九年级期末数学卷难度如何？重点题型有哪些？

九年级数学期末考试模拟卷

考试时间：120分钟 满分：150分

注意事项：

1. 本试卷共三大题,26小题。
2. 答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效。
3. 作图可先用铅笔在答题卡的指定位置绘出,确认后用0.5mm黑色签字笔描黑。

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, -3)$

2. 在平面直角坐标系中,将点 $A(1, 2)$ 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点 $A'$ 的坐标是 A. $(-2, 0)$ B. $(4, 4)$ C. $(-2, 4)$ D. $(4, 0)$

3. 下列图形中,既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等腰梯形

4. 已知 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的半径分别为3cm和5cm，若 $O_1O_2 = 3cm$，则两圆的位置关系是 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，则 $\sin A$ 的值为 A. $\frac{5}{13}$ B. $\frac{12}{13}$ C. $\frac{5}{12}$ D. $\frac{12}{5}$

6. 已知 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，且 $AB:DE = 2:3$，$\triangle ABC$ 的周长为12，则 $\triangle DEF$ 的周长为 A. 8 B. 18 C. 24 D. 36

7. 一个不透明的袋子里装有3个红球和2个白球,它们除颜色外其他完全相同，随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 A. $\frac{9}{25}$ B. $\frac{1}{10}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{1}{25}$

8. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle BOC = 100^\circ$，则 $\angle A$ 的度数为 A. $50^\circ$ B. $40^\circ$ C. $30^\circ$ D. $20^\circ$ (注：此处应有图，图为直径AB，点C在圆上，连接OC和BC)

   
   （图片来源网络，侵删）

9. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. $a > 0$ B. $b^2 - 4ac < 0$ C. $c < 0$ D. $a+b+c > 0$ (注：此处应有图，图为开口向下的抛物线，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点)

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中，$DE \parallel BC$，$AD:DB = 1:2$，若 $\triangle ADE$ 的面积为1，则四边形 $DBCE$ 的面积为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 (注：此处应有图，图为三角形ABC，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上)

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填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 抛物线 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 的对称轴是直线 ____。

12. 已知 $\odot O$ 的半径为5，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为6，则点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 ____。

13. 在 Rt $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$，则 $\tan B$ 的值为 ____。

14. 一个不透明的盒子里装有4张卡片,分别标有数字1, 2, 3, 4，这些卡片除数字外完全相同，从中随机抽取一张，卡片上的数字是偶数的概率是 ____。

15. 如图,$PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$PO$ 交 $\odot O$ 于点 $B$，若 $PA = 6$，$PB = 3$，则 $\odot O$ 的半径为 ____。 (注：此处应有图，图为从点P引圆的切线PA，割线PBO，A为切点，B为PO与圆的交点)

16. 观察下列图形,它们是按一定规律排列的，照此规律，第6个图形中有个 □。

第1个: ■
第2个: ■□
第3个: ■□■□
第4个: ■□■□■□
...

第6个图形中有个 □。

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解答题（本大题共8小题，共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本小题8分) 计算：$(\pi - 2025)^0 + \sqrt{12} - |2-\sqrt{3}| - \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

18. (本小题8分) 先化简，再求值：$(\frac{x-2}{x+2} + \frac{4}{x^2-4}) \div \frac{x}{x^2-4}$，$x = \sqrt{3}+1$。

19. (本小题8分) 如图，在 $\square ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，过点 $O$ 的直线 $EF$ 与 $AD$、$BC$ 分别交于点 $E$、$F$。 求证：$OE = OF$。 (注：此处应有图，图为平行四边形ABCD，对角线AC和BD交于O，一条直线EF穿过O，与AD交于E，与BC交于F)

20. (本小题10分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + k - 1 = 0$。 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围。 (2) 若方程的两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$，且满足 $x_1^2 + x_2^2 = 6$，求 $k$ 的值。

21. (本小题12分) 某商场销售一种进价为40元/件的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量 $y$ (件) 与销售单价 $x$ (元/件) 之间存在一次函数关系，部分数据如下表所示：

销售单价 $x$ (元/件)	50	60	70
销售量 $y$ (件)	100	80	60

(1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 若商场销售该商品每天获得的利润为 $w$ 元，试求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (3) 当销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？

22. (本小题12分) 如图，在 Rt $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 8$，$BC = 6$，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，点 $E$ 在边 $AC$ 上，且 $AE = 2$。 (1) 求 $\tan \angle B$ 的值。 (2) 求 $\sin \angle ADE$ 的值。 (注：此处应有图，图为直角三角形ABC，C为直角，AC=8，BC=6，D是斜边AB的中点，E在AC上，AE=2)

23. (本小题12分) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，$\angle ABC = 45^\circ$，弦 $AD \parallel OC$。 (1) 求证：$CD$ 是 $\odot O$ 的直径。 (2) 若 $\odot O$ 的半径为 $2\sqrt{2}$，求 $AC$ 的长度。 (注：此处应有图，图为直径AB，点C在圆上，连接BC，AD是弦且平行于OC)

24. (本小题14分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线上一动点，且位于第一象限，连接 $PA$、$PB$，设 $\triangle PAB$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标。 (3) 若点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 $M$，使得以 $A$、$B$、$M$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由。 (注：此处应有图，图为坐标系，抛物线开口向下，与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于C点)

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参考答案与评分标准

选择题

1. A
2. A
3. C
4. C
5. A
6. B
7. A
8. A
9. D
10. B

填空题

11. $x = 1$
12. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外
13. $\frac{3}{4}$
14. $\frac{1}{2}$
15. $\frac{9}{2}$
16. 32

解答题

(8分) 解： 原式 = $1 + 2\sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) - 2$ ... (4分) = $1 + 2\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} - 2$ ... (6分) = $(1 - 2 - 2) + (2\sqrt{3} + \sqrt{3})$ = $-3 + 3\sqrt{3}$ ... (8分)

(8分) 解： 原式 = $(\frac{x-2}{x+2} + \frac{4}{(x+2)(x-2)}) \div \frac{x}{(x+2)(x-2)}$ ... (2分) = $(\frac{(x-2)^2 + 4}{(x+2)(x-2)}) \div \frac{x}{(x+2)(x-2)}$ ... (4分) = $(\frac{x^2 - 4x + 4 + 4}{(x+2)(x-2)}) \times \frac{(x+2)(x-2)}{x}$ = $\frac{x^2 - 4x + 8}{x}$ ... (6分) 当 $x = \sqrt{3}+1$ 时， 原式 = $\frac{(\sqrt{3}+1)^2 - 4(\sqrt{3}+1) + 8}{\sqrt{3}+1}$ = $\frac{3 + 2\sqrt{3} + 1 - 4\sqrt{3} - 4 + 8}{\sqrt{3}+1}$ = $\frac{8 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ ... (7分) = $\frac{(8 - 2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$ = $\frac{8\sqrt{3} - 8 - 6 + 2\sqrt{3}}{3-1}$ = $\frac{10\sqrt{3} - 14}{2}$ = $5\sqrt{3} - 7$ ... (8分)

(8分) 证明： $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $\therefore AD \parallel BC$，$AD = BC$。 ... (2分) 又 $\because$ $O$ 是对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $\therefore O$ 是 $AC$ 和 $BD$ 的中点。 ... (4分) 在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CBF$ 中， $\begin{cases} \angle AEO = \angle CFO & \text{(对顶角相等)} \ \angle EAD = \angle FCB & \text{(两直线平行，内错角相等)} \ AE = CF & \text{(中点性质，AD=BC)} \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle CBF$ (AAS)。 ... (6分) $\therefore OE = OF$。 ... (8分) (注：也可以利用平行四边形对角线互相平分，得到AO=OC，再通过AAS证明△AOE≌△COF)

(10分) 解：(1) $\because$ 方程 $x^2 - 2x + k - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根， $\therefore \Delta > 0$。 ... (1分) 即 $(-2)^2 - 4 \times 1 \times (k-1) > 0$， $4 - 4k + 4 > 0$， $8 > 4k$， $k < 2$。 ... (4分) $k$ 的取值范围是 $k < 2$。

(2) $\because x_1, x_2$ 是方程的两根， $\therefore x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = k-1$。 ... (6分) $\because x_1^2 + x_2^2 = 6$， $\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 6$， $2^2 - 2(k-1) = 6$， $4 - 2k + 2 = 6$， $6 - 2k = 6$， $-2k = 0$， $k = 0$。 ... (10分) 经检验，当 $k=0$ 时，$\Delta = 4 > 0$，符合题意。 $k$ 的值为0。

(12分) 解：(1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = kx + b$。 将 $(50, 100)$ 和 $(60, 80)$ 代入得： $\begin{cases} 50k + b = 100 \ 60k + b = 80 \end{cases}$ 解得：$k = -2$，$b = 200$。 ... (4分) $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = -2x + 200$。

(2) 根据题意，利润 $w = (x - 40) \cdot y$， 将 $y = -2x + 200$ 代入得： $w = (x - 40)(-2x + 200)$ $= -2x^2 + 200x + 80x - 8000$ ... (6分) $= -2x^2 + 280x - 8000$。 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $w = -2x^2 + 280x - 8000$。

(3) $\because w = -2x^2 + 280x - 8000$，$a = -2 < 0$， $\therefore$ 抛物线开口向下，函数有最大值。 ... (8分) 当 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{280}{2 \times (-2)} = 70$ 时，$w$ 有最大值。 ... (10分) $w_{最大} = -2 \times 70^2 + 280 \times 70 - 8000 = -9800 + 19600 - 8000 = 1800$。 ... (12分) 答：当销售单价定为70元时，商场每天获得的利润最大，最大利润是1800元。

(12分) 解：(1) 在 Rt $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$， $\tan \angle B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$。 ... (4分)

(2) 连接 $CD$。 $\because$ $D$ 是 Rt $\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 的中点， $\therefore CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$。 ... (6分) 在 Rt $\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$。 $\therefore CD = AD = BD = 5$。 ... (8分) $\because AE = 2$，$AC = 8$， $\therefore EC = AC - AE = 8 - 2 = 6$。 ... (9分) 在 Rt $\triangle ECD$ 中，$DE = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$。 ... (11分) 在 $\triangle ADE$ 中，由余弦定理： $\cos \angle ADE = \frac{AD^2 + DE^2 - AE^2}{2 \cdot AD \cdot DE} = \frac{5^2 + (\sqrt{61})^2 - 2^2}{2 \times 5 \times \sqrt{61}} = \frac{25 + 61 - 4}{10\sqrt{61}} = \frac{82}{10\sqrt{61}} = \frac{41}{5\sqrt{61}}$。 $\therefore \sin \angle ADE = \sqrt{1 - \cos^2 \angle ADE} = \sqrt{1 - (\frac{41}{5\sqrt{61}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1681}{1525}} = \sqrt{\frac{1525 - 1681}{1525}} = \sqrt{\frac{-156}{1525}}$。 (此处计算有误，应换一种方法) 正确解法： 在 Rt $\triangle ABC$ 中，$AB=10$。$D$ 为 $AB$ 中点，则 $AD=5$。$E$ 在 $AC$ 上，$AE=2$。 过 $D$ 作 $DF \perp AC$ 于 $F$。 $\because \angle C = 90^\circ$，$DF \perp AC$， $\therefore DF \parallel BC$。 $\therefore \frac{AF}{FC} = \frac{AD}{DB} = 1$，即 $F$ 是 $AC$ 的中点。 $\therefore AF = FC = \frac{1}{2}AC = 4$。 $\therefore EF = AF - AE = 4 - 2 = 2$。 ... (8分) 在 Rt $\triangle ADF$ 中，$AD=5$，$AF=4$， $\therefore DF = \sqrt{AD^2 - AF^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。 ... (10分) 在 Rt $\triangle DEF$ 中，$DF=3$，$EF=2$， $\therefore DE = \sqrt{DF^2 + EF^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$。 ... (11分) 在 $\triangle ADE$ 中，$AE=2$，$AD=5$，$DE=\sqrt{13}$。 由余弦定理： $\cos \angle ADE = \frac{AD^2 + DE^2 - AE^2}{2 \cdot AD \cdot DE} = \frac{5^2 + (\sqrt{13})^2 - 2^2}{2 \times 5 \times \sqrt{13}} = \frac{25+13-4}{10\sqrt{13}} = \frac{34}{10\sqrt{13}} = \frac{17}{5\sqrt{13}}$。 $\therefore \sin \angle ADE = \sqrt{1 - \left(\frac{17}{5\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{289}{325}} = \sqrt{\frac{36}{325}} = \frac{6}{5\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{65}$。 ... (12分)

(12分) 证明：(1) 连接 $OC$。 $\because AB$ 是直径，$\angle ABC = 45^\circ$， $\therefore \angle AOC = 2\angle ABC = 90^\circ$。 ... (3分) $\because AD \parallel OC$， $\therefore \angle DAC = \angle ACO$。 又 $\because OA = OC$， $\therefore \angle OAC = \angle OCA$。 $\therefore \angle DAC = \angle OAC$。 ... (6分) $\therefore \angle DAB = \angle OAB$。 $\therefore \widehat{DB} = \widehat{OB}$。 $\therefore D$ 是 $\widehat{AB}$ 的中点。 $\therefore CD$ 是直径。 ... (8分)

(2) $\because CD$ 是直径，$AB$ 是直径， $\therefore \angle CAD = 90^\circ$。 ... (10分) 连接 $BC$，则 $\angle ACB = 90^\circ$。 $\because \angle ABC = 45^\circ$， $\therefore \angle BAC = 45^\circ$。 $\therefore AC = BC$。 在 Rt $\triangle ABC$ 中，$AB = 2 \times$ 半径 $= 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。 $\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$， $2AC^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$， $AC^2 = 16$， $\therefore AC = 4$。 ... (12分)

(14分) 解：(1) 将 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$ 代入 $y = -x^2 + bx + c$ 得： $\begin{cases} -(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \ -(3)^2 + b(3) + c = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} -1 - b + c = 0 \ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$ 解得：$b = 2$，$c = 3$。 ... (4分) 所以抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。

(2) 设 $P(x, y)$，$x > 0$，$y > 0$。 $S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times AB \times |y_P|$。 $AB = |3 - (-1)| = 4$。 $\therefore S = \frac{1}{2} \times 4 \times y_P = 2y_P$。 ... (6分) 要使 $S$ 最大，只需 $y_P$ 最大。 $\because y_P = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x-1)^2 + 4$。 当 $x=1$ 时，$yP$ 有最大值4。 ... (8分) $P(1, 4)$。 $S{最大} = 2 \times 4 = 8$。 ... (10分) $S$ 的最大值为8，此时点 $P$ 的坐标为 $(1, 4)$。

(3) 存在，抛物线的对称轴为直线 $x = \frac{-1+3}{2} = 1$。 ... (11分) 设点 $M$ 的坐标为 $(1, m)$。 当 $MA = MB$ 时，$M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，即 $x=1$ 上的所有点都满足。 $M(1, m)$ (m为任意实数)。 ... (12分) 当 $MA = AB$ 时， $\sqrt{(1 - (-1))^2 + (m - 0)^2} = 4$， $\sqrt{4 + m^2} = 4$， $4 + m^2 = 16$， $m^2 = 12$， $m = \pm 2\sqrt{3}$。 $M_1(1, 2\sqrt{3})$，$M_2(1, -2\sqrt{3})$。 ... (13分) 当 $MB = AB$ 时， $\sqrt{(1 - 3)^2 + (m - 0)^2} = 4$， $\sqrt{4 + m^2} = 4$， $4 + m^2 = 16$， $m^2 = 12$， $m = \pm 2\sqrt{3}$。 $M_3(1, 2\sqrt{3})$，$M_4(1, -2\sqrt{3})$。 (与上重复) 所有符合条件的点 $M$ 的坐标为： $(1, 2\sqrt{3})$，$(1, -2\sqrt{3})$。 ... (14分)问的是“以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形”，所以MA=MB, MA=AB, MB=AB三种情况都要考虑，MA=MB的情况是垂直平分线上的所有点，但题目要求的是“点M”，通常理解为具体的点，所以答案通常只给出MA=AB和MB=AB的点，此处按更严谨的解答给出。)*

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希望这份试卷能帮助您进行有效的复习和检测！