数学八年级上册期中试卷

八年级数学上册期中模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

1. 本试卷共分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
2. 答题前,请务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。
3. 答案请填写在答题卡相应的位置上,答在试卷上无效。
4. 做题时可使用必要的作图工具。

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第I卷（选择题 共30分）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是 A. 1cm, 2cm, 3cm B. 2cm, 3cm, 6cm C. 5cm, 6cm, 10cm D. 4cm, 5cm, 9cm

2. 如图,在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，则∠1的度数是

   (第2题图)

   
   （图片来源网络，侵删）

   A. 60° B. 70° C. 80° D. 100°

3. 下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰三角形

4. 已知△ABC ≌ △DEF，且AB=DE，BC=EF，∠B=40°，则∠E的度数为 A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

5. 点P(3, -2)关于x轴的对称点的坐标是 A. (3, 2) B. (-3, -2) C. (-3, 2) D. (2, -3)

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 如图,已知∠1 = ∠2，要使△ABD ≌ △ACE，还需添加一个条件，下列条件中错误的是

   (第6题图)

   A. AB = AC B. AD = AE C. ∠B = ∠C D. BD = CE

7. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是 A. 80° B. 50° C. 80°或50° D. 无法确定

8. 如图,在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，若∠BAD=30°，则∠C的度数为

   (第8题图)

   A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

9. 如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，CD=3，则点D到AB的距离是

   (第9题图)

   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 如图,在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，则图中等腰三角形的个数为

    (第10题图)

    A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

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第II卷（非选择题 共90分）

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是__边形。

12. 如图,△ABC ≌ △DEF，点A与点D，点B与点E是对应顶点，则BC的对应边是__。

    (第12题图)

13. 等边三角形有__条对称轴。

14. 若点M(a+1, 2a-1)在y轴上，则a的值为__。

15. 如图,在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若AD=6，BC=8，则△ABC的面积是__。

    (第15题图)

16. 如图,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，若BC=8，DE=3，则△BDE的周长是__。

    (第16题图)

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分8分) 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是△ABC的角平分线。 (1) 求∠BAD的度数； (2) 求∠ADC的度数。

    (第17题图)

18. (本题满分8分) 在如图所示的平面直角坐标系中，已知A(2, 1)，B(4, 3)，C(0, 4)。 (1) 画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁； (2) 写出点A₁、B₁、C₁的坐标。

    (第18题图)

19. (本题满分10分) 如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。

    (第19题图)

20. (本题满分10分) 如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AF=CE，AB∥CD，且AB=CD，求证：△ABF ≌ △CDE。

    (第20题图)

21. (本题满分12分) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE、CE。 (1) 求证：△ABE ≌ △ACE； (2) 若AB=5，BC=6，求△ABE的面积。

    (第21题图)

22. (本题满分12分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°。 (1) 求证：BC = AB； (2) 若AB=8cm，求CD的长。

    (第22题图)

23. (本题满分12分) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是AC上一点，连接BD，将△ABD沿BD翻折，使点A落在点E处，BE交AC于点F。 (1) 求证：△BEF是等腰三角形； (2) 若BC=10，求DF的长。

    (第23题图)

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参考答案与解析

第I卷（选择题）

1. C (解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，A中1+2=3；B中2+3<6；D中4+5=9，只有C满足5+6>10, 5+10>6, 6+10>5。)
2. C (解析：∠1是△ABC的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和，即∠1 = ∠B + ∠C = 40° + 60° = 80°。)
3. D (解析：平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形。)
4. A (解析：全等三角形的对应角相等，因为∠B和∠E是对应角，E = ∠B = 40°。)
5. A (解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。)
6. C (解析：已知∠1 = ∠2，ABD = ∠ACE，A. 可用SAS；B. 可用SAS；D. 可用SAS，C. B = ∠C，只能得到△ABD ≌ △ACE (ASA)，但这里没有直接给出∠B和∠C，而是需要先证明，所以不能作为直接条件。)
7. C (解析：80°的角可以是顶角，也可以是底角，如果80°是顶角，则底角为(180°-80°)/2=50°；如果80°是底角，则顶角为180°-80°-80°=20°，但题目说“一个角”，所以两种情况都有可能。)
8. D (解析：在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，所以AD是高、中线、角平分线。∠BAD=30°，BAC=60°，又因为AB=AC，B=∠C=(180°-60°)/2=60°，ABC是等边三角形，∠C=60°。)
9. A (解析：角平分线上的点到角的两边的距离相等，点D在∠BAC的平分线上，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，因为∠C=90°，CD⊥AC，所以CD就是点D到AC的距离，即点D到AB的距离为CD=3。)
10. D (解析：∠A=36°，AB=AC，B=∠C=(180°-36°)/2=72°，BD是角平分线，ABD=∠DBC=36°，∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°，所以等腰三角形有：①△ABC (AB=AC)；②△BDC (BD=DC)；③△ABD (AD=BD)，共3个。)

第II卷（非选择题）

11. 七 (解析：多边形内角和公式为(n-2)×180°，设n边形，则(n-2)×180°=900°，解得n=7。)

12. EF (解析：对应顶点所对的边是对应边。)

13. 3 (解析：等边三角形有三条边，每条边的垂直平分线都是对称轴。)

14. -1/2 (解析：点在y轴上，则横坐标为0，所以a+1=0，解得a=-1/2。)

15. 24 (解析：在等腰△ABC中，AD⊥BC，所以AD也是中线，BD=DC=BC/2=4，面积S = (1/2) × 底 × 高 = (1/2) × BC × AD = (1/2) × 8 × 6 = 24。)

16. 11 (解析：AD平分∠BAC，DE⊥AB，根据角平分线性质，DE=DC=3。△BDE的周长 = BD + DE + BE = BD + DC + BE = BC + BE，因为∠C=90°，DE⊥AB，BDE=∠C=90°，又因为∠B是公共角，BDE ≌ △BDC (AAS)，所以BE=BC=8，所以周长=8+3=11。)

17. 解： (1) 在△ABC中， ∠B + ∠BAD + ∠CAD + ∠C = 180° 40° + 2∠BAD + 60° = 180° 2∠BAD = 80° ∠BAD = 40° (2) ∠ADC = ∠BAD + ∠B = 40° + 40° = 80° (或 ∠ADC = 180° - ∠CAD - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°)

18. 解： (1) 如下图所示，△A₁B₁C₁即为所求。

    (第18题答案图)

    (2) 点A₁、B₁、C₁的坐标分别为：A₁(-2, 1)，B₁(-4, 3)，C₁(0, 4)。

19. 证明： 在△ABC和△AEC中， { AB = AC (已知) { AD = AE (已知) { ∠BAD = ∠CAE (等式的性质，因为∠BAD=∠BAC-∠CAD, ∠CAE=∠BAC-∠BAD, ∠CAD=∠BAE) ∴ △ABD ≌ △ACE (SAS) ∴ BD = CE (全等三角形的对应边相等)

20. 证明： ∵ AF = CE (已知) ∴ AF + FE = CE + FE (等式性质) 即 AE = CF ∵ AB ∥ CD (已知) ∴ ∠AFB = ∠CFE (对顶角相等) 在△ABF和△CDE中， { ∠AFB = ∠CFE (已证) { AB = CD (已知) { ∠A = ∠C (两直线平行，内错角相等) ∴ △ABF ≌ △CDE (ASA) (注：也可以先证∠B=∠D，然后用AAS)

21. 解： (1) 证明： ∵ AB = AC (已知) ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上。 ∵ D是BC的中点 (已知) ∴ AD是BC的垂直平分线。 ∴ 点E在AD的延长线上，也在BC的垂直平分线上。 ∴ EB = EC (线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)。 在△ABE和△ACE中， { AB = AC (已知) { AE = AE (公共边) { BE = CE (已证) ∴ △ABE ≌ △ACE (SSS) (2) ∵ △ABE ≌ △ACE (已证) ∴ △ABE的面积 = △ACE的面积。 又 ∵ △ABE的面积 + △ACE的面积 = △ABC的面积。 ∴ △ABE的面积 = (1/2) × △ABC的面积。 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是高。 AD = √(AB² - BD²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4。 S△ABC = (1/2) × BC × AD = (1/2) × 6 × 4 = 12。 ∴ S△ABE = (1/2) × 12 = 6。

22. 解： (1) 证明： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°。 ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。 ∵ CD是AB边上的高， ∴ ∠BDC = 90°。 在Rt△BDC中，∠DBC = ∠ABC = 60°。 ∴ ∠BCD = 180° - 90° - 60° = 30°。 ∴ ∠A = ∠BCD = 30°。 在Rt△ABC和Rt△CBD中， { ∠A = ∠BCD (已证) { ∠ACB = ∠BDC = 90° (已知) { ∠ABC = ∠CBD (公共角) ∴ △ABC ∽ △CBD (AA) ∴ BC / AB = CD / BC = BD / CB ∴ BC² = AB × BD (这个结论也可以用勾股定理证明) (注：更简单的方法是：在Rt△ABC中，∠A=30°，所以BC = (1/2)AB。) (2) 解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8cm。 ∴ BC = (1/2) × AB = (1/2) × 8 = 4cm。 在Rt△BDC中，∠BCD=30°，BC=4cm。 ∴ CD = BC × cos(∠BCD) = 4 × cos(30°) = 4 × (√3/2) = 2√3 cm。 (或者利用面积法：S△ABC = (1/2)AC×BC = (1/2)AB×CD) AC = √(AB² - BC²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 cm。 (1/2) × 4√3 × 4 = (1/2) × 8 × CD 8√3 = 4CD CD = 2√3 cm。

23. 解： (1) 证明： ∵ △ABD沿BD翻折得到△EBD， ∴ ∠ABD = ∠EBD，AB = EB。 ∵ AB = AC，∠BAC=90°， ∴ EB = AC。 ∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠ABE + ∠EBC = 90°。 ∵ ∠ABD = ∠EBD， ∴ ∠EBD + ∠EBC = 90°。 即 ∠DBC = 90° - ∠EBC。 又 ∵ ∠ACB = 90° - ∠EBC， ∴ ∠DBC = ∠ACB。 在△BDF和△CDF中， { ∠DBC = ∠ACB (已证) { ∠BFD = ∠CFD (对顶角相等) { ∠BDF = ∠CDF (因为BD是公共边，且翻折后重合，所以角平分线性质) ∴ △BDF ≌ △CDF (AAS) ∴ BF = CF。 在△BEF中，BE = AC，且F是AC的中点（因为AB=AC，∠BAC=90°，若F是AC中点则BF=CF，但这里需要证明BF=CF）。 (修正证明思路)： 由△ABD ≌ △EBD，得∠A = ∠E = 90°。 ∵ ∠BAC = 90°，且点F在AC上， ∴ ∠EFC = 90°。 ∵ ∠EFC = 90°，∠BAC = 90°， ∴ ∠FEC + ∠FCE = 90°, ∠ABF + ∠BAF = 90°。 ∵ ∠BAF = ∠FCE = 45° (因为AB=AC, ∠BAC=90°), ∴ ∠ABF = ∠FEC。 在△ABF和△ECF中， { ∠ABF = ∠ECF (已证) { ∠AFB = ∠EFC (对顶角相等) { AB = EC (已证) ∴ △ABF ≌ △ECF (AAS) ∴ BF = EF。 ∴ △BEF是等腰三角形。 (2) 解：由(1)知，BF=EF。 ∵ AB=AC, ∠BAC=90°， ∴ ∠ABC=45°。 ∵ AB=AC=BC/√2 = 10/√2 = 5√2。 ∵ △ABD ≌ △EBD， ∴ AD = ED。 在Rt△ADC中，∠CAD=45°，AC=5√2， ∴ CD = AC × sin(45°) = 5√2 × (√2/2) = 5。 设DF = x，则AF = 5√2 - 5, CF = 5 - x。 由(1)知△ABF ≌ △ECF，所以AF=CF。 即 5√2 - 5 = 5 - x x = 10 - 5√2。 (或者用勾股定理)： 在Rt△AFD中，AD² = AF² + DF²。 在Rt△EFD中，ED² = EF² + DF²。 因为AD=ED，所以AF² = EF²。 AF = EF。 AF + CF = AC = 5√2。 EF + CF = BC = 10。 两式相减：(EF + CF) - (AF + CF) = 10 - 5√2。 EF - AF = 10 - 5√2。 又因为EF=AF，所以0=10-5√2，矛盾，说明(1)的证明有误。 重新证明(1): ∵ △ABD沿BD翻折得到△EBD， ∴ ∠ABD = ∠EBD，AB = EB，AD = ED。 ∵ AB = AC，∠BAC=90°， ∴ EB = AC。 ∵ ∠BAC=90°，且点F在AC上， ∴ ∠BFC = 90°。 ∴ ∠FBC + ∠FCB = 90°。 ∵ ∠EBD = ∠ABD， ∴ ∠FBE + ∠FBC = ∠ABD + ∠ABC = 2∠ABD。 ∠ABD + ∠ABC = ∠ABD + 45°。 这个思路似乎复杂了。 最简单思路: ∵ △ABD沿BD翻折， ∴ ∠ABD = ∠EBD。 ∵ AB = AC，∠BAC = 90°， ∴ ∠ABC = ∠ACB = 45°。 ∴ ∠FBC = 45° - ∠EBD。 ∵ ∠BFC = 90°， ∴ ∠BFC = ∠BAC。 又因为∠FBC = ∠EBA - ∠EBC，这个也不好。 回到AAS: 在△ABF和△ECF中：

    1. AB = EC (由AB=AC和翻折得到EB=AB)
    2. ∠AFB = ∠EFC (对顶角)
    3. 需要证明∠BAF = ∠CEF。 ∵ ∠BAF = 45°。 ∵ ∠AEB = ∠ABD = (180°-90°)/2 = 45° (因为△ABE是等腰直角三角形)。 ∴ ∠CEF = 90° - ∠AEB = 90° - 45° = 45°。 ∴ ∠BAF = ∠CEF = 45°。 ABF ≌ △ECF (AAS)。 ∴ BF = EF。 ∴ △BEF是等腰三角形。 (2) 解：由(1)知△ABF ≌ △ECF， ∴ AF = CF。 ∵ AC = AB = BC/√2 = 10/√2 = 5√2。 ∴ AF = CF = AC/2 = (5√2)/2。 在Rt△AFD中，∠AFD=90°，AF=(5√2)/2。 ∠CAD = 45°， ∴ AD = AF / cos(45°) = ((5√2)/2) / (√2/2) = 5。 在Rt△AFD中，根据勾股定理： DF² = AD² - AF² = 5² - ((5√2)/2)² = 25 - (25×2)/4 = 25 - 12.5 = 12.5。 DF = √12.5 = √(25/2) = (5√2)/2。 最终答案: (1) 证明见上。 (2) DF = (5√2)/2。