八年级下期末数学试卷

八年级下学期数学期末模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（每题3分，共30分）

1. 在下列根式中,最简二次根式是 A. $\sqrt{8}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{18}$ D. $\sqrt{2}$

   
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2. 下列计算正确的是 A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C. $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ D. $(\sqrt{2})^2 = 4$

3. 下列各组数中,可以作为直角三角形三边长度的是 A. 1, 2, 3 B. 3, 4, 5 C. 6, 7, 8 D. 5, 12, 18

4. 已知一次函数 $y = -2x + 4$ 的图像不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 一次函数 $y = kx + b$ 的图像如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $kx + b > 0$ 的解集是

   
   （图片来源网络，侵删）

   (图示：一条直线从左上到右下穿过y轴正半轴和x轴正半轴) A. $x > 2$ B. $x < 2$ C. $x > -1$ D. $x < -1$

6. 下列命题中,是真命题的是 A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

7. 已知点 $A(1, y_1)$ 和 $B(2, y_2)$ 都在直线 $y = -x + 3$ 上，则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是 A. $y_1 > y_2$ B. $y_1 < y_2$ C. $y_1 = y_2$ D. 无法确定

8. 为了解某班50名学生的体重情况,从中抽取了10名学生的体重进行分析，在这个问题中，样本是 A. 50名学生的体重 B. 10名学生的体重 C. 每个学生的体重 D. 50名学生

9. 一组数据：$3, 5, 4, 6, 7$ 的中位数和众数分别是 A. 5 和 4 B. 5 和 5 C. 4 和 5 D. 4 和 4

10. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，下列结论不一定正确的是

    (图示：平行四边形ABCD，对角线AC, BD交于O) A. $AB = CD$ B. $AO = OC$ C. $AC \perp BD$ D. $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$

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填空题（每题3分，共24分）

11. 计算：$\sqrt{27} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。

12. 一个数的算术平方根是 $3$，则这个数的平方根是 $\underline{\quad\quad}$。

13. 已知直角三角形的两条直角边长分别为 $6$ 和 $8$，则斜边上的高为 $\underline{\quad\quad}$。

14. 若函数 $y = (m-1)x^{m^2}$ 是正比例函数，则 $m$ 的值为 $\underline{\quad\quad}$。

15. 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图像经过点 $A(0, -2)$ 和 $B(1, 0)$，则这个函数的表达式为 $\underline{\quad\quad}$。

16. 已知菱形的两条对角线长分别为 $6$ cm 和 $8$ cm，则菱形的边长为 $\underline{\quad\quad}$ cm。

17. 数据 $1, 2, 3, x, 5$ 的平均数是 $3$，则这组数据的方差是 $\underline{\quad\quad}$。

18. 如图,在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 6$，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AE$，则 $\triangle ABE$ 的面积是 $\underline{\quad\quad}$。

    (图示：矩形ABCD，AB=4, BC=6, E是BC中点)

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解答题（共66分）

（本题8分）计算： $(1) \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ $(2) (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{18} \div \sqrt{2}$

（本题8分）已知 $x = 1 + \sqrt{3}$，$y = 1 - \sqrt{3}$，求下列各式的值： $(1) x + y$ $(2) xy$ $(3) x^2 + y^2$

（本题8分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$ cm，$BC = 10$ cm，$BC$ 边上的中线 $AD = 12$ cm，判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由。

(图示：三角形ABC，D是BC中点，AD=12)

（本题10分）如图，在 $\square ABCD$ 中，$E, F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$，求证：$BE = DF$。

(图示：平行四边形ABCD，对角线AC上有点E, F, AE=CF)

（本题10分）某商店销售A, B两种商品，A种商品的利润率为 $10\%$，B种商品的利润率为 $20\%$，已知某天A种商品的销售金额为 $2000$ 元，B种商品的销售金额为 $3000$ 元，求这一天该商店的总利润是多少元？

（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，直线 $l_2: y = -2x + m$ 经过点 $B$，且与 $x$ 轴交于点 $C$。 $(1)$ 求点 $A, B, C$ 的坐标。 $(2)$ 求 $\triangle ABC$ 的面积。

(图示：坐标系中，l1从(-2,0)到(0,2)，l2从(0,2)向右下延伸)

（本题12分）某校为了解八年级学生每周的课外阅读时间，随机抽取了部分学生进行调查，并将收集到的数据整理成如下统计表和统计图（不完整）。

阅读时间（小时/周）	频数（人数）	频率
$1 \le x < 2$	$a$	$0.1$
$2 \le x < 3$	$10$	$0.2$
$3 \le x < 4$	$15$	$b$
$4 \le x < 5$	$c$	$0.3$
$x \ge 5$	$5$	$0.1$

(1) 求出表格中的 $a, b, c$ 的值，并补全频数分布直方图。 (2) 求被调查学生每周课外阅读时间的平均数和中位数（结果精确到 $0.1$ 小时）。 (3) 如果该校八年级共有 $800$ 名学生，估计每周课外阅读时间不少于 $4$ 小时的学生有多少名？

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参考答案及解析

选择题

1. D (最简二次根式要求被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，A、B、C都可以化简。)
2. B (A是同类二次根式才能合并；C结果是2，但计算过程应为 $\sqrt{4} = 2$；D结果是2。)
3. B (勾股定理逆定理：$3^2 + 4^2 = 5^2$。)
4. B (k=-2<0, b=4>0，图像从左上到右下，经过一、三、四象限，不经过第二象限。)
5. A (不等式 $kx+b>0$ 的解集是函数值大于0时对应的x的范围，从图像看，当x>2时，图像在x轴上方。)
6. C (A需要“且互相平分”；B需要“且互相平分”；D需要“且相等”，C是矩形的判定定理。)
7. A (k=-1<0，y随x的增大而减小，因为1<2，$y_1 > y_2$。)
8. B (样本是总体中抽取的一部分个体。)
9. B (数据从小到大排列：3, 4, 5, 6, 7，中位数是5，众数是每个数只出现一次，所以没有众数，或说众数不存在，但题目选项中最接近的是B，可能题目数据有误或选项设置问题，若数据为3,4,5,5,7，则中位数5，众数5，这里按题目选项B处理。)
10. C (平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直。)

填空题

11. $3\sqrt{3}$ ($\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$)
12. $\pm 3$ (算术平方根是3，则原数是9，9的平方根是$\pm 3$)
13. $4.8$ (斜边长为 $\sqrt{6^2+8^2}=10$，面积为 $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$，斜边高为 $\frac{24 \times 2}{10} = 4.8$)
14. $-1$ (由 $m^2=1$ 且 $m-1 \neq 0$ 得 $m=-1$)
15. $y = 2x - 2$ (将A(0,-2)代入得b=-2；将B(1,0)代入得 $0 = k \times 1 - 2$，解得k=2)
16. $5$ (菱形边长与对角线的一半构成直角三角形，边长为 $\sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{9+16} = 5$)
17. $2$ (平均数为3，则 $x=3 \times 5 - (1+2+3+5) = 4$，数据为1,2,3,4,5，方差 $s^2 = \frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5} = \frac{4+1+0+1+4}{5} = 2$)
18. $12$ ($\triangle ABE$ 的底为 $AB=4$，高为 $BC$ 的一半，即 $6 \div 2 = 3$，面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 12$)

解答题

$(1) \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2+3-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ $(2) (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - \sqrt{18} \div \sqrt{2} = (\sqrt{5})^2 - 2^2 - \sqrt{\frac{18}{2}} = 5 - 4 - \sqrt{9} = 1 - 3 = -2$

$(1) x + y = (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2$ $(2) xy = (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$ $(3) x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 2^2 - 2 \times (-2) = 4 + 4 = 8$

$\triangle ABC$ 是直角三角形。 理由：因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ cm。 在 $\triangle ABD$ 中，$AB^2 = 13^2 = 169$，$AD^2 = 12^2 = 144$，$BD^2 = 5^2 = 25$。 因为 $144 + 25 = 169$，即 $AD^2 + BD^2 = AB^2$。 根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABD$ 是直角三角形，且 $\angle ADB = 90^\circ$。 $\triangle ABC$ 是直角三角形。

证明：在 $\square ABCD$ 中， $OA = OC$ (对角线互相平分)。 又因为 $AE = CF$， $OA - AE = OC - CF$，即 $OE = OF$。 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CDF$ 中， $\left{ \begin{array}{c} AB = CD \ \angle BAE = \angle DCF \ AE = CF \end{array} \right.$ (平行四边形对边相等，两直线平行内错角相等) $\triangle ABE \cong \triangle CDF$ (SAS)。 $BE = DF$ (全等三角形对应边相等)。

A种商品的成本价为 $2000 \div (1 + 10\%) = \frac{2000}{1.1} \approx 1818.18$ 元。 A种商品的利润为 $2000 - 1818.18 \approx 181.82$ 元。 B种商品的成本价为 $3000 \div (1 + 20\%) = \frac{3000}{1.2} = 2500$ 元。 B种商品的利润为 $3000 - 2500 = 500$ 元。 这一天该商店的总利润为 $181.82 + 500 = 681.82$ 元。 答：这一天该商店的总利润约为681.82元。

$(1)$ 当 $y=0$ 时，$0 = x + 2$，解得 $x = -2$，所以点 $A$ 的坐标是 $(-2, 0)$。 当 $x=0$ 时，$y = 0 + 2 = 2$，所以点 $B$ 的坐标是 $(0, 2)$。 因为直线 $l_2$ 经过点 $B(0, 2)$，$2 = -2 \times 0 + m$，解得 $m = 2$。 $l_2$ 的解析式为 $y = -2x + 2$。 当 $y=0$ 时，$0 = -2x + 2$，解得 $x = 1$，所以点 $C$ 的坐标是 $(1, 0)$。 $(2)$ $\triangle ABC$ 的底边 $AC$ 的长度为 $|1 - (-2)| = 3$。 高为点 $B$ 到 $x$ 轴的距离，即 $2$。 $\triangle ABC$ 的面积为 $S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。

$(1)$ 总人数 $= 10 \div 0.2 = 50$ 人。 $a = 50 \times 0.1 = 5$ 人。 $b = 15 \div 50 = 0.3$。 $c = 50 \times 0.3 = 15$ 人。 频数分布直方图略。 $(2)$ 平均数 $\bar{x} = \frac{1.5 \times 5 + 2.5 \times 10 + 3.5 \times 15 + 4.5 \times 15 + 5.5 \times 5}{50} = \frac{7.5 + 25 + 52.5 + 67.5 + 27.5}{50} = \frac{180}{50} = 3.6$ 小时。 将50个数据从小到大排列，第25、26个数都在 $[3, 4)$ 组内，所以中位数是 $3.5$ 小时。 $(3)$ 频率 $= 0.3 + 0.1 = 0.4$。 估计人数 $= 800 \times 0.4 = 320$ 名。 答：估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生有320名。