七年级第一单元数学题怎么学？重点难点有哪些？
校园之窗 2026年1月29日 09:49:54 99ANYc3cd6
第一单元：有理数 - 核心知识梳理
有理数的概念
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定义：整数和分数统称为有理数。
- 整数：正整数、0、负整数。
- 分数：正分数、负分数。
- 注意：任何有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们也属于有理数。
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数轴：
（图片来源网络，侵删）- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 作用：
- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
- 数轴上的点,右边的数总比左边的数大。
- 可以直观地表示数的绝对值（一个点到原点的距离）。
-
相反数：
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
- 性质：
- 0的相反数是0。
- 在数轴上,表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
a的相反数是-a。
-
绝对值：
- 定义：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
- 表示方法：
|a| - 计算法则：
a > 0，|a| = aa = 0，|a| = 0a < 0，|a| = -a(注意：负数的绝对值是它的相反数，结果为正数)
- 性质：绝对值永远是非负数。
有理数的运算
-
有理数的加法：
- 法则：
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 例：
(+5) + (+3) = +8，(-5) + (-3) = -8
- 例：
- 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
- 例：
(+5) + (-3) = +2，(-5) + (+3) = -2
- 例：
- 互为相反数的两个数相加得0。
- 例：
(+5) + (-5) = 0
- 例：
- 一个数同0相加,仍得这个数。
- 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
- 运算律：
- 加法交换律：
a + b = b + a - 加法结合律：
(a + b) + c = a + (b + c)
- 加法交换律：
- 法则：
-
有理数的减法：
（图片来源网络，侵删）- 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 公式：
a - b = a + (-b) - 关键：先把减法转化为加法，再按加法法则计算。
- 例：
(-3) - (-5) = (-3) + (+5) = 2
- 例：
-
有理数的乘法：
- 法则：
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 例：
(-3) × (-4) = +12，(-3) × (+4) = -12
- 例：
- 任何数同0相乘,都得0。
- 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 运算律：
- 乘法交换律：
a × b = b × a - 乘法结合律：
(a × b) × c = a × (b × c) - 乘法分配律：
a × (b + c) = a × b + a × c(这个律非常重要！)
- 乘法交换律：
- 法则：
-
有理数的除法：
- 法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
- 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
a的倒数是1/a(a≠0)。 - 公式：
a ÷ b = a × (1/b)(b≠0) - 关键：先把除法转化为乘法，再按乘法法则计算。
- 例：
(-12) ÷ 4 = (-12) × (1/4) = -3 - 例：
(-18) ÷ (-3) = (-18) × (-1/3) = 6
- 例：
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乘方：
- 定义：求
n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，记作aⁿ。a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂。
- 法则：
- 正数的任何次幂都是正数。
- 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
- 0的任何正整数次幂都是0。
- 任何数的偶数次幂都是非负数。
- 1的任何次幂都是1。
(-1)的奇数次幂是-1，偶数次幂是1。
- 定义：求
-
有理数的混合运算：
（图片来源网络，侵删）- 运算顺序（规则）：
- 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
- 同级运算,按照从左到右的顺序进行。
- 如果有括号，先算小括号里的，再算中括号
[ ]里的，最后算大括号里的。 - 有时可以利用运算律简化运算。
- 运算顺序（规则）：
典型例题与练习
例题讲解
例题1：数轴与绝对值 在数轴上，点A表示的数是-5，点B表示的数是3，求A、B两点之间的距离，以及A、B两点到原点的距离之和。
- 解析：
- 距离：在数轴上，两点间的距离等于它们所表示的数的差的绝对值。
距离 = |3 - (-5)| = |8| = 8 - 到原点的距离：一个数到原点的距离就是它的绝对值。
点A到原点的距离：
|-5| = 5点B到原点的距离：|3| = 3距离之和：5 + 3 = 8
- 距离：在数轴上，两点间的距离等于它们所表示的数的差的绝对值。
- 答案：A、B两点之间的距离是8，它们到原点的距离之和也是8。
例题2：有理数混合运算
计算：(-2)² - | -3 | × (1/3) + (-8) ÷ (-2)
- 解析：严格按照运算顺序进行。
- 算乘方：
(-2)² = 4 - 算乘除：
| -3 | × (1/3) = 3 × (1/3) = 1，(-8) ÷ (-2) = 4 - 算加减：
4 - 1 + 4 = 7
- 算乘方：
- 答案：
7
例题3：巧用运算律
计算：(-1/4) × (-12 + 8 - 20)
- 解析：
- 方法一（先算括号内）：
(-1/4) × (-24) = 6 - 方法二（使用分配律，更简便）：
(-1/4) × (-12) + (-1/4) × 8 + (-1/4) × (-20)= 3 - 2 + 5= 6
- 方法一（先算括号内）：
- 答案：
6(方法二在数字复杂时更高效)
练习题
填空题
- 比-5大3的数是 ____。
- -8的相反数是 ____，绝对值是 ____。
- 在数轴上,-2在-5的 ____ (填“左”或“右”)边。
- 计算：
(-3) + 5 = ________，(-3) - 5 = ________。 - 计算：
(-2)³ = ________，(-2)⁴ = ________。 - 绝对值小于5的所有整数有：____。
选择题
-
下列说法正确的是 A. 正数和负数统称为有理数 B. 0是最小的有理数 C. 0没有相反数 D. 整数和分数统称为有理数
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如果两个数的和为0,那么这两个数 A. 都是正数 B. 都是负数 C. 互为相反数 D. 一个为正，一个为负
-
计算
(-2) × 3 × (-5)的结果是 A. -30 B. -10 C. 10 D. 30 -
下列运算中,结果为负数的是 A.
(-2) + (-3)B.(-2) × (-3)C.(-2)²D.(-2)⁰
计算题
(-15) + (-23) - (+7) + (-5)(-12) × (1/3) ÷ (-2)(-3)² - 6 × (-1/3) + | -4 |(-1/2) × [ 4 - (-8) × (-1/2) ]
练习题答案
填空题
- -2
- 8, 8
- 右
- 2, -8
- -8, 16
- -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
选择题
- D
- C
- D
- A
计算题
-
(-15) + (-23) - (+7) + (-5)= -15 - 23 - 7 - 5= -38 - 7 - 5= -45 - 5= -50 -
(-12) × (1/3) ÷ (-2)= -4 ÷ (-2)= 2 -
(-3)² - 6 × (-1/3) + | -4 |= 9 - (-2) + 4= 9 + 2 + 4= 15 -
(-1/2) × [ 4 - (-8) × (-1/2) ]= (-1/2) × [ 4 - 4 ](先算小括号，再算中括号)= (-1/2) × [ 0 ]= 0
希望这份详细的总结和练习对你有帮助！学习有理数，关键在于理解概念和多加练习，特别是混合运算的顺序一定要牢记，祝你学习进步！
