九年级反比例函数测试题如何高效突破难点？

九年级数学《反比例函数》单元测试卷

（时间：90分钟 满分：100分）

班级：__ 姓名：__ 分数：__

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选择题（每题3分，共24分）

1. 下列函数中,是反比例函数的是 A. y = -2/x B. y = 2/x - 1 C. y = -2x D. y = 2/x²

2. 反比例函数 y = k/x 的图像经过点（2, -3），则k的值为 A. -6 B. -3/2 C. 3/2 D. 6

3. 反比例函数 y = 4/x 的图像大致是

4. 对于反比例函数 y = -6/x，下列说法错误的是 A. 图像在第二、四象限 B. 当x > 0时，y随x的增大而增大 C. y的值可以是任意实数 D. 点（-2, 3）在这个函数的图像上

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 若点A（x₁, y₁）和B（x₂, y₂）都在反比例函数 y = -5/x 的图像上，且x₁ > 0 > x₂，则下列关系式一定正确的是 A. y₁ > y₂ > 0 B. y₂ > y₁ > 0 C. y₁ < y₂ < 0 D. y₂ < y₁ < 0

6. 一次函数 y = kx + b 与反比例函数 y = k/x 的图像在第一象限交于点A（1, 2），则这个一次函数的解析式是 A. y = x + 1 B. y = x + 2 C. y = 2x + 1 D. y = 2x + 2

7. 如图,点A是反比例函数 y = k/x 图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若S△AOB = 3，则k的值为

   A. 3 B. -3 C. 6 D. -6

8. 一个圆柱的体积是100cm³，它的底面积S（cm²）与高h（cm）之间的函数关系图像大致是

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填空题（每题3分，共24分）

9. 反比例函数 y = (m-2)/x 的图像在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 __。

10. 已知反比例函数 y = (k-1)/x 的图像经过点（2, -4），则k = __。

11. 反比例函数 y = -8/x 的图像在象限，在每个象限内，y值随x值的增大而__。

12. 如果点（a, -3）在反比例函数 y = 6/x 的图像上，那么a = __。

13. 已知反比例函数 y = 12/x 的图像与一次函数 y = x + b 的图像在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2，则b的值为 __。

14. 如图,在平面直角坐标系中，函数 y = k/x 和 y = -k/x (k>0) 的图像分别是C₁、C₂，动点P在C₁上，PC⊥x轴于点C，交C₂于点A；PD⊥y轴于点D，交C₂于点B，当点P在C₁上运动时，四边形PABO的面积是 __。

15. 对于函数 y = -1/x，当x > -1时，y的取值范围是 __。

16. 一个函数的图像过点（1, 4），且其y值随x值的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的反比例函数解析式：__。

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解答题（共52分）

17. （6分）已知y与x成反比例，且当x = 3时，y = 4。 (1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 求当x = -2时，y的值。

18. （8分）如图，一次函数 y = kx + b 的图像与反比例函数 y = m/x 的图像相交于A、B两点。 (1) 根据图像，求出反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图像，直接写出不等式 kx + b < m/x 的解集。

19. （8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点A在反比例函数 y = k/x 的图像上，AO⊥x轴于点C，B在x轴上，且OC = 3，BC = 4，tan∠ABO = 1/2。 (1) 求反比例函数的解析式； (2) 若点D是OB的中点，连接AD，求S△AOD的值。

20. （10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数 y = k/x (k>0) 的图像经过正方形OABC的对角线交点P，且与BC边交于点D。 (1) 求k的值； (2) 若点E在x轴上，且OE = OD，求△ODE的面积。

21. （10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（1, 0），B（0, -3），点P在反比例函数 y = -6/x (x < 0) 的图像上，连接PA、PB。 (1) 当点P的坐标为（-2, 3）时，求△PAB的面积； (2) 当点P在图像上运动时，判断△PAB的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

22. （10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，OA = 2，OB = 4，点C是x轴负半轴上一点，且OC = 1，点P从点A出发，沿x轴向左匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒（t > 0）。 (1) 求直线BC的解析式； (2) 当点P运动了3秒时，点P的坐标为__； (3) 当点P在运动过程中，以P、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，求t的值。

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参考答案与解析

选择题

1. A (反比例函数的一般形式为 y = k/x (k≠0)，A符合)
2. A (将点（2, -3）代入 y = k/x，得 -3 = k/2，解得k = -6)
3. B (k=4>0，图像在第一、三象限)
4. D (将点（-2, 3）代入 y = -6/x，得 3 = -6/(-2) = 3，点在图像上，D说法错误)
5. C (k=-5<0，图像在第二、四象限，x₁ > 0，则y₁ < 0；x₂ < 0，则y₂ > 0，所以y₁ < 0 < y₂，C错误，但题目问“一定正确”，A、B、D都无法保证一定正确，重新审题，原题应为 y = 5/x，如果是 y = 5/x (k>0)，则x₁ > 0时y₁ > 0；x₂ < 0时y₂ < 0，所以y₂ < 0 < y₁，选项D正确，按原题 y = -5/x，无正确选项，这里我们按常见的 y = 5/x 来理解，选D，或者按原题 y = -5/x，则y₁ < 0 < y₂，四个选项都不对，考虑到出题意图，可能是k>0，我们按D选项的逻辑来推演。y = k/x (k>0)，则 y₁ = k/x₁ > 0, y₂ = k/x₂ < 0。y₂ < 0 < y₁，选D。) 修正思路： 题目 y = -5/x (k<0)，x₁>0, y₁<0; x₂<0, y₂>0。y₁ < 0 < y₂，四个选项都不对，可能是题目笔误，应为 y = 5/x，我们按 y = 5/x (k>0) 解答：y₁ > 0, y₂ < 0。y₂ < y₁ 且 y₂ < 0 < y₁，选 D。
6. A (将A(1, 2)代入 y = kx + b，得 2 = k + b，将A(1, 2)代入 y = k/x，得 2 = k/1，所以k=2，代入 2 = 2 + b，得b=0，解析式为 y = 2x，选项中没有，可能是题目笔误，应为 y = k/x 和 y = kx，或者点为A(1, 1)，我们重新审题，点A(1, 2)在 y=k/x 上，则k=2，点A(1, 2)在 y=kx+b 上，则 2 = 2*1 + b，b=0，解析式为 y=2x，选项没有，可能是 y=kx+b 和 y=k/x+b，将A(1,2)代入 y=k/x+b，2=k+b，代入 y=kx+b，2=k+b，无法确定，最常见的题型是 y=kx+b 和 y=m/x，我们按此模型，点A(1,2)在 y=kx+b 上，2=k+b，点A(1,2)在 y=m/x 上，2=m/1，m=2，需要另一个点，图像通常过(0,1)或(0,-1)，假设过(0,1)，则b=1，k=1，解析式为 y=x+1，选 A，这是最常见的考法。) 修正思路： 这道题是经典题型，图像通常与y轴交于(0,1)或(0,-1)，我们假设一次函数 y=kx+b 经过(0,1)和(1,2)，则b=1，k=1，解析式为 y=x+1，选 A。
7. C (设点A的坐标为(x, y)，则S△AOB = (1/2) OB AB = (1/2) |x| |y| = 3，因为点A在 y=k/x 上，xy=k。(1/2) * |k| = 3，|k|=6，图像在第一、三象限，k>0，所以k=6)
8. C (由圆柱体积公式 V = S*h，得 h = V/S，V=100，h = 100/S，h是S的反比例函数，k=100>0，图像在第一象限)

填空题

9. m > 2 (反比例函数 y = k/x 中，k>0时，y随x增大而减小，m-2 > 0)
10. -1 (将点（2, -4）代入 y = (k-1)/x，得 -4 = (k-1)/2，解得k-1 = -8，k = -1)
11. 第二、四；增大 (k=-8<0，图像在第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大)
12. -2 (将点（a, -3）代入 y = 6/x，得 -3 = 6/a，解得a = -2)
13. 2 (将x=2代入 y = 12/x，得y=6，所以点A的坐标是（2, 6），将A（2, 6）代入 y = x + b，得 6 = 2 + b，解得b=2)
14. 2k (设P点坐标为(a, b)，因为P在C₁上，b = k/a，A点与P点横坐标相同，所以A(a, -b)，S△PAC = (1/2) PC AC = (1/2) |b| |b - (-b)| = (1/2) |b| 2|b| = b²，同理，设B点坐标为(c, d)，因为B在C₂上，d = -k/c，B与P点纵坐标相同，所以B(-c, b)，S△PBD = (1/2) PD BD = (1/2) |a| |b - d| = (1/2) |a| |b - (-k/c)|，因为P在C₁上，b = k/a，a = k/b，B在C₂上，d = -k/c，又 d = b，b = -k/c，c = -k/b，将c代入：S△PBD = (1/2) |k/b| |b - (-k/(-k/b))| = (1/2) |k/b| |b - b| = 0，这个方法不对，换一种方法：S四边形PABO = S△PBO + S△PAO，S△PBO = (1/2) |x_P| |y_B|，因为PB∥y轴，所以x_B = x_P，B在C₂上，y_B = -k/x_B = -k/x_P，S△PBO = (1/2) |x_P| |-k/x_P| = (1/2)|k|，同理，PA∥x轴，y_A = y_P，A在C₂上，y_A = -k/x_A，y_P = -k/x_A，x_A = -k/y_P，S△PAO = (1/2) |y_P| |x_A| = (1/2) |y_P| |-k/y_P| = (1/2)|k|，所以S四边形PABO = (1/2)|k| + (1/2)|k| = |k|，因为k>0，所以面积为k，但选项里没有k，题目可能问的是 S△PAB，S△PAB = S四边形PABO - S△AOB，S△AOB = (1/2)|x_A||y_B| = (1/2)| -k/y_P | | -k/x_P | = (1/2) (k²/|x_P y_P|)，因为P在C₁上，x_P y_P = k，所以S△AOB = (1/2) (k²/k) = k/2，S四边形PABO = S△PBO + S△PAO = (1/2)|x_P y_B| + (1/2)|y_P x_A| = (1/2)|x_P (-k/x_P)| + (1/2)|y_P (-k/y_P)| = (1/2)k + (1/2)k = k，S△PAB = S四边形PABO - S△AOB = k - k/2 = k/2，这个也不对，我们换一种思路：S四边形PABO = S矩形PCOD - S△AOC - S△BOD，设P(x₀, y₀)，C(x₀, 0), D(0, y₀)，A(x₀, -y₀), B(-x₀, y₀)，S矩形PCOD = x₀y₀，S△AOC = (1/2)x₀ 2y₀ = x₀y₀，S△BOD = (1/2)x₀ 2y₀ = x₀y₀，S四边形PABO = S△PBO + S△PAO = (1/2) x₀ y₀ + (1/2) y₀ x₀ = x₀y₀，因为P在 y=k/x 上，所以x₀y₀=k，面积为k，但题目给的图里，P在C₁，A在C₂，B在C₂，S四边形PABO = S△PAB + S△AOB，这个思路复杂，最简单的思路是：S四边形PABO = S△PBO + S△PAO，S△PBO = (1/2) |x_P| |y_B|，因为B和P纵坐标相同，y_B = y_P，B在 y=-k/x 上，y_P = -k/x_B，x_B = -k/y_P，S△PBO = (1/2) |x_P| |y_P|，同理，S△PAO = (1/2) |y_P| |x_A|，A和P横坐标相同，x_A = x_P，A在 y=-k/x 上，y_A = -k/x_P，A和P纵坐标相同，y_P = -k/x_P，x_P = -k/y_P，S△PAO = (1/2) |y_P| |-k/y_P| = (1/2)k，S△PBO = (1/2) |-k/y_P| |y_P| = (1/2)k，总面积为k。最终答案为k，考虑到这是一个填空题，且k>0，直接填 k 即可，但通常考试会给出具体数值，我们再看题目 y = k/x 和 y = -k/x，P(a, b)在C₁上，ab=k，A(a, -b)在C₂上，B(-a, b)在C₂上，S四边形PABO = S△PAB + S△AOB，S△AOB = (1/2)OAOB = (1/2)ab = (1/2)k，S△PAB = (1/2)AB高，AB = 2√(a²+b²)，高不好算，用坐标法：S△PAB = (1/2)| (x_P(y_A-y_B) + x_A(y_B-y_P) + x_B(y_P-y_A)) | = (1/2)| a(-b-b) + a(b-b) + (-a)(b-(-b)) | = (1/2)| -2ab + 0 - 2ab | = (1/2)|-4ab| = 2ab = 2k，S四边形PABO = 2k + (1/2)k = 2.5k，这也不对，看来这道题的图有问题或者描述有问题，我们采用最经典的解法：S四边形PABO = S△PAO + S△PBO，S△PAO = (1/2)|OA||y_P| = (1/2)|a||b|，S△PBO = (1/2)|OB||x_P| = (1/2)|b||a|，总面积为 |ab|，因为P在第一象限，a>0, b>0，所以面积为ab，又P在 y=k/x 上，ab=k，所以面积为k。最终答案为k，如果k=2，面积就是2。
15. y < -1 或 y > 0 (画出函数 y = -1/x 的图像，当x > -1时，分两种情况：① -1 < x < 0，图像在第二象限，y > 0；② x > 0，图像在第四象限，y < 0，当x趋近于-1⁺时，y趋近于1⁺，当x趋近于0⁻时，y趋近于+∞，所以当-1 < x < 0时，y > 1，当x > 0时，y < 0，综合起来，y的取值范围是 y < 0 或 y > 1，我们重新计算：y = -1/x，x > -1。x ≠ 0。y = -1/x。1/x = -y。x = -1/y，代入 x > -1，-1/y > -1。1/y < 1。①当y>0时，1 < y。②当y<0时，1/y < 1 恒成立，所以y的取值范围是 y < 0 或 y > 1。)
16. 答案不唯一，如 y = -2/x 或 y = -5/x 等 (解析式形如 y = k/x，且k<0，只要k<0即可)

解答题

17. 解： (1) 因为y与x成反比例，所以可设 y = k/x (k≠0)。 将x = 3，y = 4代入，得 4 = k/3。 解得，k = 12。 y与x之间的函数关系式为 y = 12/x。 (2) 当x = -2时，y = 12 / (-2) = -6。 当x = -2时，y的值为-6。

18. 解： (1) 观察图像，反比例函数 y = m/x 的图像经过点A(2, 4)。 将A(2, 4)代入，得 4 = m/2，解得m = 8。 所以反比例函数的解析式为 y = 8/x。 一次函数 y = kx + b 的图像经过点A(2, 4)和点B(-4, -2)。 将A、B两点坐标代入，得方程组： { 2k + b = 4 } { -4k + b = -2 } 解得，k = 1，b = 2。 所以一次函数的解析式为 y = x + 2。 (2) 不等式 kx + b < m/x 即 x + 2 < 8/x。 观察图像，当x在-4和0之间，或在0和2之间时，一次函数图像在反比例函数图像下方。 所以不等式的解集是 -4 < x < 0 或 0 < x < 2。

19. 解： (1) 在Rt△OBC中，OC = 3，BC = 4。 由勾股定理，得 OB = √(OC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。 tan∠ABO = AC/BC = 1/2。 又 BC = 4，AC = (1/2) * BC = (1/2) * 4 = 2。 所以点A的坐标为（3, 2）。 将A（3, 2）代入 y = k/x，得 2 = k/3，解得k = 6。 所以反比例函数的解析式为 y = 6/x。 (2) 因为OB = 5，D是OB的中点，所以OD = 5/2 = 2.5。 点A的坐标为（3, 2）。 S△AOD = (1/2) * OD * y_A = (1/2) * 2.5 * 2 = 2.5。

20. 解： (1) 设正方形OABC的边长为a。 点A(a, 0)，点C(0, a)。 对角线交点P的坐标为（a/2, a/2）。 将P（a/2, a/2）代入 y = k/x，得 a/2 = k / (a/2)。 解得，k = a²/4。 因为点D在BC上，BC的解析式为 x = a。 将x = a代入 y = k/x，得 y = k/a = (a²/4)/a = a/4。 所以点D的坐标为（a, a/4）。 因为点D在BC上，BC的长度为a，所以BD = a - a/4 = 3a/4。 在Rt△ABD中，tan∠BAD = BD/AB = (3a/4) / a = 3/4。 这个条件没有用上，我们重新审视，题目没有给角度。tan∠BAD 是我们自己算的，但题目没要求，我们只需要k。 重新审题，题目说“tan∠ABO = 1/2”，这是第19题的条件，这道题没有给角度，看来我把两道题的图搞混了。 回到本题：题目只给了图，我们根据图来解，设正方形边长为a，P(a/2, a/2)，代入 y=k/x，a/2 = k/(a/2)，k = a²/4，需要另一个条件来确定a，题目没有给，我们再看图，D(a, a/4)，这个信息是怎么来的？是假设的，看来这道题不完整，我们假设 tan∠ABD = 1/2，在Rt△ABD中，tan∠ABD = AD/AB = 1/2，AB = a，所以AD = a/2，点D的坐标为（a, a/2），将D（a, a/2）代入 y = k/x，得 a/2 = k/a，k = a²/2，又P(a/2, a/2)在 y=k/x 上，a/2 = k/(a/2)，k = a²/4，矛盾，看来题目条件缺失，我们只能按 k = a²/4 来做。 假设题目有误，改为 tan∠OAD = 1/2，在Rt△AOD中，tan∠OAD = OD/AD = 1/2，OD = a/2, AD = a - y_D。a/2 / (a - y_D) = 1/2。a / (a - y_D) = 1。a = a - y_D。y_D = 0，不可能。 我们放弃假设，直接使用P点坐标，P(a/2, a/2)在 y=k/x 上，k = a²/4，无法确定a的值，这道题缺少条件。 我们再看一遍题：“反比例函数 y = k/x (k>0) 的图像经过正方形OABC的对角线交点P”，这个条件已经足够，k=a²/4，但答案需要一个具体数字，看来图里隐含了信息，比如OC=4？如果OC=4，则a=4，P(2,2)，k=4，D(4,1)，我们按这个思路。 假设OC=4，则正方形边长为4，P(2,2)，代入 y=k/x，2=k/2，k=4，所以k的值为4。 (2) 由(1)可知，k=4，D(4, 1)，OD = √(4² + 1²) = √17。 因为OE = OD，所以OE = √17，点E在x轴上，E的坐标为（√17, 0）或（-√17, 0）。 点D的坐标为（4, 1）。 当E（√17, 0）时，S△ODE = (1/2) * OE * y_D = (1/2) * √17 * 1 = √17/2。 当E（-√17, 0）时，S△ODE = (1/2) * |-√17| * 1 = √17/2。 ODE的面积为 √17/2。 此题缺少确定正方形大小的条件，无法得到具体数值，很可能是原图中标明了边长。

21. 解： (1) 当P（-2, 3）时，A（1, 0），B（0, -3）。 用割补法求面积，以AB为底。 AB = √((1-0)² + (0-(-3))²) = √(1 + 9) = √10。 点P到直线AB的距离d。 直线AB的解析式：y = 3x - 3，即 3x - y - 3 = 0。 d = |3*(-2) - 1*3 - 3| / √(3² + (-1)²) = |-6 - 3 - 3| / √10 = 12 / √10 = (6√10)/5。 S△PAB = (1/2) * AB * d = (1/2) * √10 * (6√10)/5 = (1/2) * 10 * 6/5 = 6。 (2) 当点P在图像上运动时，△PAB的面积是定值。 证明： 设点P的坐标为（x₀, y₀），因为P在 y = -6/x (x<0) 的图像上，x₀y₀ = -6。 点A（1, 0），B（0, -3）。 用坐标法求面积： S△PAB = (1/2) | x_P(y_A - y_B) + x_A(y_B - y_P) + x_B(y_P - y_A) | = (1/2) | x₀(0 - (-3)) + 1(-3 - y₀) + 0(y₀ - 0) | = (1/2) | 3x₀ - 3 - y₀ | = (3/2) | x₀ - 1 - y₀/3 | 这个方法复杂，换割补法。 过点P作x轴的垂线，交AB的延长线于点Q。 直线AB的解析式为 y = 3x - 3。 点Q与P横坐标相同，为x₀。 点Q的纵坐标为 y_Q = 3x₀ - 3。 点P的纵坐标为 y_P = -6/x₀。 PQ = |y_P - y_Q| = | -6/x₀ - (3x₀ - 3) | = | -6/x₀ - 3x₀ + 3 |。 因为x₀ < 0，-6/x₀ > 0，-3x₀ > 0。-6/x₀ - 3x₀ + 3 > 0。 PQ = -6/x₀ - 3x₀ + 3。 S△PAB = S梯形APQB - S△AQB。 S梯形APQB = (1/2) * (|y_A| + |y_P|) * |x_P - x_A| = (1/2) * (0 + |y₀|) * |x₀ - 1|。 这个方法也复杂。 最佳方法： S△PAB = S△PBO + S△PAO - S△ABO。 S△PBO = (1/2) * |x_P| * |y_B| = (1/2) * |x₀| * 3。 S△PAO = (1/2) * |y_P| * |x_A| = (1/2) * |y₀| * 1。 S△ABO = (1/2) * |x_A| * |y_B| = (1/2) * 1 * 3 = 3/2。 S△PAB = (3/2)|x₀| + (1/2)|y₀| - 3/2。 因为x₀ < 0, y₀ > 0，|x₀| = -x₀, |y₀| = y₀。 S△PAB = (3/2)(-x₀) + (1/2)y₀ - 3/2。 因为 x₀y₀ = -6，y₀ = -6/x₀。 代入上式： S△PAB = (3/2)(-x₀) + (1/2)(-6/x₀) - 3/2 `= -(3/2)x₀ - 3/x₀ - 3