初二数学试题答案在哪？

初中二年级数学期末模拟试卷

（考试时间：120分钟 满分：120分）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列根式中,是最简二次根式的是 A. $ \sqrt{8} $ B. $ \sqrt{12} $ C. $ \sqrt{a^2} $ D. $ \sqrt{5} $

2. 下列运算正确的是 A. $ (a^2)^3 = a^5 $ B. $ a^2 \cdot a^3 = a^6 $ C. $ (a+b)^2 = a^2 + b^2 $ D. $ a^6 \div a^2 = a^4 $

3. 一次函数 $ y = -2x + 3 $ 的图象不经过 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 下列四组线段中,能构成直角三角形的是 A. 1, 2, 3 B. 3, 4, 5 C. 4, 5, 6 D. 5, 12, 18

5. 已知点 $ A(-2, y_1) $ 和点 $ B(3, y_2) $ 都在直线 $ y = -x + 1 $ 上，则 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 的大小关系是 A. $ y_1 > y_2 $ B. $ y_1 < y_2 $ C. $ y_1 = y_2 $ D. 无法确定

6. 若分式 $ \frac{x-2}{x+2} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是 A. $ x \neq 2 $ B. $ x \neq -2 $ C. $ x \geq -2 $ D. $ x \leq -2 $

7. 已知 $ ABCD $ 是平行四边形，下列条件中，不能判定它为矩形的是 A. $ \angle A = 90^\circ $ B. $ AC = BD $ C. $ AB = BC $ 且 $ \angle A = 90^\circ $ D. $ AB \parallel CD $ 且 $ AC = BD $

8. 在平面直角坐标系中,将点 $ P(3, -2) $ 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的点 $ P' $ 的坐标是 A. $ (1, 1) $ B. $ (1, -5) $ C. $ (5, 1) $ D. $ (5, -5) $

9. 小明从家出发到图书馆,去时以每分钟60米的速度步行，回来时以每分钟100米的速度骑自行车，来回共用了24分钟，设小明家到图书馆的距离为 $ x $ 米，根据题意列出的方程是 A. $ \frac{x}{60} + \frac{x}{100} = 24 $ B. $ \frac{60}{x} + \frac{100}{x} = 24 $ C. $ \frac{x}{60} - \frac{x}{100} = 24 $ D. $ 60x + 100x = 24 $

10. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 4 $，$ BC = 6 $，$ E $ 是 $ BC $ 的中点，连接 $ AE $，交对角线 $ BD $ 于点 $ F $，则 $ EF $ 的长为

A. $ \frac{2}{5} $
B. $ \frac{4}{5} $
C. $ \frac{6}{5} $
D. $ \frac{8}{5} $

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：$ \sqrt{18} - \sqrt{8} = $ __________。

12. 函数 $ y = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2} $ 中，自变量 $ x $ 的取值范围是 __________。

13. 已知 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $，$ \angle A = 40^\circ $，$ \angle B = 60^\circ $，则 $ \angle F $ 的度数为 __________。

14. 已知 $ x = 2 $ 是关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{m}{x-1} + 1 = \frac{3}{x-1} $ 的解，则 $ m $ 的值为 __________。

15. 已知一次函数 $ y = (m-1)x + m + 2 $ 的图象经过第一、二、四象限，则 $ m $ 的取值范围是 __________。

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 13 $，$ BC = 12 $，$ AC = 5 $，则 $ \triangle ABC $ 的面积为 __________。

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解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题满分8分） 计算：$ ( \sqrt{3} - 1 )^2 + | \sqrt{12} - 4 | - \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} $。

18. （本题满分8分） 先化简，再求值：$ (\frac{a+2}{a^2-4} - \frac{1}{a-2}) \cdot \frac{a-1}{a} $，$ a = \sqrt{2} - 1 $。

19. （本题满分10分） 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC$ 的中点，$ DE \perp AB $ 于点 $ E $，$ DF \perp AC $ 于点 $ F $，且 $ DE = DF $。 求证：$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线。

20. （本题满分10分） 为了响应“节能减排”的号召，某公司决定购买10台节水和10台普通的新款洗衣机，经预算，购买10台节水型洗衣机的费用比购买10台普通型洗衣机的费用多2000元，且购买1台节水型洗衣机的费用是购买1台普通型洗衣机的1.5倍。 （1）求购买一台节水型洗衣机和一台普通型洗衣机各需多少元？ （2）在促销期间，该公司决定购买节水型和普通型洗衣机共20台，其中节水型洗衣机至少购买8台，设购买节水型洗衣机 $ x $ 台，总费用为 $ w $ 元，请写出 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数关系式，并求出该公司有几种购买方案？哪种方案的总费用最少？最少是多少元？

21. （本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 的三个顶点坐标分别为 $ A(1, 3) $，$ B(4, 1) $，$ C(2, -2) $。 （1）画出 $ \triangle ABC $ $ y $ 轴对称的 $ \triangle A'B'C' $，并写出 $ A' $，$ B' $，$ C' $ 的坐标。 （2）在 $ x $ 轴上找一点 $ P $，使 $ PA + PC $ 的值最小，请直接写出点 $ P $ 的坐标。

（本题满分12分） 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ BC$ 上一点，连接 $ AE $，$ \angle DAE = \angle BAE $，$ F $ 为 $ DE $ 的中点，连接 $ CF $，$ BF $。 （1）求证：$ BF \perp CF $。 （2）若 $ AB = 6 $，$ BC = 8 $，求线段 $ BF $ 的长。

（本题满分12分） 已知，在平面直角坐标系中，点 $ A(0, 2) $，点 $ B $ 是 $ x $ 轴正半轴上的一个动点，连接 $ AB $，作 $ \angle BAC = 60^\circ $，交 $ y $ 轴于点 $ C $，连接 $ BC $。 （1）如图1，当 $ \angle ABC = 60^\circ $ 时，求点 $ C $ 的坐标。 （2）如图2，当点 $ B $ 在 $ x $ 轴正半轴上运动时，试探究线段 $ AB $ 和 $ BC $ 之间的数量关系，并加以证明。

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参考答案及解析

选择题

1. D (解析：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式。$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，$ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $，$ \sqrt{a^2} = |a| $，均不是最简形式。)
2. D (解析：$ (a^2)^3 = a^6 $，$ a^2 \cdot a^3 = a^5 $，$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $，A、B、C错误。$ a^6 \div a^2 = a^{6-2} = a^4 $，D正确。)
3. C (解析：一次函数 $ y=kx+b $，当 $ k<0 $，$ b>0 $ 时，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。)
4. B (解析：根据勾股定理的逆定理，$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 $，所以3, 4, 5能构成直角三角形。)
5. A (解析：将点坐标代入函数，$ y_1 = -(-2) + 1 = 3 $，$ y_2 = -3 + 1 = -2 $。$ y_1 > y_2 $。)
6. B (解析：分式有意义的条件是分母不为零。$ x+2 \neq 0 $，解得 $ x \neq -2 $。)
7. C (解析：$ AB=BC $ 且 $ \angle A=90^\circ $ 可以判定 $ ABCD $ 是正方形，正方形是特殊的矩形，但这个条件本身过于强，不是判定矩形的最直接条件，其他选项都是矩形的判定定理。)
8. A (解析：向左平减2，横坐标减2；向上加3，纵坐标加3。$ P'(3-2, -2+3) = P'(1, 1) $。)
9. A (解析：去程时间 = 路程/速度 = $ x/60 $，回程时间 = $ x/100 $，总时间 = 去程时间 + 回程时间 = 24分钟。)
10. B (解析：此题考查相似三角形。$ \triangle ABE \sim \triangle DFE $，因为 $ AB \parallel CD $，$ \angle ABE = \angle FDE $，$ \angle AEB = \angle FED $ (对顶角相等)。$ BE = 3 $，$ AB = 4 $，$ AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = 5 $，所以相似比 $ k = \frac{AE}{DE} = \frac{5}{9} $。$ EF = AE - AF $，$ AF/DF = AE/DE = 5/9 $，$ DF = \sqrt{DE^2+EF^2} = \sqrt{9^2+EF^2} $，此方法复杂，更简单的方法是利用坐标：设$A(0,6), B(4,6), C(4,0), D(0,0)$，则$E(4,3)$，直线$AE$: $y = -\frac{3}{4}x+6$，直线$BD$: $y = \frac{3}{2}x$，联立方程 $-\frac{3}{4}x+6 = \frac{3}{2}x$，解得 $x=\frac{8}{5}$。$y=\frac{3}{2} \times \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$。$F(\frac{8}{5}, \frac{12}{5})$。$E(4,3)$。$EF = \sqrt{(4-\frac{8}{5})^2 + (3-\frac{12}{5})^2} = \sqrt{(\frac{12}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{144}{25}+\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{153}{25}} = \frac{3\sqrt{17}}{5}$，这个结果不在选项中，说明原题图可能不标准或选项有误，我们换一种思路，利用面积比：$S{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$，$S{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$，因为 $E$ 是中点，$S{\triangle ABE} = S{\triangle AEC} = 6$。$S{\triangle ADF} : S{\triangle ABF} = DF:BF$。$S_{\triangle ADF} = \frac{1}{2} \times AF \times hD$，$S{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \times AF \times hB$，$S{\triangle ADF} : S_{\triangle ABF} = h_D : hB = 6:4 = 3:2$。$S{\triangle ABD} = S{\triangle ADF} + S{\triangle ABF} = 12$，$S{\triangle ADF} = \frac{3}{5} \times 12 = \frac{36}{5}$。$S{\triangle DEF} = S{\triangle ADE} - S{\triangle ADF} = 6 - \frac{36}{5} = -\frac{6}{5}$，不合理，看来此题有陷阱，我们使用相似三角形：$ \triangle ABE \sim \triangle DFE $。$ \frac{EF}{BE} = \frac{DF}{AB} $。$ BE = 3 $，$ AB = 4 $。$ DF $ 和 $ EF $ 未知。$ \frac{EF}{3} = \frac{DF}{4} $，又 $ DF^2 + EF^2 = DE^2 = 9^2 = 81 $，设 $ EF=3k $，$ DF=4k $，则 $ (4k)^2 + (3k)^2 = 81 \implies 25k^2=81 \implies k=\frac{9}{5} $。$ EF = 3 \times \frac{9}{5} = \frac{27}{5} $，这也不对，看来我之前的坐标法是对的，题目或选项可能存在问题，我们假设题目是 $E$ 是 $CD$ 的中点，$DE=3$。$ \triangle ABE \sim \triangle DFE $。$ \frac{EF}{BE} = \frac{DF}{AB} \implies \frac{EF}{6} = \frac{DF}{4} \implies 2EF=3DF $。$ DF^2+EF^2=DE^2=9 $，设 $DF=2k, EF=3k$。$4k^2+9k^2=9 \implies 13k^2=9 \implies k=\frac{3}{\sqrt{13}}$。$EF=\frac{9}{\sqrt{13}}$，也不对，我们回到最初的坐标法，如果题目是$E$是$CD$的中点，则$E(4,3)$。$A(0,6), D(0,0)$，直线$AE$: $y = -\frac{3}{2}x+6$，直线$BD$: $y = \frac{3}{2}x$，联立 $-\frac{3}{2}x+6 = \frac{3}{2}x$，解得 $x=2$。$y=3$。$F(2,3)$。$E(4,3)$。$EF = |4-2| = 2$，AB=6, BC=4$，则$EF=\frac{4}{5}$，这可能是原题的数据，我们以题目给出的$AB=4, BC=6$和选项$B$为准，假设存在计算错误，我们重新审视相似三角形：$ \triangle ABE \sim \triangle DFE $。$ \frac{EF}{BE} = \frac{DF}{AB} = \frac{DE}{AE} $。$ \frac{EF}{3} = \frac{9}{5} \implies EF = \frac{27}{5} $，这显然不对，看来只能相信坐标法。$EF = \frac{3\sqrt{17}}{5}$，此题存疑，我们暂时选择最接近的或者最可能的原题意图，E$是$CD$中点，$EF=2$，AB=6, BC=4$，$EF=4/5$，我们按照$AB=4, BC=6$，使用向量法或梅涅劳斯定理会更复杂，我们暂时保留这个疑问，选择B作为备选，因为这是最有可能的出题者想考察的简单比例关系，可能在原题中数据不同，我们假设$EF/BE = DE/AB$，即$EF/3 = 9/4$，$EF=27/4$，也不对。（此题可能存在题目或选项错误，建议在实际考试中检查数据） 我们假设题目为 $AB=6, BC=4, E$为$BC$中点，则$BE=2$。$ \triangle ABE \sim \triangle DFE $。$ \frac{EF}{BE} = \frac{DE}{AB} \implies \frac{EF}{2} = \frac{2}{6} \implies EF = \frac{2}{3} $，也不对，我们放弃，选择 B 作为猜测。

填空题 11. $ \sqrt{2} $ (解析：$ \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $，$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，原式$ = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} $。) 12. $ x \geq 1 $ 且 $ x \neq 2 $ (解析：$ \begin{cases} x-1 \geq 0 \ x-2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1 \ x \neq 2 \end{cases} $。) 13. $ 80^\circ $ (解析：$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ $，全等三角形的对应角相等，$ \angle F = \angle C = 80^\circ $。) 14. $ 2 $ (解析：将 $ x=2 $ 代入方程，$ \frac{m}{2-1} + 1 = \frac{3}{2-1} $，解得 $ m+1=3 $，$ m=2 $。) 15. $ -1 < m < 1 $ (解析：一次函数 $ y=kx+b $ 经过第一、二、四象限，则 $ k<0 $，$ b>0 $。$ \begin{cases} m-1 < 0 \ m+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} m < 1 \ m > -2 \end{cases} $。) 16. $ 30 $ (解析：因为 $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，$ \angle C = 90^\circ $。$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 $。)

解答题 17. 解： 原式$ = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 + |2\sqrt{3} - 4| - \sqrt{9} $ $ = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + (4 - 2\sqrt{3}) - 3 $ $ = (3+1+4-3) + (-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) $ $ = 5 - 4\sqrt{3} $。

18. 解： 原式$ = (\frac{a+2}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2}) \cdot \frac{a-1}{a} $ $ = (\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-2}) \cdot \frac{a-1}{a} $ $ = 0 \cdot \frac{a-1}{a} $ $ = 0 $。 当 $ a = \sqrt{2} - 1 $ 时，原式 $ = 0 $。

19. 证明： 在 $ \triangle AED $ 和 $ \triangle AFD $ 中， $ \begin{cases} DE = DF \text{ (已知)} \ \angle AED = \angle AFD = 90^\circ \text{ (已知)} \ AD = AD \text{ (公共边)} \end{cases} $ $ \triangle AED \cong \triangle AFD $ (HL)。 $ \angle EAD = \angle FAD $。 $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线。

20. 解： （1）设购买一台普通型洗衣机需 $ x $ 元，则购买一台节水型洗衣机需 $ 1.5x $ 元。 根据题意，得 $ 10 \times 1.5x - 10x = 2000 $。 解得 $ 5x = 2000 $，$ x = 400 $。 $ 1.5x = 1.5 \times 400 = 600 $。 答：购买一台普通型洗衣机需400元，购买一台节水型洗衣机需600元。

（2）设购买节水型洗衣机 $ x $ 台，则购买普通型洗衣机 $ (20-x) $ 台。 总费用 $ w = 600x + 400(20-x) = 600x + 8000 - 400x = 200x + 8000 $。 根据题意，$ \begin{cases} x \geq 8 \ 20-x \geq 0 \end{cases} $，解得 $ 8 \leq x \leq 20 $。 因为 $ w = 200x + 8000 $ 中，$ 200 > 0 $，$ w $ 随 $ x $ 的增大而增大。 所以当 $ x = 8 $ 时，$ w $ 有最小值。 $ w_{最小} = 200 \times 8 + 8000 = 1600 + 8000 = 9600 $ 元。 购买方案：购买8台节水型和12台普通型，总费用最少，为9600元。

21. 解： （1）$ \triangle A'B'C' $ 如图所示。 $ A(1, 3) \to A'(-1, 3) $ $ B(4, 1) \to B'(-4, 1) $ $ C(2, -2) \to C'(-2, -2) $

（2）作点 $ C $ $ x $ 轴的对称点 $ C''(2, 2) $，连接 $ AC'' $，与 $ x $ 轴的交点即为点 $ P $。 直线 $ AC'' $ 的解析式为 $ y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} $。 令 $ y = 0 $，得 $ 0 = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} $，解得 $ x = 7 $。 所以点 $ P $ 的坐标是 $ (7, 0) $。

22. 解： （1）证明：延长 $ CF $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ G $。 因为 $ F $ 是 $ DE $ 的中点，$ DF = FE $。 因为 $ ABCD $ 是矩形，$ AD \parallel BC $。 $ \angle DFE = \angle GFE $。 在 $ \triangle DFC $ 和 $ \triangle GFC $ 中， $ \begin{cases} DF = GF \ \angle DFE = \angle GFE \ CF = CF \end{cases} $ $ \triangle DFC \cong \triangle GFC $ (SAS)。 $ \angle FDC = \angle FGC $，$ CD = CG $。 因为 $ ABCD $ 是矩形，$ AD = BC $。 因为 $ \angle DAE = \angle BAE $，$ AE = AE $，$ \angle AED = \angle AEB = 90^\circ $， $ \triangle AED \cong \triangle AEB $ (ASA)。 $ AD = AB $。 $ AB = BC = CG $。 $ \triangle BCG $ 是等腰三角形，$ BF $ 是底边上的中线。 $ BF \perp CG $，即 $ BF \perp CF $。

（2）在 $ \triangle BCG $ 中，$ BC = 8 $，$ CG = AB = 6 $，$ BG = AB + AG = 6 + 6 = 12 $。 因为 $ BF \perp CG $，由勾股定理，$ BF^2 + CF^2 = BC^2 $，$ BF^2 + GF^2 = BG^2 $。 又 $ CF = GF $，$ BC^2 - CF^2 = BG^2 - CF^2 $，即 $ BC^2 = BG^2 $，这不可能。 重新思考（1）的证明：$ AD=BC, AB=CD $。$ \triangle AED \cong \triangle AEB \implies AD=AB $。$ AB=BC $，矩形是正方形，与$AB=6, BC=8$矛盾，证明过程错误。 重新证明（1）： 连接 $ AF $。 因为 $ \angle DAE = \angle BAE $，$ AE = AE $，$ \angle AED = \angle AEB = 90^\circ $， $ \triangle AED \cong \triangle AEB $ (ASA)。 $ ED = EB $，$ AD = AB $。 因为 $ F $ 是 $ ED $ 的中点，$ EF = FD = \frac{1}{2}ED $。 $ EF = FD = EB $。 $ \triangle EBF $ 和 $ \triangle DCF $ 都是等腰三角形。 $ \angle EBF = \angle BEF $，$ \angle DCF = \angle CDF $。 因为 $ ABCD $ 是矩形，$ AD \parallel BC $， $ \angle CDF = \angle CBE $。 $ \angle DCF = \angle CBE $。 $ \angle EBF = \angle DCF $。 在 $ \triangle BFE $ 和 $ \triangle CFD $ 中， $ \begin{cases} EF = FD \ \angle EFB = \angle CFD \text{ (对顶角)} \ \angle EBF = \angle DCF \end{cases} $ $ \triangle BFE \cong \triangle CFD $ (AAS)。 $ BF = CF $。 $ \triangle BCF $ 是等腰三角形。 因为 $ F $ 是 $ DE $ 的中点，$ E $ 是 $ BC $ 上的点，$ F $ 不在 $ BC $ 上。 $ \angle BFC = \angle BFE + \angle CFE $。 由 $ \triangle BFE \cong \triangle CFD $，得 $ \angle BFE = \angle CFD $。 $ \angle BFC = \angle CFD + \angle CFE = \angle DFE $。 因为 $ \angle DFE = 90^\circ $ (因为 $ \angle AED=90^\circ $，$ F $ 在 $ DE $ 上)，$ \angle BFC = 90^\circ $。 $ BF \perp CF $。

（2）在Rt$ \triangle BFC $ 中，$ BC=8 $。 由（1）知 $ BF=CF $。 由勾股定理，$ BF^2 + CF^2 = BC^2 $。 $ 2BF^2 = 8^2 = 64 $。 $ BF^2 = 32 $。 $ BF = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。

23. 解： （1）因为 $ \angle BAC = \angle ABC = 60^\circ $， $ \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ $。 $ \triangle ABC $ 是等边三角形。 $ AB = AC $。 因为 $ A(0, 2) $，$ C $ 的坐标是 $ (0, -1) $。

（2）$ AB = BC $。 证明如下： 作 $ \angle ABD = 60^\circ $，交 $ y $ 轴于点 $ D $。 因为 $ \angle BAC = 60^\circ $，$ \angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 60^\circ - \angle CAD $。 $ \angle CBD = \angle CBA - \angle DBA = \angle CBA - 60^\circ $。 在 $ \triangle ABD $ 中，$ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ $。 $ (60^\circ - \angle CAD) + 60^\circ + \angle ADB = 180^\circ $。 $ \angle ADB = 60^\circ + \angle CAD $。 因为 $ \angle CAD $ 是 $ \triangle ACD $ 的外角，$ \angle CAD = \angle ACD + \angle ADC $。 $ \angle ADB = 60^\circ + \angle ACD + \angle ADC $。 这看起来很复杂，换一种方法。 作 $ AE \perp BC $ 于 $ E $，$ AF \perp x $ 轴于 $ F $。 因为 $ \angle BAC = 60^\circ $，$ AF \perp x $ 轴， $ \angle BAF = 90^\circ - \angle OBA $。 $ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = 30^\circ $。 $ \angle EAF = \angle BAF - \angle BAE = (90^\circ - \angle OBA) - 30^\circ = 60^\circ - \angle OBA $。 在 $ \triangle ABE $ 中，$ \angle AEB = 90^\circ $，$ \angle BAE = 30^\circ $，$ \angle ABE = 60^\circ $。 $ \angle OBA = \angle ABE $。 $ \angle EAF = 60^\circ - \angle ABE = 0^\circ $，这意味着 $ E, A, F $ 共线，这不成立。 重新证明： 将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^\circ $ 到 $ \triangle AB'C' $ 的位置。 因为旋转角为 $ 60^\circ $，$ \angle BAB' = 60^\circ $。 因为 $ AB = AB' $，$ \triangle ABB' $ 是等边三角形。 $ BB' = AB $，$ \angle ABB' = 60^\circ $。 因为 $ \angle BAC = 60^\circ $，旋转后 $ C $ 的对应点 $ C' $ 在 $ y $ 轴的负半轴上（$ C' $ 与 $ D $ 重合）。 $ B, C, B' $ 三点共线。 $ BC = BB' - CB' $。 这不对。 正确证明： 将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 60^\circ $ 到 $ \triangle AB'C' $ 的位置。 因为 $ \angle BAC = 60^\circ $，$ C' $ 点在 $ x $ 轴上，且 $ B' $ 点在 $ y $ 轴上。 因为旋转不改变线段长度，$ AB' = AB $，$ AC' = AC $，$ B'C' = BC $。 因为 $ \angle BAA' = 60^\circ $，$ AB = AB' $，$ \triangle ABB' $ 是等边三角形。 $ BB' = AB $。 因为 $ \angle ABC' = \angle ABB' - \angle CBB' $，此路不通。 最简单的证明： 在 $ AB $ 上截取 $ AD = AC $，连接 $ CD $。 因为 $ \angle BAC = 60^\circ $，$ AD = AC $， $ \triangle ACD $ 是等边三角形。 $ CD = AC = AD $，$ \angle ACD = 60^\circ $。 $ \angle BCD = \angle BCA - 60^\circ $。 $ \angle B = \angle OBA $。 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BCA = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 120^\circ - \