人教版六年级上册数学第二单元

单元总览

• 单元名称： 分数除法
• 核心地位： 这是小学阶段数学学习中的一个重点和难点，它是继分数乘法之后，对分数运算的进一步深化，也是解决实际问题的关键工具。
• 本单元主要学习分数除法的意义、计算方法，以及解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。

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单元知识结构图

为了让你更清晰地了解本单元的知识脉络,可以参考这个结构图：

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│      第二单元：分数除法      │
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│  1. 分数除法  │  │  2. 解决问题      │
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│ 意义：与乘法  │  │ 类型一：求单位“1”  │
│   互为逆运算  │  │   (已知部分求整体) │
├───────┬───────┤  ├──────────────────┤
│ 计算法则：    │  │ 特征：已知“一个数  │
│ 1. 除以整数  │  │   的几分之几是多 │
│ 2. 除以分数  │  │   少”，求“这个数” │
│   (转化为乘)  │  │ 解法：方程法或除 │
└───────┴───────┘  │   法（除以几分之 │
                    │   几等于乘倒数）  │
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                    │ 类型二：比的应用  │
                    │ (按比例分配问题)  │
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分知识点详解

第一部分：分数除法的意义和计算

分数除法的意义

• 核心： 与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数。
• 与乘法的关系： 分数除法是分数乘法的逆运算。
• 举例：
  • 6 ÷ 2 = 3，因为 2 × 3 = 6。
  • 3/4 ÷ 1/2 = ?，就是求 ? × 1/2 = 3/4。

分数除法的计算法则

这是本单元的核心技能,必须熟练掌握。

• 分数除以整数

  • 方法： 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
  • 公式： a/b ÷ c = a/b × 1/c (c ≠ 0)
  • 举例： 4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 4/10 = 2/5

• 一个数除以分数

  
  （图片来源网络，侵删）
  • 方法： 一个数（可以是整数、小数或分数）除以分数，等于这个数乘分数的倒数。
  • 公式： a ÷ b/c = a × c/b (b/c ≠ 0)
  • 举例：
    • 20 ÷ 4/5 = 20 × 5/4 = 100/4 = 25
    • 18 ÷ 3/4 = 18 × 4/3 = 72/3 = 24
    • 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

• 总结与技巧：

  • “除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”，这是所有分数除法的通用法则。
  • “变号”是关键： 看到“÷”，立刻把它变成“×”，然后把“÷”后面的数（除数）变成它的倒数。
  • 约分要简便： 在计算过程中，能约分的要先约分，这样可以使计算更简单。

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第二部分：解决问题

这是本单元的另一个重点,也是难点，主要分为两大类型。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数（“求单位‘1’”）

• 问题特征： 题目中已知“一个数的几分之几”所对应的具体数量，要求“这个数”（也就是单位“1”）是多少。

  
  （图片来源网络，侵删）

• 数量关系： 单位“1” × 分率 = 已知量

• 解法：

  1. 方程法（推荐，思路清晰）：
     • 第一步： 设单位“1”为未知数 x。
     • 第二步： 根据数量关系 单位“1” × 分率 = 已知量 列出方程。
     • 第三步： 解方程，解方程时，用除法（或乘除数的倒数）。
  2. 算术法（除法）：
     • 直接用已知量除以它对应的分率。
     • 公式： 已知量 ÷ 分率 = 单位“1”

• 举例：

  六年级（1）班有“三好学生”15人，占全班人数的1/5，全班有多少人？

  分析： 全班人数是单位“1”，未知量，已知单位“1”的1/5是15人。

  解法一（方程法）： 设全班有 x 人。 x × 1/5 = 15 x = 15 ÷ 1/5 x = 15 × 5 x = 75 答：全班有75人。

  解法二（算术法）： 15 ÷ 1/5 = 15 × 5 = 75 (人) 答：全班有75人。

比的应用（按比例分配问题）

• 问题特征： 把一个量按照一定的比进行分配。

• 解题关键： 找到总份数，以及每份量是多少。

• 解题步骤：

  1. 求总份数： 将比的前后项相加。
  2. 求每份量： 用总量 ÷ 总份数。
  3. 求各部分量： 用每份量 × 各部分所占的份数。

• 举例：

  一个长方形的周长是30厘米,长与宽的比是3:2，这个长方形的长和宽分别是多少厘米？

  分析： 周长是长和宽的2倍，可以先求出长和宽的和。 30 ÷ 2 = 15 (厘米)，这15厘米就是长和宽的总和。

  解题步骤：

  1. 求总份数： 3 + 2 = 5 (份)
  2. 求每份量： 15 ÷ 5 = 3 (厘米)
  3. 求各部分量：
     • 长：3 × 3 = 9 (厘米)
     • 宽：3 × 2 = 6 (厘米) 答：这个长方形的长是9厘米，宽是6厘米。

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学习建议与常见误区

1. 夯实基础： 必须熟练掌握倒数的概念和求法，以及分数乘法的计算，这是学习分数除法的前提。
2. 理解意义： 不要死记硬背计算法则，要理解“除以一个数等于乘它的倒数”背后的算理（乘除法互为逆运算）。
3. 细心计算：
   • 容易混淆“乘倒数”和“被除数变倒数”，要记住，只有除数（“÷”后面的数）才要变成倒数。
   • 计算结果要化成最简分数。
4. 解决问题技巧：
   • 找准单位“1”： 解题前先判断谁是单位“1”（的”字前面的量或“占”、“是”等词后面的量是单位“1”）。
   • 画线段图： 对于复杂的应用题，画线段图是非常有效的辅助手段，能帮助你直观地理解数量关系。
   • 选择方法： 对于“求单位‘1’”的问题，刚开始用方程法更不容易出错，熟练后可以根据题目特点选择算术法。

希望这份详细的梳理能帮助你更好地学习人教版六年级上册数学第二单元！加油！