五年级上册方程解应用题，如何快速找等量关系？

为什么学习用方程解应用题？（方程的优势）

在四年级之前，我们主要用算术方法（综合算式）解应用题，算术方法是把未知数当成一个目标,通过已知条件一步步推导出结果。

方程的优势在于：

1. 思路更直接： 可以把未知数用字母（如 x）表示出来，让它参与到运算中，使数量关系更清晰、更直接。
2. 适用性更广： 对于一些数量关系比较复杂或逆向思考的应用题,方程比算术方法更容易列出关系式。
3. 思维更统一： 方程提供了一种通用的解决问题的模式,为初中乃至更高阶的数学学习打下坚实基础。

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用方程解应用题的核心步骤（五步法）

这是一个必须熟练掌握的流程,每一步都不能少。

第一步：设未知数

• 目的： 把题目中要求的未知量用字母表示出来。
• 方法：
  • 通常设题目中问题直接问的那个量为 x。
  • “苹果比梨多多少个？”就设“梨的个数为 x”或“苹果的个数为 x”,再根据关系表示另一个。
  • 有时也可以设中间量为 x,让等式更容易建立。

第二步：找等量关系

• 这是最关键的一步！ 方程的灵魂就是等量关系。
• 方法： 仔细读题，找出题目中相等的数量关系。
• 常见等量关系类型：
  1. 和、差、倍关系： 如 甲数 + 乙数 = 总和，大数 - 小数 = 差，几倍数 = 一倍数 × 倍数。
  2. 公式关系： 如 路程 = 速度 × 时间，工作总量 = 工作效率 × 工作时间，总价 = 单价 × 数量，长方形面积 = 长 × 宽。
  3. “剩下”关系： 如 原有 - 用去 = 剩下。
  4. “比...多/少”关系： 如 一个数 = 另一个数 ± 多/少的量。

第三步：列方程

• 目的： 把找到的等量关系，用含有字母 x 的式子表示出来。
• 方法： 把等量关系两边的数量，分别用算式（可以包含 x）表示，然后用等号“=”连接起来。

第四步：解方程

• 目的： 求出未知数 x 的值。
• 方法： 根据等式的性质（方程两边同时加上、减去、乘以或除以同一个不为0的数，方程左右两边仍然相等）进行计算。
• 五年级核心技能：
  • ax + b = c 型方程
  • ax - b = c 型方程
  • ax ± bx = c 型方程（需要先合并同类项）

第五步：写答语并检验

• 写答语： 把解出的 x 的值代回原题,完整地回答问题。
• 检验（非常重要！）：
  • 代入检验法： 把求出的 x 的值代入原方程,看看等式左边是否等于右边。
  • 情境检验法： 把求出的 x 的值代入原题的情境中,看看是否符合题意。

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常见应用题题型及例题解析

我们通过几个经典例题来体会这五个步骤。

和差问题、倍数问题

例题1： 学校图书馆里科技书的本数是故事书的3倍，科技书比故事书多240本,科技书和故事书各有多少本？

解题过程：

第一步：设未知数 这道题有两个未知量，但它们之间有倍数关系，我们可以设“一倍量”为 x。 设：故事书有 x 本。 科技书就有 3x 本。

第二步：找等量关系 关键句：“科技书比故事书多240本”。 可以转化为等量关系：科技书的本数 - 故事书的本数 = 240

第三步：列方程 根据等量关系，列出方程： 3x - x = 240

第四步：解方程 2x = 240 x = 240 ÷ 2 x = 120

第五步：写答语并检验

• 求出另一个量： 科技书的本数 = 3x = 3 × 120 = 360 (本)
• 写答语： 答：故事书有120本,科技书有360本。
• 检验：
  • 代入检验：3 × 120 - 120 = 360 - 120 = 240 (符合方程)
  • 情境检验：科技书360本，故事书120本，科技书确实是故事书的3倍（360 ÷ 120 = 3），且多 360 - 120 = 240 本（符合题意）。

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行程问题

例题2： 甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶70千米；另一辆汽车从乙地开往甲地，每小时行驶50千米，两车同时开出,几小时后相遇？

解题过程：

第一步：设未知数 问题是“几小时后相遇”，设时间为 x 小时。 设：两车 x 小时后相遇。

第二步：找等量关系 行程问题核心公式：路程 = 速度 × 时间

• 甲车行驶的路程：70 × x (千米)
• 乙车行驶的路程：50 × x (千米)
• 等量关系：甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = 甲乙两地的总路程

第三步：列方程 70x + 50x = 420

第四步：解方程 120x = 420 x = 420 ÷ 120 x = 3.5

第五步：写答语并检验

• 写答语： 答：3.5小时后两车相遇。
• 检验：
  • 代入检验：70 × 3.5 + 50 × 3.5 = 245 + 175 = 420 (符合方程)
  • 情境检验：3.5小时后，甲车开了 70 × 3.5 = 245 千米，乙车开了 50 × 3.5 = 175 千米，总共行驶了 245 + 175 = 420 千米，正好是甲乙两地的距离（符合题意）。

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工程问题

例题3： 一项工程，由甲工程队单独完成需要10天，由乙工程队单独完成需要15天，两队合作,多少天可以完成这项工程？

解题过程：

第一步：设未知数 问题是“多少天可以完成”，设工作时间为 x 天。 设：两队合作 x 天可以完成这项工程。

第二步：找等量关系 工程问题核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 通常我们把整个工程的工作总量看作“1”。

• 甲队的工作效率（每天完成的工作量）：1 ÷ 10 = 1/10
• 乙队的工作效率：1 ÷ 15 = 1/15
• 两队合作的工作效率：1/10 + 1/15
• 等量关系：甲队完成的工作量 + 乙队完成的工作量 = 整个工程的工作总量（即“1”）

第三步：列方程 (1/10)x + (1/15)x = 1

第四步：解方程 x(1/10 + 1/15) = 1 x(3/30 + 2/30) = 1 x(5/30) = 1 x(1/6) = 1 x = 1 ÷ (1/6) x = 6

第五步：写答语并检验

• 写答语： 答：两队合作6天可以完成这项工程。
• 检验：
  • 代入检验：(1/10) × 6 + (1/15) × 6 = 6/10 + 6/15 = 3/5 + 2/5 = 5/5 = 1 (符合方程)
  • 情境检验：6天里，甲队完成了工程的 6/10，乙队完成了 6/15，两队一共完成了 6/10 + 6/15 = 1，即整个工程（符合题意）。

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解题技巧与注意事项

1. “设谁为x”的技巧： 优先设“一倍量”、“单位1”或问题直接要求的量为 x。
2. 单位要统一： 如果题目中单位不统一（如小时和分钟，米和千米）,要先统一单位再列方程。
3. 检验是习惯： 一定要养成检验的好习惯，这不仅能检查答案是否正确,还能加深对题意的理解。
4. 算术与方程对比： 对于同一个问题，可以尝试用算术方法和方程方法各解一遍，体会两种思维的差异，你会发现，对于逆向思考题，方程往往更简单。
   • 算术思维（例题1）： 把多的240本看作是故事书的（3-1）=2倍，所以故事书有 240 ÷ (3-1) = 120 本。
   • 方程思维（例题1）： 直接设故事书为 x，根据“科技书 - 故事书 = 240”列出 3x - x = 240,思路更顺。

希望这份详细的梳理能帮助你更好地掌握用方程解应用题！多加练习,你一定能熟练运用这个强大的数学工具。