九年级上册数学21.1节讲了什么核心内容？
校园之窗 2025年12月16日 13:10:41 99ANYc3cd6
1 一元二次方程
本节核心内容概览
- 理解一元二次方程的定义：知道什么样的方程是一元二次方程。
- 掌握一元二次方程的一般形式：能够将任何一元二次方程化为
ax² + bx + c = 0(a≠0) 的形式，并准确识别各项系数a,b,c。 - 根据实际问题列一元二次方程：能将简单的实际问题抽象为数学模型,列出相应的一元二次方程。
知识点详解
一元二次方程的定义
我们先来看一个引例：
问题： 有一块面积为 9 m² 的长方形铁皮，它的长比宽多 1 m,这块铁皮的长和宽各是多少？
分析：
- 设铁皮的宽为
xm。 - 根据题意，长为
(x + 1)m。 - 根据长方形的面积公式
长 × 宽 = 面积，我们可以列出方程：x(x + 1) = 9
整理这个方程：
x² + x = 9
x² + x - 9 = 0
这个方程 x² + x - 9 = 0 就是我们今天要学习的新方程——一元二次方程。
定义： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
定义剖析：
- 一元：方程中只含有一个未知数。
x² - 3 = 0是一元二次方程，而x² + y = 0不是。 - 二次：含有未知数的项的最高次数是 2。
x² - 2x = 0是，而x³ - 2 = 0不是。 - 整式方程：方程是整式，即方程中不含有分母里含有未知数的项。
x² + 1/x = 0不是整式方程,因此也不是一元二次方程。
注意：像 (x-1)(x+2) = 0 和 x(x-3) = 4 这样的方程，虽然看起来不是“二次”的形式，但通过展开整理后，它们都会变成 x² + x - 2 = 0 和 x² - 3x - 4 = 0 的形式,所以它们也是一元二次方程。
一元二次方程的一般形式
任何一个一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项）,都可以化成如下形式：
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
这个形式被称为一元二次方程的一般形式（或标准形式）。
ax²：称为二次项，a是二次项的系数。bx：称为一次项，b是一次项的系数。c：称为常数项。
特别强调：
a不能为 0。a = 0，ax²这一项就消失了，方程就变成了bx + c = 0，这是一元一次方程，不再是二次方程了,这是判断一个方程是否为一元二次方程的重要依据。b和c可以为 0。
如何将一元二次方程化为一般形式并确定系数？
步骤：
- 去括号：使用乘法分配律展开括号。
- 移项：将所有项移到方程的左边，右边化为 0。
- 合并同类项：将左边的同类项进行合并。
- 整理：按
ax² + bx + c = 0的顺序书写。 - 确定系数：找出
a,b,c的值。注意：系数包含它前面的符号！
【典型例题】
例1： 将方程 (2x - 1)(x + 3) = 4x 化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：
- 去括号：
2x · x + 2x · 3 - 1 · x - 1 · 3 = 4x2x² + 6x - x - 3 = 4x - 合并同类项：
2x² + 5x - 3 = 4x - 移项（将右边的
4x移到左边）：2x² + 5x - 4x - 3 = 0 - 再次合并同类项：
2x² + x - 3 = 0 - 确定系数：
- 二次项系数
a = 2 - 一次项系数
b = 1 - 常数项
c = -3
- 二次项系数
【易错点提醒】
- 系数不能漏掉符号：在方程
3x² - 5x + 2 = 0中，b = -5，而不是5，在方程-x² + 4 = 0中，a = -1，b = 0，c = 4。 - 项的顺序不影响系数：方程
x² - 2x + 1 = 0和-2x + x² + 1 = 0是同一个方程的一般形式，它们的a=1, b=-2, c=1。
根据实际问题列一元二次方程
这是数学建模的初步应用,关键在于：
- 审清题意：理解题目中的数量关系。
- 设未知数：选择一个合适的未知数
x。 - 找等量关系：寻找题目中隐含的等量关系（如面积、周长、勾股定理、增长率等）。
- 列方程：用含
x的代数式表示相关的量,根据等量关系列出方程。
【典型例题】
例2： 某农场要建一个面积为 150 m² 的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另外三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为 35 m,养鸡场的长和宽各是多少？
分析：
- 设未知数：设垂直于墙的一边为
xm，那么平行于墙的一边为(35 - 2x)m。 - 找等量关系：养鸡场的面积 = 长 × 宽 = 150 m²。
- 列方程：
x · (35 - 2x) = 150
整理为一般形式：
35x - 2x² = 150
-2x² + 35x - 150 = 0
为了方便，通常将二次项系数化为正数，两边同时乘以 -1：
2x² - 35x + 150 = 0
这个方程就是根据实际问题列出的一元二次方程。
总结与反思
- 核心概念：一元二次方程的定义是基石，必须牢牢抓住“一元”、“二次”、“整式”这三个关键词。
- 核心技能：将任意形式的一元二次方程化为一般形式，并准确识别
a,b,c，是后续学习（如公式法、因式分解法）的基础,必须熟练掌握。 - 思想方法：从实际问题中抽象出数学模型（列方程），体现了数学的建模思想,是解决实际问题的有力工具。
希望这份详细的梳理能帮助你彻底掌握 21.1 的内容！如果还有任何疑问,随时可以提问。
