九年级因式分解练习题有哪些常见题型？

九年级因式分解综合练习题

班级：____ 姓名：____ 分数：____

填空题 (每空2分，共20分)

1. 因式分解：$ma^2 - mb^2 = \underline{\quad}$。
2. 因式分解：$x^2 - 4x + 4 = \underline{\quad}$。
3. 因式分解：$9x^2 - 6x + 1 = \underline{\quad}$。
4. 因式分解：$a^2b - 4ab = \underline{\quad}$。
5. 因式分解：$x^2 - 5x - 14 = \underline{\quad}$。
6. 因式分解：$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 = \underline{\quad}$。
7. 因式分解：$x^4 - 16 = \underline{\quad}$。
8. 已知 $x + y = 5$，$xy = 6$，则 $x^2 + y^2 = \underline{\quad}$。
9. 若 $x^2 + kx + 9$ 是一个完全平方式，则常数 $k$ 的值为 $\underline{\quad}$。
10. 已知 $a-b=3$，$ab=2$，则 $a^3b - ab^3$ 的值为 $\underline{\quad}$。

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选择题 (每题3分，共15分)

1. 下列从左边到右边的变形中,是因式分解的是 ( ) A. $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$ B. $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ C. $a^2b - ab = a^2(b - \frac{b}{a})$ D. $x^2 - 4 + 3x = (x+2)(x-2) + 3x$

2. 多项式 $4x^2 - 1$ 的因式分解结果是 ( ) A. $(4x-1)(4x+1)$ B. $(2x-1)(2x+1)$ C. $(2x-1)^2$ D. $(4x-1)^2$

3. 下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 ( ) A. $x^2 + y^2$ B. $-x^2 - y^2$ C. $-x^2 + 4y^2$ D. $x^2 + 2xy + y^2$

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 若 $x^2 + mx - 6 = (x+3)(x+n)$，则 $m$ 的值为 ( ) A. -3 B. 3 C. -1 D. 1

5. 把 $x^2 - y^2 + 2y - 1$ 分解因式，结果是 ( ) A. $(x+y-1)(x-y-1)$ B. $(x+y+1)(x-y-1)$ C. $(x+y-1)(x-y+1)$ D. $(x+y+1)(x-y+1)$

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把下列各式分解因式 (每题5分，共40分)

1. $-4x^2y + 6xy^2$
2. $3a(x-y) - 6b(y-x)$
3. $a^3 - 4a$
4. $25(a+b)^2 - 16(a-b)^2$
5. $x^2 - 6x + 8$
6. $x^2 - 4xy + 4y^2 - 9$
7. $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 16$
8. $a^4 - 8a^2 + 16$

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解答题 (共25分)

1. (10分) 先化简，再求值： $(a^2 - b^2)(a^2 + 2ab + b^2) \div (a^3 - ab^2)$，$a=2$, $b=1$。

2. (15分) 已知 $x, y$ 满足 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$，求 $(x+y)^{2025}$ 的值。

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参考答案与解析

填空题

1. $m(a^2 - b^2)$
   • 解析：直接提取公因式 $m$。
2. $(x-2)^2$
   • 解析：符合完全平方公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，$a=x$, $b=2$。
3. $(3x-1)^2$
   • 解析：符合完全平方公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，$a=3x$, $b=1$。
4. $ab(a-4)$
   • 解析：先提取公因式 $ab$。
5. $(x-7)(x+2)$
   • 解析：十字相乘法，寻找两个数，乘积为 -14，和为 -5，这两个数是 -7 和 +2。
6. $3a(x-y)^2$
   • 解析：先提取公因式 $3a$，得到 $3a(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内是完全平方式。
7. $(x^2+4)(x+2)(x-2)$
   • 解析：先用平方差公式，$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2+4)(x^2-4)$，然后对 $x^2-4$ 再次使用平方差公式。
8. 13
   • 解析：利用完全平方公式的变形。$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$。
9. $\pm 6$
   • 解析：完全平方式 $a^2 \pm 2ab + b^2$ 的中间项系数是 $\pm 2ab$，这里 $a=x$, $b=3$，$k = \pm 2 \times x \times 3 = \pm 6x$，因为 $k$ 是常数，$k=\pm 6$。
10. 18
    • 解析：先提取公因式 $ab$，得到 $ab(a^2 - b^2)$，然后对 $a^2-b^2$ 使用平方差公式，得到 $ab(a+b)(a-b)$，将已知条件代入：$2 \times (a+b) \times 3 = 6(a+b)$，要求 $a+b$，可以利用 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = (a-b)^2 + 4ab = 3^2 + 4 \times 2 = 9+8=17$。$a+b=\pm\sqrt{17}$，代入计算 $6 \times (\pm\sqrt{17})$，这显然不对，让我们重新审视公式：$a^3b - ab^3 = ab(a^2-b^2) = ab(a+b)(a-b)$，我们已知 $a-b=3$ 和 $ab=2$，还差 $a+b$。$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 3^2 + 4 \times 2 = 9+8=17$。$a+b = \pm\sqrt{17}$，所以原式 $= 2 \times (\pm\sqrt{17}) \times 3 = \pm 6\sqrt{17}$。（题目可能存在设计瑕疵，通常此类题会设计成整数结果，如果题目为 $a^3b + ab^3$，则 $ab(a^2+b^2) = 2 \times 17 = 34$，如果为 $a^3b - ab^3$，则答案为 $\pm 6\sqrt{17}$，这里按最严谨的数学推导给出答案。）
    • 修正：在初中阶段，通常会设计成整数结果，我们再检查一次。$a^3b - ab^3 = ab(a^2-b^2) = ab(a+b)(a-b)$，已知 $a-b=3$, $ab=2$，求 $(a+b)$。$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 3^2 + 4 \times 2 = 9 + 8 = 17$。$a+b = \pm\sqrt{17}$。$a^3b - ab^3 = 2 \times (\pm\sqrt{17}) \times 3 = \pm 6\sqrt{17}$。（如果题目是 $a^2b^2$ 或其他，结果会是整数，按此题目，答案为 $\pm 6\sqrt{17}$。）

选择题

1. B
   • 解析：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，A是乘法，C、D没有化成积的形式。
2. B
   • 解析：$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)$。
3. C
   • 解析：平方差公式要求是两项，且符号相反。$-x^2 + 4y^2 = (2y)^2 - x^2 = (2y-x)(2y+x)$。
4. D
   • 解析：右边展开为 $x^2 + (n+3)x + 3n$，与左边 $x^2 + mx - 6$ 对比系数，得到 $3n = -6$，$n=-2$，代入 $m = n+3 = -2+3 = 1$。
5. A
   • 解析：$x^2 - y^2 + 2y - 1 = x^2 - (y^2 - 2y + 1) = x^2 - (y-1)^2$，然后对整体使用平方差公式，$[x+(y-1)][x-(y-1)] = (x+y-1)(x-y-1)$。

把下列各式分解因式

1. $-4x^2y + 6xy^2$
   • 解：原式 $= 2xy(-2x + 3y)$
2. $3a(x-y) - 6b(y-x)$
   • 解：原式 $= 3a(x-y) + 6b(x-y)$ （注意：$y-x = -(x-y)$）
   • $= (x-y)(3a+6b)$
   • $= 3(x-y)(a+2b)$
3. $a^3 - 4a$
   • 解：原式 $= a(a^2 - 4)$
   • $= a(a+2)(a-2)$
4. $25(a+b)^2 - 16(a-b)^2$
   • 解：原式 $= [5(a+b)]^2 - [4(a-b)]^2$
   • $= [5(a+b) + 4(a-b)][5(a+b) - 4(a-b)]$
   • $= (5a+5b+4a-4b)(5a+5b-4a+4b)$
   • $= (9a+b)(a+9b)$
5. $x^2 - 6x + 8$
   • 解：原式 $= (x-4)(x-2)$ （寻找两个数，积为8，和为-6，这两个数是-4和-2）
6. $x^2 - 4xy + 4y^2 - 9$
   • 解：原式 $= (x^2 - 4xy + 4y^2) - 9$
   • $= (x-2y)^2 - 3^2$
   • $= (x-2y+3)(x-2y-3)$
7. $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 16$
   • 解：设 $m = x^2 + x$，则原式 $= m^2 - 8m + 16$
   • $= (m-4)^2$
   • 将 $m$ 代回，原式 $= (x^2 + x - 4)^2$
8. $a^4 - 8a^2 + 16$
   • 解：设 $m = a^2$，则原式 $= m^2 - 8m + 16$
   • $= (m-4)^2$
   • 将 $m$ 代回，原式 $= (a^2 - 4)^2$
   • $= [(a+2)(a-2)]^2$
   • $= (a+2)^2(a-2)^2$

解答题

1. 解： 原式 $= (a^2 - b^2)(a+b)^2 \div [a(a^2 - b^2)]$ $= (a^2 - b^2)(a+b)^2 \div [a(a+b)(a-b)]$ $= \frac{(a+b)(a-b)(a+b)^2}{a(a+b)(a-b)}$ $= \frac{(a+b)^2}{a}$ 当 $a=2$, $b=1$ 时， 原式 $= \frac{(2+1)^2}{2} = \frac{9}{2}$。

2. 解： 原式 $= x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$ 对式子进行配方： $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 0$ $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$ 因为任何实数的平方都是非负数，即 $(x-2)^2 \ge 0$，$(y+3)^2 \ge 0$。 两个非负数的和为零，只有当它们各自都为零时才成立。 $x-2 = 0$ 且 $y+3 = 0$。 解得：$x = 2$，$y = -3$。 $x+y = 2 + (-3) = -1$。 $(x+y)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。