八年级全等三角形答案

核心知识点梳理

全等三角形的定义与性质

• 定义: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
• 性质:
  • 对应边相等
  • 对应角相等
  • 周长相等
  • 面积相等
  • 对应边上的高、中线、角平分线相等

全等三角形的判定公理与定理

这是本章的核心，必须熟练掌握！记忆口诀：“SAS, ASA, AAS, SSS, HL”。

判定方法	缩写	图形示例
边角边	SAS	两边和它们的夹角对应相等，两三角形全等。
角边角	ASA	两角和它们的夹边对应相等，两三角形全等。
角角边	AAS	两角和其中一角的对边对应相等，两三角形全等。
边边边	SSS	三边对应相等，两三角形全等。
斜边直角边	HL	斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。（仅限Rt△）

角平分线的性质

• 性质定理: 角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
• 判定定理: 到一个角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

证明的基本步骤

1. 明确目标: 要证明哪两个三角形全等？
2. 寻找条件: 题目中给出了哪些已知条件？（隐含条件：如公共边、公共角、对顶角等）
3. 选择方法: 根据已知条件，选择合适的全等判定方法（SAS, ASA, AAS, SSS, HL）。
4. 规范书写: 按照格式写出证明过程。

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经典例题解析

例题1：利用“SAS”证明

如图,点C是AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：△ACD ≌ △BCE。

分析:

1. 目标: 证明△ACD和△BCE全等。
2. 已知条件:
   • C是AB中点 ⇒ AC = BC (公共边的一半)
   • CD = CE (已知)
   • ∠ACD = ∠BCE (已知)
3. 选择方法: 观察到我们有“两边AC=BC, CD=CE”和它们的“夹角∠ACD=∠BCE”对应相等，所以选择SAS。
4. 证明:
   • 证明: ∵ 点C是AB的中点 (已知)
   • ∴ AC = BC (线段中点的定义)
   • 在△ACD和△BCE中，
     • { AC = BC (已证)
     • { ∠ACD = ∠BCE (已知)
     • { CD = CE (已知)
   • ∴ △ACD ≌ △BCE (SAS)

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例题2：利用“ASA”或“AAS”证明

如图,AD∥BC，AD=BC，求证：△ADC ≌ △CBA。

分析:

1. 目标: 证明△ADC和△CBA全等。
2. 已知条件:
   • AD ∥ BC ⇒ ∠1 = ∠2 (两直线平行，内错角相等)
   • AD = BC (已知)
   • AC = AC (公共边)
3. 选择方法: 我们有“两角(∠1=∠2, ∠ACD=∠CAB)”和它们的“夹边AC=AC”对应相等，所以选择ASA，也可以用AAS（∠1=∠2, ∠ADC=∠CBA, AD=BC）。
4. 证明:
   • 证明: ∵ AD ∥ BC (已知)
   • ∴ ∠1 = ∠2 (两直线平行，内错角相等)
   • 在△ADC和△CBA中，
     • { ∠1 = ∠2 (已证)
     • { AC = CA (公共边)
     • { AD = CB (已知)
   • ∴ △ADC ≌ △CBA (ASA)

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例题3：利用“HL”证明（仅限直角三角形）

如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，BC = EF，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF。

分析:

1. 目标: 证明两个直角三角形全等。
2. 已知条件:
   • ∠C = ∠F = 90° (已知，都是直角)
   • AC = DF (已知)
   • BC = EF (已知)
3. 选择方法: 我们有“两条直角边AC=DF, BC=EF”对应相等，根据HL定理，也可以证明全等，用SAS（两边和夹角）也可以。
4. 证明:
   • 证明: ∵ 在Rt△ABC和Rt△DEF中，
     • { ∠C = ∠F = 90° (已知)
     • { AC = DF (已知)
     • { BC = EF (已知)
   • ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL)

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常见误区与提醒

1. “SSA”或“AAA”不是判定方法！

   • SSA (边边角): 两条边和一个非夹角对应相等，不能保证全等，经典反例：两条边相等，其中一个角为直角，另一个角为锐角或钝角，可以画出两个不全等的三角形。
   • AAA (角角角): 三个角对应相等，只能保证形状相同，不能保证大小相同，所以不一定全等。

2. “对应”是关键！

   • 在写证明过程时,一定要指明是“对应”边相等，“对应”角相等，不能只说“AB=DE”，而要说“AB边的对角∠C等于DE边的对角∠F”。

3. 不要漏掉隐含条件！

   • 公共边: 两个有公共边的三角形，这条边是全等的。
   • 公共角: 两个有公共角的三角形，这个角是全等的。
   • 对顶角: 两条直线相交，形成的对顶角相等。
   • 等腰三角形的两底角相等。

4. 书写要规范！

   • 每一步推理都要有依据,括号里注明“已知”、“已证”、“定义”、“性质”等。
   • 全等符号是“”，不要写成“=”或“≈”。

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练习题（附答案与提示）

填空题 (1) 如图，AB=AC，要证明△ABD ≌ △ACE，需要添加的一个条件是 ___ (写出一个即可)。

• 提示: 可以用SAS（添加∠B=∠C），也可以用ASA（添加∠ADB=∠AEC）。

(2) 判断两个直角三角形全等，除了可以用SAS, ASA, AAS, SSS外，还可以用 ___ 定理。

选择题 (1) 下列条件中，不能判定△ABC ≌ △DEF的是 ( ) A. AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF B. AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E C. ∠A=∠D, ∠B=∠E, AB=DE D. AB=DE, BC=DF, ∠B=∠E

• 提示: D选项是“SSA”，不能作为判定依据。

(2) 如图，∠1=∠2，AB=AC，则图中全等的三角形有 ( ) 对。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

• 提示: 可以证明△ABD ≌ △ACE，然后由全等得到对应边相等，再证明△BOD ≌ △COE。

证明题 如图，点E, F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE。

答案与提示:

• 分析: 要证明AF=DE，可以考虑证明它们所在的两个三角形全等，即证明△ABF ≌ △DCE。
• 证明过程:

  1.  ∵ BE = CF (已知)
  2.  ∴ BE + EF = CF + EF (等式性质)
  3.  ∴ BF = CE (线段和的定义)
  4.  在△ABF和△DCE中，
        *   { ∠B = ∠C (已知)
        *   { AB = DC (已知)
        *   { BF = CE (已证)
  5.  ∴ △ABF ≌ △DCE (SAS)
  6.  ∴ AF = DE (全等三角形的对应边相等)

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希望这份详细的指南能对你有所帮助！学习几何最重要的就是多画图、多思考、多练习，把每个定理和例题都吃透，你一定能攻克全等三角形！加油！