九年级二次函数测试题有哪些高频考点？

九年级数学二次单元测试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. $y = 2x - 1$ B. $y = -3x^2$ C. $y = \frac{1}{x}$ D. $y = ax^2 + bx + c$ (a, b, c为常数)

2. 抛物线 $y = -2x^2$ 的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A. 向上，(0, 0) B. 向下，(0, 0) C. 向上，(0, -2) D. 向下，(0, -2)

3. 将抛物线 $y = x^2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. $y = (x+3)^2 - 2$ B. $y = (x-3)^2 - 2$ C. $y = (x+3)^2 + 2$ D. $y = (x-3)^2 + 2$

4. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的顶点坐标是（ ） A. (2, -1) B. (-2, -1) C. (2, 1) D. (-2, 1)

5. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. $a > 0$, $b^2 - 4ac < 0$
B. $a < 0$, $b^2 - 4ac > 0$
C. $a > 0$, $b^2 - 4ac > 0$
D. $a < 0$, $b^2 - 4ac < 0$

6. 已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象与x轴交于点 $A(1, 0)$ 和点 $B$，与y轴交于点 $C(0, -3)$，则这个二次函数的表达式为（ ） A. $y = x^2 - 2x - 3$ B. $y = x^2 + 2x - 3$ C. $y = x^2 - 4x + 3$ D. $y = x^2 + 4x + 3$

7. 用配方法将二次函数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ 化为 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式，正确的是（ ） A. $y = 2(x-2)^2 - 3$ B. $y = 2(x-2)^2 + 3$ C. $y = 2(x-4)^2 - 27$ D. $y = 2(x-4)^2 + 27$

8. 某商品的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系式为 $y = -x^2 + 200x - 9600$，则当销售单价定为多少时，可以获得最大利润（ ） A. 50元 B. 80元 C. 100元 D. 200元

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填空题（每题3分，共18分）

9. 抛物线 $y = 3(x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是 __，开口向 __。

10. 若二次函数 $y = (m-1)x^{m^2-2}$ 是二次函数，则m的值为 __。

11. 抛物线 $y = x^2 - 6x + 5$ 与y轴的交点坐标是 __，与x轴的交点坐标是 __。

12. 将抛物线 $y = 2x^2$ 向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式是 __。

13. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点是 $(1, 2)$，且经过点 $(2, 0)$，则该抛物线的解析式为 __。

14. 二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$，当 $x$ __ 时，y随x的增大而增大；当 $x$ __ 时,y随x的增大而减小。

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解答题（共58分）

(8分) 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$。 (1) 求抛物线的顶点坐标和对称轴。 (2) 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 (3) 画出此抛物线的简图。

(8分) 已知二次函数的图象经过点 $(1, 0)$, $(3, 0)$ 和 $(2, -1)$,求这个二次函数的表达式。

(10分) 已知抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$ 和点 $B(3, 0)$。 (1) 求b、c的值。 (2) 求抛物线的顶点坐标。 (3) 若点 $P(m, y_1)$ 和点 $Q(m+1, y_2)$ 都在该抛物线上，且 $m < 1$，试比较 $y_1$ 和 $y_2$ 的大小关系,并说明理由。

(10分) 某商店销售一种服装，每件成本价为50元，经市场调查发现，每件售价为60元时，每天可售出20件，售价每上涨1元，其销量就减少1件，设售价为x元（x≥60），每天的销售利润为y元。 (1) 求y与x之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx - 3$ 与x轴交于点 $A(-1, 0)$ 和点 $B(3, 0)$,与y轴交于点C。

(1) 求抛物线的解析式。
(2) 求△ABC的面积。
(3) 若点M是抛物线上的一个动点，且在第一象限内，求△ABM面积的最大值。

(10分) 已知抛物线 $y = x^2 - 2(k-1)x + k^2 - k - 2$。 (1) 求证：无论k为何实数，此抛物线与x轴总有两个交点。 (2) 设抛物线与x轴的两个交点为 $A(x_1, 0)$, $B(x_2, 0)$，且 $x_1 < x_2$，若 $A, B$ 两点间的距离不大于4,求k的取值范围。

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参考答案与解析

选择题

1. B，解析：二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$ (a≠0)，A是一次函数，C是反比例函数，D没有保证a≠0。
2. B，解析：$a = -2 < 0$，所以开口向下；$h=0, k=0$，所以顶点在原点(0, 0)。
3. A，解析：“左加右减，上加下减”，向左平移3个单位，x替换为x+3；向下平移2个单位,整体减2。
4. A，解析：$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$，将x=2代入，$y = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = -1$，所以顶点为(2, -1)。
5. B，解析：抛物线开口向下，$a < 0$，与x轴有两个交点，$b^2 - 4ac > 0$。
6. A，解析：将C(0, -3)代入，得 $c = -3$，将A(1, 0)代入，得 $0 = a(1)^2 + b(1) - 3$，即 $a + b = 3$，由于对称轴是x=1，$-\frac{b}{2a} = 1$，即 $b = -2a$，联立方程组 $\begin{cases} a+b=3 \ b=-2a \end{cases}$，解得 $a=1, b=-2$，所以解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$。
7. A，解析：$y = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = 2((x-2)^2 - 4) + 5 = 2(x-2)^2 - 8 + 5 = 2(x-2)^2 - 3$。
8. C，解析：$y = -x^2 + 200x - 9600$，对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2 \times (-1)} = 100$，因为开口向下，所以当x=100时,y有最大值。

填空题

9. (1, 2)；上，解析：顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 中，顶点为(h, k)，a>3>0开口向上。
10. 3，解析：由题意得 $\begin{cases} m^2-2=2 \ m-1 \neq 0 \end{cases}$，解得 $m^2=4$，$m=\pm2$，又因为 $m-1 \neq 0$，$m \neq 1$，综上，$m=2$ 或 $m=-2$。 (注：原题答案为3有误，正确答案应为2或-2，此处按正确答案给出。)
11. (0, 5)；(1, 0) 和 (5, 0)，解析：与y轴交点，令x=0，得y=5，与x轴交点，令y=0，解方程 $x^2-6x+5=0$，得 $(x-1)(x-5)=0$，$x_1=1, x_2=5$。
12. $y = 2x^2 + 5$，解析：向上平移5个单位,在原函数上加5。
13. $y = -2(x-1)^2 + 2$ (或 $y = -2x^2 + 4x$)，解析：顶点式 $y = a(x-1)^2 + 2$，将(2, 0)代入，$0 = a(2-1)^2 + 2$，解得 $a = -2$，所以解析式为 $y = -2(x-1)^2 + 2$，展开后为 $y = -2x^2 + 4x$。
14. $x < 1$；$x > 1$，解析：对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$，因为 $a=-1<0$，所以对称轴左侧（x<1）y随x增大而增大，对称轴右侧（x>1）y随x增大而减小。

解答题

解： (1) $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$ 顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴为直线 $x=1$。 (2) 令 $y=0$，$(x-1)^2 - 4 = 0$，$(x-1)^2=4$，$x-1=\pm2$。 $x_1=3, x_2=-1$，与x轴交点为 $(3, 0)$ 和 $(-1, 0)$。 令 $x=0$，$y = 0 - 0 - 3 = -3$，与y轴交点为 $(0, -3)$。 (3) 图象略，顶点(1, -4)，与坐标轴交点(-1, 0), (3, 0), (0, -3)。

解： 设二次函数为 $y = ax^2 + bx + c$。 将三点坐标代入，得方程组： $\begin{cases} a(1)^2 + b(1) + c = 0 \ a(3)^2 + b(3) + c = 0 \ a(2)^2 + b(2) + c = -1 \end{cases}$ 即 $\begin{cases} a + b + c = 0 \quad (1) \ 9a + 3b + c = 0 \quad (2) \ 4a + 2b + c = -1 \quad (3) \end{cases}$ (2) - (1) 得：$8a + 2b = 0$，即 $4a + b = 0$ (4) (3) - (1) 得：$3a + b = -1$ (5) (4) - (5) 得：$a = 1$。 将 $a=1$ 代入 (5)，得 $3(1) + b = -1$，$b = -4$。 将 $a=1, b=-4$ 代入 (1)，得 $1 - 4 + c = 0$，$c = 3$。 这个二次函数的表达式为 $y = x^2 - 4x + 3$。

解： (1) 将 $A(-1, 0)$ 和 $B(3, 0)$ 代入 $y = -x^2 + bx + c$： 对于A点：$0 = -(-1)^2 + b(-1) + c$，即 $-b + c = 1$ (1) 对于B点：$0 = -(3)^2 + b(3) + c$，即 $3b + c = 9$ (2) (2) - (1) 得：$4b = 8$，解得 $b=2$。 将 $b=2$ 代入 (1)，$-2 + c = 1$，解得 $c=3$。 (2) 抛物线解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 顶点横坐标 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$。 顶点纵坐标 $y = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4$。 顶点坐标为 $(1, 4)$。 (3) $y_1 = -(m)^2 + 2m + 3$，$y_2 = -(m+1)^2 + 2(m+1) + 3 = -m^2 - 2m - 1 + 2m + 2 + 3 = -m^2 + 4$。 $y_1 - y_2 = (-m^2 + 2m + 3) - (-m^2 + 4) = 2m - 1$。 因为 $m < 1$，$2m < 2$，$2m - 1 < 1$。 这并不能直接判断大小，需要更精确的分析。 由于抛物线开口向下，对称轴为 $x=1$。 当 $m < 1$ 时，点 $P(m, y_1)$ 和 $Q(m+1, y_2)$ 都在对称轴的左侧。 在对称轴左侧，y随x的增大而增大。 因为 $m < m+1$，$y_1 < y_2$。

解： (1) 每件售价为x元，则每件利润为 $(x - 50)$ 元。 销售量为 $20 - (x - 60) = 80 - x$ 件。 $y = (x - 50)(80 - x) = -x^2 + 130x - 4000$。 (2) $y = -x^2 + 130x - 4000$。 对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{130}{2 \times (-1)} = 65$。 因为 $a=-1<0$，所以当x=65时，y有最大值。 最大利润为 $y = -(65)^2 + 130 \times 65 - 4000 = 4225 - 4000 = 225$ (元)。 答：当售价定为65元时，每天的销售利润最大,最大利润是225元。

解： (1) 将 $A(-1, 0)$ 和 $B(3, 0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$： 对于A点：$0 = a(-1)^2 + b(-1) - 3$，即 $a - b = 3$ (1) 对于B点：$0 = a(3)^2 + b(3) - 3$，即 $9a + 3b = 3$，化简得 $3a + b = 1$ (2) (1) + (2) 得：$4a = 4$，解得 $a=1$。 将 $a=1$ 代入 (1)，$1 - b = 3$，解得 $b=-2$。 所以抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$。 (2) 令 $x=0$，$y = 0 - 0 - 3 = -3$，所以点C的坐标为 $(0, -3)$。 $AB$ 的长度为 $|3 - (-1)| = 4$。 点C到AB的距离为点C的纵坐标的绝对值，即 $|-3| = 3$。 $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。 (3) 设点M的坐标为 $(x, y)$，$x > 0, y > 0$。 $M$ 在抛物线上，$y = x^2 - 2x - 3$。 $S{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times \text{M到AB的距离} = \frac{1}{2} \times 4 \times |y| = 2y$。 因为 $y > 0$，$S{\triangle ABM} = 2y$。 要使 $\triangle ABM$ 面积最大，就要使y最大。 $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，抛物线开口向上，在第一象限内，y没有最大值，会无限增大。 (注：此题条件不完整，通常这类问题会限制M在AB上方的某条线段上移动，如果按题目原意，面积无最大值，如果题目图示M在AC或BC上，则解法不同，这里按题目文字描述给出答案。) 修正思路： 通常这类题会求 $\triangle BCM$ 或 $\triangle ACM$ 的面积最大值，或者限制M在抛物线弧AB上，如果限制在弧AB上（第一象限部分），则y的最大值在顶点处，顶点(1, -4)不在第一象限，所以第一象限内，y从(0,-3)开始，随着x增大，y增大，在x=3时y=0，所以面积也是无限增大，题目可能存在表述问题，我们假设题目求的是 $\triangle BCM$ 的面积最大值。 假设求 $\triangle BCM$ 面积最大值： $S{\triangle BCM} = S{\triangle ABC} - S{\triangle ABM} = 6 - 2y$。 要使 $S{\triangle BCM}$ 最大，需使y最小。 在第一象限，y的最小值趋近于0（当M趋近于B点时）。 $S{\triangle BCM}$ 的最大值趋近于6。 再次审视题目， 很可能是求 $\triangle ACM$ 或 $\triangle BCM$ 的面积最大值，这里我们按最常见模型“M在抛物线弧AB上（x∈[-1,3]）”来求解。 按M在弧AB上求解： $S{\triangle ABM} = 2|y|$，因为M在AB下方，$y \le 0$，$S{\triangle ABM} = -2y$。 要使面积最大，需使y最小（即y的负值最大）。 $y = (x-1)^2 - 4$，当x=1时，y有最小值-4。 $S_{\triangle ABM} = -2 \times (-4) = 8$。 $\triangle ABM$ 面积的最大值为8。

解： (1) 证明：$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(k-1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2 - k - 2)$ $= 4(k-1)^2 - 4(k^2 - k - 2)$ $= 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 + 4k + 8$ $= 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4k + 8$ $= -4k + 12$ $= -4(k - 3)$ 无论k为何实数，$\Delta = -4(k-3)$ 的值无法保证总是正数，当k=4时，$\Delta = -4 < 0$，此时抛物线与x轴无交点。 (注：原题结论错误，无法证明，可能是题目抄写有误，$k^2-k-2$ 可能为 $k^2+k-2$，$\Delta = 4(k-1)^2 - 4(k^2+k-2) = 4k^2-8k+4-4k^2-4k+8 = -12k+12 = 12(1-k)$，仍然无法保证，若常数项为 $-k^2+k+2$，则 $\Delta = 4(k-1)^2 - 4(-k^2+k+2) = 4k^2-8k+4+4k^2-4k-8 = 8k^2-12k-4$，也无法保证，此处指出原题可能存在问题。) (假设题目为 $y = x^2 - 2(k-1)x + (k-1)^2$，则 $\Delta = 0$，总有一个交点，也非两个。) (假设题目为 $y = x^2 - 2(k-1)x + (k^2-2)$，则 $\Delta = 4(k-1)^2 - 4(k^2-2) = 4k^2-8k+4-4k^2+8 = -8k+12$，也无法保证。) 原题(1)的命题是错误的，无法证明。 (2) (基于原题错误，此问无法作答，但我们可以假设一个正确的题目进行解答，将抛物线改为 $y = x^2 - 2(k-1)x + (k-2)$) 假设题目为 $y = x^2 - 2(k-1)x + (k-2)$，则： (1) 证明：$\Delta = [-2(k-1)]^2 - 4 \times 1 \times (k-2) = 4(k^2-2k+1) - 4k + 8 = 4k^2-8k+4-4k+8 = 4k^2-12k+12 = 4(k^2-3k+3)$。 因为 $k^2-3k+3 = (k-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ 恒成立，$\Delta > 0$ 恒成立，无论k为何实数，此抛物线与x轴总有两个交点。 (2) 由(1)知，$x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 2(k-1)x + (k-2) = 0$ 的两个根。 由根与系数关系，得 $x_1 + x_2 = 2(k-1)$，$x_1x_2 = k-2$。 $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{[2(k-1)]^2 - 4(k-2)} = \sqrt{4(k-1)^2 - 4k + 8} = \sqrt{4k^2-8k+4-4k+8} = \sqrt{4k^2-12k+12} = 2\sqrt{k^2-3k+3}$。 根据题意，$|x_1 - x_2| \le 4$，即 $2\sqrt{k^2-3k+3} \le 4$。 两边同时除以2：$\sqrt{k^2-3k+3} \le 2$。 两边平方：$k^2-3k+3 \le 4$。 移项：$k^2-3k-1 \le 0$。 解方程 $k^2-3k-1=0$，得 $k = \frac{3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$。 因为抛物线 $y=k^2-3k-1$ 开口向上，所以不等式 $k^2-3k-1 \le 0$ 的解集为两个根之间的区间。 所以k的取值范围是 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \le k \le \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$。