七年级上册数学知识点有哪些重点难点？

人教版七年级上册数学知识点总结

总体框架： 整个学期的内容可以大致分为 “数” 和 “形” 两大块。

• “数”的部分： 从小学的算术数（自然数、分数、小数）扩展到有理数，并学习有理数的运算,这是整个中学数学的基础。
• “形”的部分： 从一维的直线图形过渡到二维的平面图形，学习最基本的几何图形——直线、射线、线段和角,以及它们的计算和关系。

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第一章 有理数

本章是整个初中数学的基石，核心是理解“负数”的引入,并掌握有理数的所有运算规则。

有理数的概念

1. 正数和负数

   • 定义： 大于0的数叫做 正数（positive number），在数字前加“+”号（通常省略），小于0的数叫做 负数（negative number），在数字前加“-”号。
   • 0的意义： 0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点，它具有丰富的意义，如“没有”、“基准”、“起点”等。
   • 应用： 用正负数表示具有相反意义的量，零上5℃记为+5℃，零下3℃记为-3℃；收入500元记为+500元，支出300元记为-300元。

2. 有理数

   • 定义： 整数和分数统称为 有理数。
   • 分类：
     • 按定义分：有理数 = { 整数 } ∪ { 分数 }
       • 整数：{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
       • 分数：{ 正分数, 负分数 } (如 1/2, -3/4, 0.5, -1.5)
     • 按符号分：有理数 = { 正有理数 } ∪ { 0 } ∪ { 负有理数 }

3. 数轴

   • 三要素： 原点、正方向、单位长度。
   • 作用：
     • 数形结合 的基础,可以直观地表示有理数。
     • 比较两个有理数的大小：在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
     • 定义相反数和绝对值。

4. 相反数

   
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   • 定义： 只有符号不同的两个数互为 相反数,0的相反数是0。
   • 几何意义： 在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离相等。
   • 求法： 在任意一个数前加负号即可得到它的相反数，a的相反数是-a。

5. 绝对值

   • 定义： 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的 绝对值。
   • 求法：
     • 一个正数的绝对值是它本身。
     • 一个负数的绝对值是它的相反数。
     • 0的绝对值是0。
   • 性质： 绝对值具有 非负性，即 |a| ≥ 0。

有理数的运算

1. 有理数的加法

   • 法则：
     • 同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加。
     • 异号两数相加，取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
     • 互为相反数的两个数相加得0。
     • 一个数同0相加,仍得这个数。
   • 运算律：
     • 加法交换律： a + b = b + a
     • 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)

2. 有理数的减法

   • 法则： 减去一个数，等于加上这个数的 相反数。
   • 公式： a - b = a + (-b)
   • 关键： 将减法统一转化为加法进行计算。

3. 有理数的乘法

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 法则：
     • 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘。
     • 任何数同0相乘,都得0。
     • 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时,积为正。
   • 运算律：
     • 乘法交换律： a × b = b × a
     • 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
     • 乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

4. 有理数的除法

   • 法则：
     • 两数相除，同号得正，异号得负,并把绝对值相除。
     • 0除以任何一个不为0的数,都得0。
     • 注意： 0不能作除数。
   • 化简分数： 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的 倒数。
   • 公式： a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)

5. 有理数的乘方

   • 定义： 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作 aⁿ，a叫做 底数，n叫做 指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。
   • 符号法则：
     • 正数的任何次幂都是正数。
     • 负数的 奇数次幂 是负数，偶数次幂 是正数。
     • 0的任何正整数次幂都是0。

6. 混合运算

   • 运算顺序（“先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右；有括号，先算括号里面的”）
   • 括号优先级： 先算小括号 内的，再算中括号 [ ] 内的，最后算大括号 内的。

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第二章 整式的加减

本章是“数”到“式”的过渡，是代数的基础，核心是理解用字母表示数的意义,并掌握整式的加减运算。

整式

1. 用字母表示数

   • 意义： 用字母可以表示任意数、公式、规律等，具有 普遍性 和 简明性。

2. 单项式

   • 定义： 由数与字母的 乘积 组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
   • 系数： 单项式中的数字因数。
   • 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
   • 注意： π 是常数,不是字母。

3. 多项式

   • 定义： 几个单项式的 和 叫做多项式。
   • 项： 多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 常数项。
   • 次数： 多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
   • 升幂排列与降幂排列： 按某个字母的指数从大到小或从小到大重新排列多项式的各项。

4. 整式

   • 定义： 单项式和多项式统称为 整式。

整式的加减

1. 同类项

   • 定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项。
   • 注意： 几个常数项也是同类项。

2. 合并同类项

   • 法则： 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母