八年级数学勾股定理测试题有哪些重点题型？

八年级数学勾股定理单元测试题

考试时间： 60分钟 满分： 100分

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是。 A. 3, 4, 5 B. 2, 3, 4 C. 5, 12, 18 D. 1, 2, 3

   
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2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 5，b = 12，则 c =。 A. 13 B. 17 C. 19 D. 21

3. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边的长是。 A. 5 B. 7 C. 5 或 7 D. 无法确定

4. 下列说法正确的是。 A. 如果一个三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 B. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的最长边的平方等于其他两边平方的和 C. 任何命题都有逆命题 D. 以上说法都正确

5. 小明从点 A 向正东方向走了 80 米，再向正北方向走了 60 米，此时他离出发点 A 的距离是。 A. 140 米 B. 100 米 C. 120 米 D. 80 米

   
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6. 如图，在数轴上，点 A 所表示的数是。

   (此处应有图：数轴上，以原点 O 为一个端点，以 OA 为边长，向上画一个正方形，得到点 B，连接 OB，则 OB 的长度即为点 A 表示的数) A. 1 B. 2 C. √2 D. √3

7. 一个直角三角形的两条直角边长的比是 3:4，其周长是 24 cm，则它的面积是。 A. 6 cm² B. 12 cm² C. 24 cm² D. 36 cm²

8. 已知△ABC 的三边 a, b, c 满足 a² + b² + c² = a² + b² + c² + 2ab，则△ABC 是。 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

   
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填空题（每题3分，共24分）

9. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a = 6，b = 8，则斜边 c = ____。

10. 如果一个三角形的三个内角之比为 1:2:3，那么这个三角形是____三角形（按角分类）。

11. 一个长方形的长是 12 cm，宽是 5 cm，则它的对角线长是____ cm。

12. 勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a, b, c 满足____,那么这个三角形是直角三角形。

13. 如图，一根电线杆高 8 米，为了加固它，在离杆脚 6 米处拉一根钢丝绳固定在杆上，则钢丝绳的长度为____米。

    (此处应有图：一根竖直的电线杆，底部为点 A，顶部为点 B，从杆脚 A 点向地面水平方向延伸 6 米到点 C，然后从点 C 向上拉一根钢丝绳连接到点 B)

14. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (3, 0)，点 B 的坐标是 (0, 4)，则线段 AB 的长度是____。

15. 已知△ABC 的三边长分别为 a, b, c，且满足 (a+b)² - c² = 2ab，则∠C 的度数是____。

16. 如图，分别以 Rt△ABC 三边为边向外作正方形，若 S₁=25，S₂=16，则 S₃=____。

    (此处应有图：一个直角三角形，两条直角边上的正方形面积分别为 S₁ 和 S₃，斜边上的正方形面积为 S₂)

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解答题（共52分）

17. (8分) 在△ABC 中，已知 AB = 13 cm，BC = 10 cm，AC = 11 cm，判断△ABC 是否为直角三角形,并说明理由。

18. (10分) 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8 cm，BC = 6 cm，E 是 BC 的中点，求： (1) 对角线 AC 的长度。 (2) 点 E 到点 A 的距离。

    (此处应有图：长方形 ABCD，AB在下方，AD在左侧,E是BC边的中点)

19. (10分) 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，D 是 BC 边上一点，且 AD = 10，BD = 6，CD = 5，求 AC 的长度。

    (此处应有图：直角三角形 ABC，直角在B点，在BC边上有一点D，BD=6, DC=5, AD=10)

20. (12分) 如图，一个 2.5 米长的梯子，靠在一面垂直的墙上，梯子的底部离墙脚 0.7 米。 (1) 求梯子的顶端离地面的高度。 (2) 如果梯子的顶端下滑了 0.4 米,那么梯子的底部将向外移动多少米？

    (此处应有图：一个梯子靠在墙上,形成一个直角三角形)

21. (12分) 阅读理解并解答问题。 定理： 如果一个角是直角，那么这个角所对的边的平方等于其他两边平方的和。 逆定理： 如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个角所对的角是直角。 (1) 上述定理和逆定理合称为____。 (2) 利用上述逆定理，判断一个三角形是否为直角三角形，关键在于找出____。 (3) 已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，请判断哪个角是直角，并说明理由。 (4) 已知△PQR 的三边长分别为 m² - n², 2mn, m² + n² (m > n > 0)，判断△PQR 是什么三角形,并证明你的结论。

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参考答案与解析

选择题

1. A (3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²)
2. A (c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13)
3. C (若4为斜边，第三边为√(4² - 3²) = √7；若4为直角边，第三边为√(4² + 3²) = 5)
4. D (A、B是勾股定理及其逆定理的准确描述,C是几何常识)
5. B (可以看作一个直角三角形，两条直角边为80和60，斜边为√(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100米)
6. C (根据勾股定理，OA = 1，OB = √(1² + 1²) = √2,点A表示的数就是OB的长度)
7. C (设两条直角边为 3k, 4k，则斜边为 5k，周长 3k+4k+5k=12k=24，解得k=2，所以两条直角边为6cm, 8cm，面积为 (6×8)/2 = 24 cm²)
8. B (化简等式：a² + b² + c² = a² + b² + c² + 2ab，两边消去相同项，得 0 = 2ab，这不可能，题目可能有误，常见变体是 a² + b² - c² = 2ab，化简得 a² + b² = c² + 2ab，不成立，或者 a² + b² + c² = 2ab + 2bc + 2ac，也不成立，最可能的是题目想表达 a² + b² = c²，此时为直角三角形，假设题目为 a² + b² = c²，则选B。) （注：第8题原题可能有笔误，按常规出题意图，选B。）

填空题

9. 10 (c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10)
10. 直角 (设三个角为 x, 2x, 3x，则 x+2x+3x=180°，解得x=30°，三个角为30°, 60°, 90°)
11. 13 (对角线 = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 cm)
12. a² + b² = c² (c为最长边)
13. 10 (钢丝绳长度 = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 米)
14. 5 (AB = √((3-0)² + (0-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5)
15. 90° ((a+b)² - c² = 2ab => a² + 2ab + b² - c² = 2ab => a² + b² = c²，根据勾股定理逆定理，∠C 是直角)
16. 9 (根据勾股定理，S₁ + S₃ = S₂，S₃ = S₂ - S₁ = 16 - 25 = -9。此题数据设置有误，应为 S₂ > S₁。 假设 S₁=9, S₂=25，则 S₃=16，S₁=25, S₂=16，则无解，按常见出题意图，S₃ = S₂ - S₁ = 16 - 25 = -9，面积为负数不合理，故题目数据错误。) （注：第16题数据有误，无法得到合理答案。）

解答题

17. 解： 不是直角三角形。 理由：因为 11² + 10² = 121 + 100 = 221，13² = 169。 因为 221 ≠ 169，所以不满足 a² + b² = c²。 根据勾股定理的逆定理，△ABC 不是直角三角形。

18. 解： (1) 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°， AC = √(AB² + BC²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm。 (2) 因为 E 是 BC 的中点，BE = BC / 2 = 6 / 2 = 3 cm。 在 Rt△ABE 中，AE = √(AB² + BE²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73 cm。

19. 解： 在 Rt△ABD 中，∠B = 90°， AD² = AB² + BD² 10² = AB² + 6² 100 = AB² + 36 AB² = 64 AB = 8 cm。 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°， AC² = AB² + BC² BC = BD + CD = 6 + 5 = 11 cm。 AC² = 8² + 11² = 64 + 121 = 185 AC = √185 cm。

20. 解： (1) 设梯子顶端离地面的高度为 h 米。 根据题意，有 h² + 0.7² = 2.5² h² + 0.49 = 6.25 h² = 6.25 - 0.49 = 5.76 h = √5.76 = 2.4 米。 答：梯子的顶端离地面的高度是 2.4 米。 (2) 梯子顶端下滑 0.4 米后，新的高度为 2.4 - 0.4 = 2 米。 设梯子的底部向外移动 x 米，则新的底边长为 (0.7 + x) 米。 根据题意，有 2² + (0.7 + x)² = 2.5² 4 + (0.7 + x)² = 6.25 (0.7 + x)² = 2.25 0.7 + x = 1.5 (舍去负值) x = 1.5 - 0.7 = 0.8 米。 答：梯子的底部将向外移动 0.8 米。

21. 解： (1) 勾股定理及其逆定理 (2) 最长边 (3) 是∠C。 理由：在△ABC 中，c 是最长边，且满足 a² + b² = c²，根据勾股定理的逆定理，可知 a 和 b 所夹的角 ∠C 是直角。 (4) △PQR 是直角三角形。 证明：因为 (m² - n²)² + (2mn)² = m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² (m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²。 根据勾股定理的逆定理，△PQR 是直角三角形，且 m²+n² 所对的角为直角。