2025九年级数学期末考什么重点？

校园之窗 2025年12月20日 17:10:21 99ANYc3cd6 1 0

第一部分：2025九年级数学期末核心考点分析

九年级上学期的数学内容承上启下，是整个初中数学的重点和难点,期末考试主要考察以下几个模块：

一元二次方程

这是九年级上册的核心内容,也是考试的重中之重。

（图片来源网络，侵删）

核心考点：
1. 概念与解法：
  - 理解一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0 (a≠0)。
  - 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。公式法是通用方法，必须牢固掌握；因式分解法最快捷,要优先尝试。
2. 根的判别式 (Δ)：
  - Δ = b² - 4ac
  - Δ > 0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根。
  - Δ = 0 ⇔ 方程有两个相等的实数根（即一个重根）。
  - Δ < 0 ⇔ 方程没有实数根。
  - 常用于不解方程,判断根的情况或求待定系数的取值范围。
3. 根与系数的关系（韦达定理）：
  - 若 x₁, x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的两根，则：
    - x₁ + x₂ = -b/a
    - x₁ · x₂ = c/a
  - 常用于求与方程两根相关的代数式的值（如 x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂ 等）。
4. 应用题：
  - 主要涉及增长率问题、面积问题、利润问题等,关键在于正确地列出方程。

二次函数

这是本学期另一个绝对的重点和难点，综合性强,分值占比高。

核心考点：
1. 图像与性质：
  - 掌握 y = ax², y = ax² + k, y = a(x-h)², y = a(x-h)² + k 这四种函数图像的平移规律（“左加右减，上加下减”）。
  - 熟练掌握一般式 y = ax² + bx + c 的性质：
    - 开口方向：a > 0 向上，a < 0 向下。
    - 对称轴：x = -b/(2a)
    - 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) 或 (-b/(2a), f(-b/(2a)))
    - 最值：当 a > 0 时，有最小值；当 a < 0 时,有最大值。
2. 解析式的求法：
  - 一般法： 利用图像上三个点的坐标，代入 y = ax² + bx + c 建立三元一次方程组求解。
  - 顶点法： 已知顶点坐标 (h, k)，设 y = a(x-h)² + k，再利用另一个点求 a。
  - 交点法（两根式）： 已知与x轴的交点 (x₁, 0) 和 (x₂, 0)，设 y = a(x-x₁)(x-x₂)，再利用另一个点求 a。
3. 与一元二次方程、不等式的关系：
  - 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与x轴的交点的横坐标，就是对应的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。
  - ax² + bx + c > 0 (或 < 0) 的解集，就是二次函数图像在x轴上方（或下方）所对应的x的取值范围。
4. 实际应用：
  最优化问题：如最大利润、最大面积等,本质上是求二次函数的最值。

旋转

这是几何部分的新增内容,主要考察空间想象能力和逻辑推理能力。

核心考点：
1. 旋转的定义与性质：
  - 理解旋转中心、旋转角度、旋转方向。
  - 掌握旋转的性质：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
2. 作图：
  能按要求画出一个图形旋转后的图形。
  （图片来源网络，侵删）
3. 旋转与中心对称：
  理解中心对称是旋转角度为180°的特殊旋转。
4. 应用：
  利用旋转的性质证明线段相等、角相等,或解决一些几何计算问题。

圆

圆是初中几何的集大成者，知识点多,综合性强。

核心考点：
1. 圆的基本概念与性质：
  - 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
  - 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
  - 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
  - 圆内接四边形的对角互补。
2. 点、直线与圆的位置关系：
  - 点与圆、直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）的判定。
  - 切线的性质与判定：
    - 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
    - 判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3. 圆与圆的位置关系：
  - 外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的判定（用 d 与 R±r 的关系）。
4. 弧长和扇形面积的计算：
  - 弧长公式：l = (n/360) · 2πr
  - 扇形面积公式：S = (n/360) · πr² 或 S = (1/2)lr

概率初步

核心考点：
1. 用列举法（列表法、画树状图法）计算简单事件的概率。
2. 理解概率的意义，会用频率估计概率。

第二部分：2025九年级数学期末模拟试题

（考试时间：120分钟，满分：120分）

（图片来源网络，侵删）

选择题（每题3分，共30分）

方程 x² - 4 = 0 的根是 A. x = 2 B. x = -2 C. x₁ = 2, x₂ = -2 D. x = 4
抛物线 y = 2(x-3)² + 1 的顶点坐标是 A. (3, 1) B. (-3, 1) C. (3, -1) D. (-3, -1)
已知 x = 2 是一元二次方程 x² - mx + 2 = 0 的一个根，则 m 的值是 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 等边三角形
在平面直角坐标系中，将点 A(2, 3) 绕原点 O 逆时针旋转180°，得到的点 A' 的坐标是 A. (-2, -3) B. (-2, 3) C. (2, -3) D. (3, 2)
已知 ⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 A. 1/3 B. 1/5 C. 3/8 D. 5/8
若关于 x 的一元二次方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 A. k > 1 B. k < 1 C. k ≥ 1 D. k ≤ 1
如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA = 6，PB = 3，则⊙O的半径为 A. 3√3 B. 3 C. 9/2 D. 5 (注：此题需要画图，利用切割线定理 PA² = PB·PO 求解)
二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示，下列结论： ① abc > 0 ② a + b + c < 0 ③ b² - 4ac > 0 ④ 4a - 2b + c > 0 其中正确的结论个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (注：此题需要图像，根据开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点等综合判断)

填空题（每题3分，共24分） 11. 方程 x(x-2) = 0 的解是 ____。 12. 抛物线 y = -x² + 2x - 3 的开口向 ____。 13. 已知 x₁, x₂ 是方程 x² - 5x - 6 = 0 的两根，则 x₁ + x₂ = ____。 14. 一个扇形的圆心角为120°，半径为6，则这个扇形的面积为 ____。 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则它的内切圆半径为 ____。 16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，BE=2，则CD= ____。 (注：此题需用垂径定理) 17. 将抛物线 y = x² 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ____。 18. 从-1, 0, 1, 2, 3 这五个数中，随机抽取一个数，作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在第二象限的概率是 ____。

解答题（共66分） 19. (8分) 解一元二次方程：2x² - 4x - 1 = 0。 20. (8分) 已知二次函数的图像经过点 A(1, 0), B(3, 0) 和 C(0, -3)，求这个二次函数的解析式。 21. (8分) 如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，把△ADC绕点D旋转180°，得到△EDB。 (1) 求证：四边形ABEC是平行四边形。 (2) 若 AB = 6, AC = 8，求四边形ABEC的面积。 22. (10分) 某商店购进一种商品，进价为每件40元，市场调查发现，若按每件50元销售，平均每天可售出20件；若销售单价每涨1元，每天销售量就减少1件，设销售单价为 x 元，每天的销售利润为 y 元。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式。 (2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. (10分) 如图，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC经过点O，PA = 12，PB = 8。 (1) 求⊙O的半径。 (2) 求tan∠BAP的值。 24. (12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = -x² + bx + c 与x轴交于点A(-1, 0)和点B(3, 0)，与y轴交于点C。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点M是抛物线上位于x轴下方的一个动点，求△MBC面积的最大值。 (3) 若点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使得以点B, C, P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由。

第三部分：备考建议与答题技巧

回归课本，夯实基础：
- 课本上的概念、公式、定理是解题的根本,确保对所有基本概念的理解清晰无误。
- 课本上的例题和课后习题是最好的练习材料，务必弄懂、做会。
专题突破，攻克难点：
- 针对“二次函数综合题”、“圆的综合证明与计算”、“动点问题”等压轴题，进行专题训练,总结这类题目的解题通法和技巧。
- 对于旋转、相似、全等几何问题，要善于添加辅助线,将复杂问题转化为简单问题。
整理错题，查漏补缺：
- 准备一个错题本,记录下所有做错的题目。
- 定期回顾错题，分析错误原因（是概念不清、计算失误还是思路错误）,确保不再犯同类错误。
规范答题，步骤清晰：
- 解答题是按步骤给分的，即使最后答案算错了,清晰的步骤也能拿到大部分分数。
- 解题过程要写清楚，如“设...”、“由...得...”、“∵... ∴...”等,逻辑要严谨。
- 几何证明题要写出“因为.....”的因果关系。
合理分配时间，先易后难：
- 考试时，先快速浏览全卷,做到心中有数。
- 做选择题和填空题时，遇到难题不要纠缠，果断跳过,先做后面的解答题。
- 留出10-15分钟检查,重点检查计算和填涂答题卡。
保持良好心态：

期末考试是对一学期学习成果的检验，放平心态，正常发挥就是胜利，遇到难题不慌张,相信自己平时的积累。