八年级二次根式测试题有哪些重点难点？

八年级数学《二次根式》单元测试卷

考试时间： 60分钟 满分： 100分

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列各式中,一定是二次根式的是 A. $\sqrt{-5}$ B. $\sqrt[3]{x}$ C. $\sqrt{x+1}$ D. $\sqrt{x^2+1}$

2. 在式子 $\sqrt{2x-1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 A. $x > \frac{1}{2}$ B. $x \ge \frac{1}{2}$ C. $x < \frac{1}{2}$ D. $x \le \frac{1}{2}$

3. 下列根式中,能与 $\sqrt{3}$ 合并的是 A. $\sqrt{6}$ B. $\sqrt{12}$ C. $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D. $\sqrt{18}$

4. 下列计算正确的是 A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 1$ C. $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ D. $\sqrt{(-2)^2} = -2$

   
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5. 计算 $(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})$ 的结果是 A. $6$ B. $12$ C. $18$ D. $24$

6. 把 $a\sqrt{\frac{1}{a}}$ 中根号外的 $a$ 移入根号内，结果是 A. $\sqrt{a}$ B. $\sqrt{\frac{1}{a}}$ C. $\sqrt{-a}$ D. $-\sqrt{a}$

7. 一个自然数的算术平方根是 $x$，则下一个自然数的算术平方根是 A. $x+1$ B. $\sqrt{x+1}$ C. $\sqrt{x^2+1}$ D. $x^2+1$

8. 若 $\sqrt{a+2} + \sqrt{b-1} = 0$，则 $(a+b)^{2025}$ 的值为 A. $1$ B. $-1$ C. $2025$ D. $-2025$

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填空题（每题3分，共24分）

9. 计算：$\sqrt{16} = \underline{\quad\quad}$，$(\sqrt{5})^2 = \underline{\quad\quad}$。

10. 化简：$\sqrt{12} = \underline{\quad\quad}$，$\sqrt{a^3b} = \underline{\quad\quad}$（$a \ge 0, b \ge 0$）。

11. 比较大小：$3\sqrt{2}$ _____ $2\sqrt{3}$。（填“>”、“<”或“=”）

12. 若最简二次根式 $\sqrt{3a-1}$ 和 $\sqrt{2a+5}$ 是同类二次根式，则 $a = \underline{\quad\quad}$。

13. 在实数范围内分解因式：$x^2 - 5 = \underline{\quad\quad}$。

14. 已知 $a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，则 $a^2 + b^2 = \underline{\quad\quad}$。

15. 一个长方形的长为 $\sqrt{50}$ cm，宽为 $\sqrt{18}$ cm，则它的面积为 _____ cm²。

16. 观察下列各式： $\sqrt{1+\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，... 请你将猜想到的规律用含 $n$（$n$ 为正整数）的等式表示出来：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}} = \underline{\quad\quad}$。

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计算与化简题（每题5分，共30分）

17. 计算：$(\sqrt{5} - 2)^0 + |1-\sqrt{2}| - \sqrt{12} \div \sqrt{3}$

18. 计算：$\sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{(-\sqrt{2})^2}$

19. 计算：$(3\sqrt{2} + \sqrt{6})(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$

20. 计算：$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

21. 计算：$(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \div \sqrt{3}$

22. 先化简,再求值：$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$，$a=3$，$b=2$。

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解答题（共22分）

23. (10分) 在如图所示的数轴上，点 $A$ 表示的数是 $1$，点 $B$ 表示的数是 $-1$。 (1) 试在数轴上找到一点 $C$，使点 $C$ 表示的数是 $\sqrt{5}$； (2) 请求出线段 $AC$ 的长度（用化简后的二次根式表示）。

24. (12分) 我们知道，$\sqrt{2}$ 是一个无限不循环小数，它的小数部分我们无法全部写出，但我们可以用 $\sqrt{2}-1$ 来表示它的小数部分，因为 $1 < \sqrt{2} < 2$，$0 < \sqrt{2}-1 < 1$。 请你根据以上信息，解决下列问题： (1) 求 $\sqrt{13}$ 的整数部分和小数部分； (2) 若 $a$ 是 $\sqrt{13}$ 的小数部分，$b$ 是 $10-\sqrt{13}$ 的小数部分，求 $a+b$ 的值以及 $ab$ 的值。

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参考答案与解析

选择题

1. D (解析：A中被开方数为负数；B是三次根式；C中被开方数可能为负数；D中 $x^2+1 \ge 1 > 0$，所以一定是二次根式。)
2. B (解析：被开方数必须非负，即 $2x-1 \ge 0$，解得 $x \ge \frac{1}{2}$。)
3. C (解析：能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同。$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，可以与 $\sqrt{3}$ 合并。)
4. C (解析：A不是同类二次根式，不能直接相加；B应为 $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$；D $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$。)
5. C (解析：利用平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，原式 $= (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 \times 3 - 6 = 12 - 6 = 6$。更正： 计算错误，应为 $12-6=6$，但选项无6，重新审视：$(2\sqrt{3})^2=4 \times 3=12$，$(\sqrt{6})^2=6$，$12-6=6$，选项C为18，选项A为6，可能是题目或选项设置问题。假设题目为 $(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} + \sqrt{6})$，则原式 $= (2\sqrt{3})^2 + 2 \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 12 + 4\sqrt{18} + 6 = 18 + 4 \times 3\sqrt{2} = 18+12\sqrt{2}$，也不对。重新检查原题：$(2\sqrt{3} + \sqrt{6})(2\sqrt{3} - \sqrt{6})$，计算无误，结果为6，可能是选项A为6，按此选择A。但通常考试会设置正确选项，我们假设选项C为6，那么选择C，或者题目为 $(3\sqrt{2} + \sqrt{6})(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$，则结果为 $18-6=12$，对应B，为了继续，我们按原题计算，结果为6，若无6，则可能是题目有误，这里我们按标准答案处理，假设题目无误，结果为6，选择A。 修正： 重新计算，$(2\sqrt{3})^2=4 \times 3=12$，$(\sqrt{6})^2=6$，$12-6=6$，选项A是6，所以选择A。
6. A (解析：$a\sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{a}$，注意：题目隐含了 $a>0$ 的条件，因为 $\sqrt{\frac{1}{a}}$ 要求 $a>0$。)
7. C (解析：这个自然数是 $x^2$，下一个自然数是 $x^2+1$，它的算术平方根是 $\sqrt{x^2+1}$。)
8. B (解析：因为 $\sqrt{a+2} \ge 0$，$\sqrt{b-1} \ge 0$，它们的和为0，所以只能都为0，即 $a+2=0$，$b-1=0$，解得 $a=-2$，$b=1$。$(a+b)^{2025} = (-2+1)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。)

填空题

9. $4$，$5$
10. $2\sqrt{3}$，$a\sqrt{ab}$
11. $>$ (解析：$3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$，因为 $18 > 12$，$\sqrt{18} > \sqrt{12}$。)
12. $6$ (解析：同类二次根式要求被开方数相同，即 $3a-1 = 2a+5$，解得 $a=6$。)
13. $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
14. $14$ (解析：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。$a+b = (2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$。$ab = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$。$a^2+b^2 = 4^2 - 2 \times 1 = 16-2=14$。)
15. $30$ (解析：面积 $= 长 \times 宽 = \sqrt{50} \times \sqrt{18} = \sqrt{50 \times 18} = \sqrt{900} = 30$ cm²。)
16. $(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$ (解析：观察规律，左边根号外系数是 $n+1$，根号内是 $\frac{1}{n+2}$。)

计算与化简题

17. 解： 原式 $= 1 + (\sqrt{2}-1) - \sqrt{\frac{12}{3}}$ $= 1 + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{4}$ $= \sqrt{2} - 2$

18. 解： 原式 $= \sqrt{9 \times 2} - 4 \times \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}$ $= 3\sqrt{2} - 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$ $= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \sqrt{2}$ $= (3-2+1)\sqrt{2}$ $= 2\sqrt{2}$

19. 解： 原式 $= (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2$ $= 9 \times 2 - 6$ $= 18 - 6$ $= 12$

20. 解： 原式 $= (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$ $= 4 \times 3 - 4\sqrt{6} + 2$ $= 12 - 4\sqrt{6} + 2$ $= 14 - 4\sqrt{6}$

21. 解： 原式 $= (\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}) \times \frac{1}{\sqrt{3}}$ $= \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{\sqrt{3}}$ $= \sqrt{\frac{12}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}$ $= \sqrt{4} - \sqrt{\frac{1}{9}}$ $= 2 - \frac{1}{3}$ $= \frac{5}{3}$

22. 解： 原式 $= (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 - [(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2]$ $= a + 2\sqrt{ab} + b - (a - 2\sqrt{ab} + b)$ $= a + 2\sqrt{ab} + b - a + 2\sqrt{ab} - b$ $= 4\sqrt{ab}$ 当 $a=3$，$b=2$ 时， 原式 $= 4\sqrt{3 \times 2} = 4\sqrt{6}$。

解答题

23. 解： (1) 因为 $2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$，$2 < \sqrt{5} < 3$，在数轴上点 $A(1)$ 和点 $B(-1)$ 之间，找到表示 $2$ 和 $3$ 的点，点 $C$ 应位于表示 $2$ 的点的右侧，表示 $3$ 的点的左侧，且 $AC = \sqrt{5}-1$。 (2) 点 $A$ 表示的数是 $1$，点 $C$ 表示的数是 $\sqrt{5}$。 线段 $AC$ 的长度为 $|\sqrt{5} - 1|$。 因为 $\sqrt{5} > 1$，$|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$。 答：线段 $AC$ 的长度为 $\sqrt{5} - 1$。

24. 解： (1) 因为 $3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2$，$3 < \sqrt{13} < 4$。 $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $3$。 $\sqrt{13}$ 的小数部分 $a = \sqrt{13} - 3$。

    (2) 因为 $3 < \sqrt{13} < 4$，两边同时乘以 $-1$，得 $-4 < -\sqrt{13} < -3$。 再同时加上 $10$，得 $10-4 < 10-\sqrt{13} < 10-3$，即 $6 < 10-\sqrt{13} < 7$。 $10-\sqrt{13}$ 的整数部分是 $6$。 $10-\sqrt{13}$ 的小数部分 $b = (10-\sqrt{13}) - 6 = 4 - \sqrt{13}$。

    $a+b = (\sqrt{13} - 3) + (4 - \sqrt{13}) = \sqrt{13} - \sqrt{13} - 3 + 4 = 1$。 $ab = (\sqrt{13} - 3)(4 - \sqrt{13})$ $= \sqrt{13} \times 4 - \sqrt{13} \times \sqrt{13} - 3 \times 4 + 3 \times \sqrt{13}$ $= 4\sqrt{13} - 13 - 12 + 3\sqrt{13}$ $= (4\sqrt{13} + 3\sqrt{13}) - (13 + 12)$ $= 7\sqrt{13} - 25$。

    答：$a+b$ 的值为 $1$，$ab$ 的值为 $7\sqrt{13} - 25$。