八年级下册二次根式试卷考点有哪些？

校园之窗 2025年12月16日 21:10:24 99ANYc3cd6 1 0

八年级数学下册《二次根式》单元测试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分 班级： ____ 姓名： ____ 分数： ____

下列式子中，是二次根式的是（） A. $ \sqrt{-5} $
B. $ \sqrt[3]{x} $
C. $ \sqrt{x^2+1} $
D. $ \sqrt{x} $ (x<0)
（图片来源网络，侵删）
在实数范围内，$ \sqrt{x-2} $ 有意义，则x的取值范围是（） A. $ x \ge 2 $
B. $ x > 2 $
C. $ x \le 2 $
D. $ x < 2 $
下列计算正确的是（） A. $ \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5} $
B. $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
C. $ 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} $
D. $ \sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3} $
下列各数中，最小的是（） A. $ \sqrt{5} $
B. $ \pi $
C. $ 2.5 $
D. $ \sqrt{8} $
把 $ \sqrt{\frac{1}{2}} $ 化简，结果是（） A. $ \frac{1}{2} $
B. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C. $ \sqrt{2} $
D. $ 2\sqrt{2} $
（图片来源网络，侵删）
计算 $ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) $ 的结果是（） A. 1
B. $ 4-\sqrt{3} $
C. $ 4+\sqrt{3} $
D. $ 4-3\sqrt{3} $
若 $ \sqrt{(x-3)^2} = 3-x $，则x的取值范围是（） A. $ x \ge 3 $
B. $ x \le 3 $
C. $ x > 3 $
D. $ x < 3 $
一个长方形的面积为 $ \sqrt{12} $ cm²，其中一边长为 $ \sqrt{3} $ cm，则另一边长为（） A. $ 2\sqrt{3} $ cm
B. $ 4 $ cm
C. $ \sqrt{2} $ cm
D. $ 2\sqrt{2} $ cm

要使式子 $ \sqrt{3-x} $ 在实数范围内有意义，x的取值范围是 ____。
（图片来源网络，侵删）
比较大小：$ 3\sqrt{2} \quad ______ \quad 2\sqrt{5} $（填“>”、“<”或“=”）。
化简：$ \sqrt{18} = \underline{\quad\quad} $，$ \sqrt{(-4)^2} = \underline{\quad\quad} $。
计算：$ \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \underline{\quad\quad} $，$ \sqrt{12} \div \sqrt{3} = \underline{\quad\quad} $。
已知 $ x \ge 0 $，化简 $ \sqrt{16x^2} = \underline{\quad\quad} $。
在数轴上，与点 $ \sqrt{5} $ 最近的整数点是 ____。
计算：$ (2\sqrt{3})^2 = \underline{\quad\quad} $。
若 $ a+b=2\sqrt{3} $，$ ab=3 $，则 $ a^2 + b^2 = \underline{\quad\quad} $。

(10分) 已知 $ x=\sqrt{2}+1 $，$ y=\sqrt{2}-1 $，求下列各式的值： (1) $ x+y $ (2) $ xy $ (3) $ x^2 + y^2 $
(12分) 阅读下列材料，然后回答问题。 材料： 我们知道，$ \sqrt{2} $ 是一个无理数，它的小数部分可以表示为 $ \sqrt{2}-1 $，因为 $ 1 < \sqrt{2} < 2 $，$ \sqrt{2}-1 $ 是一个介于0和1之间的数。 问题： 已知 $ x=\sqrt{7}+2 $，$ x $ 的整数部分为a，小数部分为b。 (1) 求a的值； (2) 求 $ x-\frac{1}{x} $ 的值。

C (解析：A的被开方数为负数；B是三次根式；D的被开方数x<0，无意义，C中$x^2+1$恒为正，有意义。)
A (解析：被开方数必须非负，即 $x-2 \ge 0$，解得 $x \ge 2$。)
B (解析：A不是同类二次根式不能直接相加；C中 $2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 6 \times 3 = 18$；D中 $ \sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3} $ 是正确的，B中 $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} $ 是正确的。)
A (解析：$ \sqrt{5} \approx 2.236 $，$ \pi \approx 3.14 $，$ 2.5 $，$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 $，比较可知 $ \sqrt{5} $ 最小。)
B (解析：$ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $。)
A (解析：利用平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 $。)
B (解析：$ \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| $，根据题意 $ |x-3| = 3-x $，$ x-3 \le 0 $，解得 $ x \le 3 $。)
B (解析：另一边长 = 面积 ÷ 已知边长 = $ \sqrt{12} \div \sqrt{3} = \sqrt{12 \div 3} = \sqrt{4} = 2 $ cm。)

$ x \le 3 $ (解析：$ 3-x \ge 0 $，解得 $ x \le 3 $。)
< (解析：$ 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18} $，$ 2\sqrt{5} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{20} $，因为 $ 18 < 20 $，$ \sqrt{18} < \sqrt{20} $。)
$ 3\sqrt{2} $，4 (解析：$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} $；$ \sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4 $。)
$ 2\sqrt{3} $，2 (解析：$ \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $；$ \sqrt{12} \div \sqrt{3} = \sqrt{12 \div 3} = \sqrt{4} = 2 $。)
$ 4x $ (解析：$ \sqrt{16x^2} = \sqrt{(4x)^2} = |4x| $，因为 $ x \ge 0 $，$ |4x| = 4x $。)
2 (解析：$ \sqrt{4} = 2 $，$ \sqrt{9} = 3 $，$ 2 < \sqrt{5} < 3 $。$ \sqrt{5} \approx 2.236 $，与整数点2的距离约为0.236，与3的距离约为0.764，所以与2最近。)
12 (解析：$ (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 $。)
6 (解析：$ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 3 = 4 \times 3 - 6 = 12 - 6 = 6 $。)

解： $ \sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{3} $ $ = \sqrt{9 \times 3} - \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{3} $ $ = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} $ $ = (3-2+1)\sqrt{3} $ $ = 2\sqrt{3} $
解： $ \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{2}) $ $ = \sqrt{2} \times \sqrt{8} - \sqrt{2} \times \sqrt{2} $ $ = \sqrt{16} - (\sqrt{2})^2 $ $ = 4 - 2 $ $ = 2 $
解： $ (3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}) \div \sqrt{2} $ $ = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $ $ = 3\sqrt{3} - 2 $
解： $ (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) $ $ = 2^2 - (\sqrt{5})^2 $ $ = 4 - 5 $ $ = -1 $
解： $ (1+\sqrt{2})^2 $ $ = 1^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 $ $ = 1 + 2\sqrt{2} + 2 $ $ = 3 + 2\sqrt{2} $
解： $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $ $ = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 $ $ = a - b $ 当 $ a=3 $，$ b=2 $ 时，原式 $ = 3 - 2 = 1 $。

解： (1) $ x+y = (\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2} $ (2) $ xy = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 $ (3) $ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{2})^2 - 2 \times 1 = 8 - 2 = 6 $
解： (1) 因为 $ \sqrt{4} = 2 $，$ \sqrt{9} = 3 $，$ 2 < \sqrt{7} < 3 $。两边同时加2，得 $ 4 < \sqrt{7}+2 < 5 $。 $ x=\sqrt{7}+2 $ 的整数部分 $ a=4 $，小数部分 $ b=x-a=\sqrt{7}+2-4=\sqrt{7}-2 $。 (2) 由(1)知 $ x = \sqrt{7}+2 $，则 $ \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7}+2} $。分母有理化：$ \frac{1}{\sqrt{7}+2} = \frac{\sqrt{7}-2}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)} = \frac{\sqrt{7}-2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{7}-2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}-2}{3} $。 $ x - \frac{1}{x} = (\sqrt{7}+2) - \frac{\sqrt{7}-2}{3} = \frac{3(\sqrt{7}+2) - (\sqrt{7}-2)}{3} = \frac{3\sqrt{7}+6-\sqrt{7}+2}{3} = \frac{2\sqrt{7}+8}{3} $。