1}{2}AB = 2$。$AC = 2OB = 4$。 【最终采用此解法】 答案为 A。
D (关于原点对称，横纵坐标都互为相反数。$a=-3$, $b=-2$。$a+b = -3+(-2) = -5$。 【更正】 题目描述有误，应为 $A(a, 4)$ 和 $B(3, b)$，关于原点对称，则 $a=-3$, $b=-4$。$a+b = -3+(-4) = -7$，答案为 D。
C (菱形的对角线互相垂直平分，边长与对角线的一半构成直角三角形，边长 $l = \sqrt{(6/2)^2 + (8/2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ cm)
B (众数是出现次数最多的数，是15，中位数是将数据从小到大排列后最中间的数，排列后为5,5,...,10,10,...,15,15,...,20,20，共50个数，第25和26个数都是15，所以中位数是15。)

填空题

(3, 5) (关于y轴对称，横坐标变号,纵坐标不变)
(2, 0) (令y=0，解方程 $2x-4=0$)
x ≥ 2 (被开方数必须非负)
5 (由非负性得 $a=2$, $b=3$，斜边 $c = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$。 【更正】 题目要求的是斜边长，应为 $\sqrt{13}$。)
24 (菱形面积 $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm²)
1 < m ≤ 2 (y随x增大而减小，则 $m-1 < 0$，即 $m < 1$，不经过第四象限，则 $k \leq 0$ 且 $b \geq 0$。$m-1 \leq 0$ (已包含) 且 $m+2 \geq 0$ (即 $m \geq -2$)，综合得 $-2 \leq m < 1$。 【再次审题】 "不经过第四象限"对于一次函数 $y=kx+b$ (k≠0) 意味着两种情况：1) k>0, b>0 (过一、二、三象限)；2) k<0, b>0 (过一、二、四象限)，但题目要求y随x增大而减小，所以k<0，因此只能是情况2，即 $k<0$ 且 $b>0$。$m-1<0$ 且 $m+2>0$，解得 $-2 < m < 1$。)
$y = -\frac{3}{2}x$ (设 $y=kx$，代入点A(-2,3)，得 $3 = k(-2)$，解得 $k = -\frac{3}{2}$)
12, 30 (由勾股定理，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$，面积 $S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$)

解答题

解：原式 $= 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 + 2$ $= (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (1 + 2)$ $= 2\sqrt{3} + 3$

解： (1) 因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，$BE = EC$。 (2) 在Rt△ABD中，$AB=10$, $AD=4$，由勾股定理得 $BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 4^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，$BE = \frac{1}{2}BC$。在Rt△ADC中，$AC=8$, $AD=4$，由勾股定理得 $DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。 $BC = AD = 4\sqrt{3}$。 $BE = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。在Rt△BDE中，$BD=2\sqrt{21}$, $BE=2\sqrt{3}$，由勾股定理得 $DE = \sqrt{BD^2 - BE^2} = \sqrt{(2\sqrt{21})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{84 - 12} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。

解： (1) 将 $A(1, 3)$ 和 $B(-2, -3)$ 代入 $y = kx + b$ 得： $\begin{cases} k + b = 3 \ -2k + b = -3 \end{cases}$ 解得：$k = 2$, $b = 1$。所以这个一次函数的表达式为 $y = 2x + 1$。 (2) 图象略。(过点(0,1)和点(-0.5,0)) (3) 将 $P(2, 5)$ 的x坐标代入函数式，$y = 2 \times 2 + 1 = 5$，因为y值等于5，所以点 $P(2, 5)$ 在这个函数的图象上。

证明： (1) 在 $\square ABCD$ 中，$AB \parallel CD$, $AB = CD$。 $\angle BAE = \angle DCF$。又因为 $AE = CF$， $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ (SAS)。 (2) 由(1)得 $BE = DF$。在 $\square ABCD$ 中，对角线互相平分，$BO = DO$。又因为 $AE = CF$，$AO - AE = CO - CF$，即 $OE = OF$。在 $\triangle BOE$ 和 $\triangle DOF$ 中，$BO = DO$, $\angle BOE = \angle DOF$ (对顶角相等), $OE = OF$。 $\triangle BOE \cong \triangle DOF$ (SAS)。 $BE = DF$ (已证) 且 $BE \parallel DF$ (由全等得 $\angle OBE = \angle ODF$，内错角相等，两直线平行)。所以四边形 $BEDF$ 是平行四边形 (一组对边平行且相等)。

解： (1) 购进甲种文具x件，则购进乙种文具 $(50-x)$ 件。总成本 $w = 20x + 30(50-x) = 20x + 1500 - 30x = -10x + 1500$。 (2) 根据题意，$w \leq 1600$。 $-10x + 1500 \leq 1600$ $-10x \leq 100$ $x \geq -10$ 又因为 $0 \leq x \leq 50$ 且 $50-x \geq 0$， $x$ 的取值范围是 $0 \leq x \leq 50$。 (3) 销售甲种文具的利润为 $(25-20)x = 5x$ 元。销售乙种文具的利润为 $(40-30)(50-x) = 10(50-x)$ 元。总利润 $P = 5x + 10(50-x) = 5x + 500 - 10x = -5x + 500$。因为 $k = -5 < 0$，$P$ 随 $x$ 的增大而减小。要使 $P$ 最大，则 $x$ 应取最小值。由(2)知 $x \geq 0$，所以当 $x=0$ 时，$P$ 最大。最大利润 $P_{最大} = -5 \times 0 + 500 = 500$ 元。所以应购进甲种文具0件，乙种文具50件，才能使利润最大,最大利润是500元。

解： (1) 因为 $BD \perp BC$，$\angle DBC = 90^{\circ}$。又因为 $\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle ABD + \angle DBO = \angle CBO + \angle DBO$。即 $\angle ABD = \angle CBO$。在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle OBC$ 中， $\angle ABD = \angle CBO$ (已证), $BD = BC$ (已知), $\angle ADB = \angle OCB = 90^{\circ}$ (因为 $BD \perp BC$，$A, O, C$ 共线)。 $\triangle ABD \cong \triangle OBC$ (ASA)。 (2) 当点 $C$ 运动到 $AD \perp OC$ 的位置时，线段 $AD$ 最短。因为 $A(-2, 0)$，$O(0, 0)$，所以直线 $OC$ 就是x轴。 $AD \perp OC$ 意味着 $AD$ 垂直于x轴。因为点 $A$ 的坐标是 $(-2, 0)$，所以点 $D$ 的坐标为 $(-2, y_D)$。由(1)知 $\triangle ABD \cong \triangle OBC$，$AD = OC$。 $OC$ 是点 $C$ 的横坐标，$AD$ 是点 $D$ 的纵坐标的绝对值。设 $C(c, 0)$ ($c>0$)，则 $OC = c$。点 $B(0, 4)$，点 $C(c, 0)$。向量 $\vec{BC} = (c, -4)$。向量 $\vec{BD} = (-2-0, y_D-4) = (-2, y_D-4)$。因为 $BD \perp BC$，$\vec{BC} \cdot \vec{BD} = 0$。 $c \times (-2) + (-4) \times (y_D-4) = 0$ $-2c -4y_D + 16 = 0$ $4y_D = -2c + 16$ $y_D = \frac{-c+8}{2}$ 因为 $AD$ 最短，即 $|AD|$ 最小，$AD = |y_D| = |\frac{-c+8}{2}|$。因为 $F$ 在矩形内部，可以推断 $y_D > 0$，$AD = \frac{-c+8}{2}$。 $AD = OC$，$\frac{-c+8}{2} = c$。 $-c+8 = 2c$ $3c = 8$ $c = \frac{8}{3}$ 所以当点 $C$ 运动到 $(\frac{8}{3}, 0)$ 时，$AD$ 最短。 $AD$ 的最小值为 $c = \frac{8}{3}$。

解： (1) 因为 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 翻折得到 $\triangle AFE$， $AB = AF$, $BE = FE$, $\angle BAE = \angle FAE$。在矩形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$， $\angle FAE = \angle AEB$。 $\angle BAE = \angle AEB$。 $AB = BE$。 $AB = BE = EF = AF$。所以四边形 $ABFE$ 是菱形 (四条边相等的四边形是菱形)。 (2) 连接 $BF$ 交 $AE$ 于点 $O$。因为四边形 $ABFE$ 是菱形，$AE \perp BF$，且 $O$ 是 $BF$ 的中点。因为点 $F$ 在对角线 $AC$ 上，$A, F, C$ 三点共线。在矩形 $ABCD$ 中，$AB=6$, $BC=8$，$AC = \sqrt{6^2+8^2} = 10$。设 $BE = x$，则 $EF = x$。在Rt△ABE中，$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36+x^2}$。在Rt△AOF中，$AO = \frac{1}{2}AE = \frac{\sqrt{36+x^2}}{2}$。因为 $AB=6$, $BC=8$，所以点 $C(6,8)$，点 $A(0,0)$，直线 $AC$ 的解析式为 $y = \frac{4}{3}x$。点 $F$ 在 $AC$ 上，设 $F(f, \frac{4}{3}f)$。因为 $O$ 是 $BF$ 的中点，$B(0,8)$，$F(f, \frac{4}{3}f)$， $O(\frac{f}{2}, \frac{8 + \frac{4}{3}f}{2}) = (\frac{f}{2}, 4 + \frac{2}{3}f)$。点 $O$ 也在 $AE$ 上，$A(0,0)$，$E(6, 8-x)$，直线 $AE$ 的解析式为 $y = \frac{8-x}{6}x$。 $4 + \frac{2}{3}f = \frac{8-x}{6} \cdot \frac{f}{2}$。 $4 + \frac{2}{3}f = \frac{(8-x)f}{12}$。 $48 + 8f = (8-x)f$。 $48 + 8f = 8f - xf$。 $48 = -xf$。此路不通，换一种思路。因为 $AB=BE$，$BE=6$。 【这是错误的，AB=BE只在(1)的条件下成立】 重新思考：因为 $AB=AF=6$，点 $F$ 在 $AC$ 上，$AF \leq AC$。在Rt△AOF中，$AO^2 + OF^2 = AF^2$。 $AO^2 + OF^2 = 36$。 $AO = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}\sqrt{6^2+BE^2} = \frac{1}{2}\sqrt{36+x^2}$。 $OF = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2+AF^2-2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos\angle BAF}$，太复杂。使用坐标系法：设 $A(0,0)$, $B(0,8)$, $C(6,8)$, $D(6,0)$。设 $E(6, y_E)$，则 $BE = 8 - yE$。 $F$ 是 $B$ $AE$ 的对称点。直线 $AE$ 的斜率 $k{AE} = \frac{y_E}{6}$，$AE$ 的方程为 $y = \frac{yE}{6}x$。 $BF$ 的斜率 $k{BF} = -\frac{6}{y_E}$，$BF$ 的方程为 $y-8 = -\frac{6}{y_E}(x-0)$，即 $y = -\frac{6}{y_E}x + 8$。 $F$ 是 $BF$ 与 $AC$ 的交点。$AC$ 的方程为 $y = \frac{4}{3}x$。联立 $y = \frac{4}{3}x$ 和 $y = -\frac{6}{y_E}x + 8$： $\frac{4}{3}x = -\frac{6}{y_E}x + 8$ $(\frac{4}{3} + \frac{6}{y_E})x = 8$ $(\frac{4y_E+18}{3y_E})x = 8$ $x_F = \frac{24y_E}{4y_E+18} = \frac{12y_E}{2y_E+9}$ $y_F = \frac{4}{3}x_F = \frac{16y_E}{2y_E+9}$ $F$ 也是 $B$ $AE$ 的对称点，$AE$ 是 $BF$ 的垂直平分线。 $AE$ 的中点 $M(\frac{0+6}{2}, \frac{0+y_E}{2}) = (3, \frac{y_E}{2})$ 在 $BF$ 上。将 $M(3, \frac{y_E}{2})$ 代入 $BF$ 的方程 $y = -\frac{6}{y_E}x + 8$： $\frac{y_E}{2} = -\frac{6}{y_E} \cdot 3 + 8$ $\frac{y_E}{2} = -\frac{18}{y_E} + 8$ 两边同乘 $2y_E$： $y_E^2 = -36 + 16y_E$ $y_E^2 - 16y_E + 36 = 0$ 解得：$y_E = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \times 1 \times 36}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256-144}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{7}$。因为 $F$ 在矩形内部，$y_F < 8$。 $y_F = \frac{16y_E}{2y_E+9}$。当 $y_E = 8+2\sqrt{7}$ 时，分母 $2(8+2\sqrt{7})+9 = 25+4\sqrt{7}$，分子 $16(8+2\sqrt{7}) = 128+32\sqrt{7}$，$y_F$ 接近 8 但小于8。当 $y_E = 8-2\sqrt{7}$ 时，分母 $2(8-2\sqrt{7})+9 = 25-4\sqrt{7}$，分子 $16(8-2\sqrt{7}) = 128-32\sqrt{7}$，$y_F$ 也小于8。需要验证哪个解符合 $F$ 在内部。 $BE = 8 - y_E$。当 $y_E = 8+2\sqrt{7}$ 时，$BE = -2\sqrt{7}$ (舍去)。当 $y_E = 8-2\sqrt{7}$ 时，$BE = 2\sqrt{7}$。 $BE = 2\sqrt{7}$。

温馨提示： 这份试卷综合性较强，覆盖了八年级下册的核心知识点，在做题时,请务必：