人教版七年级数学整式

整式 (Whole Expression)

本章主要学习用字母表示数，并在此基础上学习单项式、多项式以及它们的加减运算，核心是从“数”到“式”的过渡。

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第一部分：核心概念

用字母表示数

这是学习整式的第一步,也是代数思想的开始。

1. 意义：

   • 简明扼要：用字母可以简明地表示数量关系、公式和规律，用 S = πr² 表示圆的面积,比用文字描述要简洁得多。
   • 普遍适用：字母可以代表任何数，使得结论具有普遍性。a + b = b + a 对所有数都成立。

2. 注意事项：

   • 数字与字母相乘：数字要写在字母前面，并且可以省略乘号。2 × a 写作 2a 或 2·a，当数字是1时，1要省略。1 × a 写作 a。
   • 字母与字母相乘：乘号可以省略，并且通常按照字母表的顺序书写。a × b 写作 ab，x × y × z 写作 xyz。
   • 带分数与字母相乘：带分数要化成假分数。1½ × a 要写成 (3/2)a。
   • 除法关系：除法要写成分数形式。a ÷ b 写作 a/b。
   • 单位：在表示含有单位的数量关系时，单位要整体加括号。速度 v，时间 t，路程 s = vt，如果结果是和或差，必须加上括号。长 l 米，宽 w 米，周长 C = (2l + 2w) 米。

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单项式

1. 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

   • -5x, a²b, πr², 100, y, -1/3xy²

2. 单项式的系数：

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
   • 注意：
     • 系数包括前面的符号。-5x 的系数是 -5。
     • 当系数是 1 或 -1 时，1 通常省略不写。ab 的系数是 1，-x²y 的系数是 -1。
     • 单独一个非零数 a 的系数是它本身 a。100 的系数是 100。

3. 单项式的次数：

   • 定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
   • 注意：
     • 单独一个非零数（常数项）的次数是 0。100 的次数是 0。
     • 字母的指数是 1 时，1 通常省略不写，但在计算次数时要算上 1。x 的次数是 1，ab 的次数是 1+1=2。

示例： | 单项式 | 系数 | 次数 | | :--- | :--- | :--- | | -5x | -5 | 1 | | a²b | 1 | 2+1=3 | | πr² | | 2 | | 100 | 100 | 0 | | y | 1 | 1 | | -1/3xy² | -1/3 | 1+2=3 |

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多项式

1. 定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项。

   • 3x² - 2x + 1 是由单项式 3x², -2x, +1 组成的多项式。

2. 多项式的项：

   • 多项式中的每个单项式都是它的项。
   • 项包括它前面的符号。3x² - 2x + 1 的项是 3x², -2x, +1。
   • 不含字母的项叫做常数项。+1 是常数项。

3. 多项式的次数：

   • 定义：多项式中次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。
   • 3x² - 2x + 1 中，3x² 的次数是 2，-2x 的次数是 1，+1 的次数是 0，最高次数是 2，所以这个多项式的次数是 2 次。

4. 多项式的项数：

   • 多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。
   • 3x² - 2x + 1 有 3 项，叫做三项式。

示例： | 多项式 | 项 | 常数项 | 次数 | 项数 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 3x² - 2x + 1 | 3x², -2x, +1 | +1 | 2 | 3 (三项式) | | a³b - ab + 5 | a³b, -ab, +5 | +5 | 3+1=4 | 3 (三项式) | | x² - y² | x², -y² | 无 | 2 | 2 (二项式) | | x + 3 | x, +3 | +3 | 1 | 2 (二项式) |

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升幂排列与降幂排列

为了方便计算和观察多项式的结构,我们可以对多项式进行重新排列。

1. 降幂排列：按照某个字母的指数从大到小的顺序排列。
   • -x² + 3x - 5 按 x 的降幂排列。
2. 升幂排列：按照某个字母的指数从小到大的顺序排列。
   • -5 + 3x - x² 按 x 的升幂排列。

注意：

• 重新排列时，每一项要连同它前面的符号一起移动。
• 排列只是改变顺序，不改变多项式的值。
• 如果某项不含要排列的字母，可以认为它的指数是 0。

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第二部分：整式的加减法

整式的加减法，实质就是合并同类项。

同类项

1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

   • 3xy² 和 -5xy² 是同类项。
   • 注意：常数项都是同类项。5 和 -100 是同类项。

2. 判断同类项的两个条件：

   • 字母完全相同。
   • 相同字母的指数分别相同。
   • 与系数无关，与字母的顺序无关（如 ab 和 ba 是同类项）。

合并同类项

1. 法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

   • 口诀：系数相加，字母不变。

2. 步骤：

   • 找出同类项（用不同的线标出）。
   • 合并同类项（系数相加，字母和指数不变）。
   • 写出最终结果（按某个字母的降幂或升幂排列）。

示例： 合并同类项：4a²b - 3ab² + 1/2a²b + 6ab² - a²b

• 找：4a²b, +1/2a²b, -a²b 是同类项；-3ab², +6ab² 是同类项。
• 合：
  • a²b 项的系数和：4 + 1/2 - 1 = 3 + 1/2 = 7/2
  • ab² 项的系数和：-3 + 6 = 3
• 写：(7/2)a²b + 3ab²

去括号与添括号

1. 去括号法则：

   • 括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，括号里的各项都不变号。
     • +(a+b-c) = a + b - c
   • 括号前是“-”号：去掉括号和“-”号，括号里的各项都变号（正变负，负变正）。
     • -(a+b-c) = -a - b + c

2. 添括号法则（与去括号法则相反）：

   • 括号前是“+”号：括到括号里的各项都不变号。
     • a + b - c = +(a + b - c)
   • 括号前是“-”号：括到括号里的各项都变号。
     • a + b - c = -(-a - b + c)

整式的加减运算步骤

1. 如果有括号，先去括号。
2. 如果有同类项，再合并同类项。

示例： 求 3x²y - [2xy² - 2(xy² - x²y) + xy²] 的值，x=1, y=-2。

• 去括号（由内到外）：
  • 先去小括号：3x²y - [2xy² - 2xy² + 2x²y + xy²]
  • 再去中括号（注意前面是“-”号）：3x²y - 2xy² + 2xy² - 2x²y - xy²
• 合并同类项：
  • x²y 项：3x²y - 2x²y = x²y
  • xy² 项：-2xy² + 2xy² - xy² = -xy²
  • 化简结果为：x²y - xy²
• 代入求值：
  • 当 x=1, y=-2 时，
  • 原式 = (1)² × (-2) - (1) × (-2)²
  • = 1 × (-2) - 1 × 4
  • = -2 - 4
  • = -6

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第三部分：重要数学思想与方法

1. 数形结合思想：用图形（如长方形、正方形）的面积来解释整式的加减运算,使抽象问题直观化。

   • 用两个长方形拼接成一个大长方形，可以表示 (a+b)c = ac + bc,这是乘法分配律的几何解释。

2. 整体思想：将一个代数式看作一个整体（一个“大字母”）进行运算。

   • 已知 x + y = 5，求 3(x + y)² - (x + y) + 10 的值，可以直接把 (x + y) 看作一个整体 A，原式变为 3A² - A + 10，再代入 A=5 计算。

3. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题,将未知问题转化为已知问题。

   整式的加减就是将复杂的式子转化为简单的、最简形式（合并同类项）的过程。

学习建议

• 打好基础：务必牢固掌握单项式、多项式的系数、次数等基本概念,这是后续一切运算的前提。
• 掌握法则：熟练掌握合并同类项、去括号的法则，并理解其背后的原理（乘法分配律）。
• 细心严谨：去括号和变号是最容易出错的地方，做题时要格外小心，一步一步来,不要跳步。
• 勤加练习：通过大量练习，从简单到复杂,逐步提高运算的准确性和速度。
• 学会检验：做完题后，可以代入具体的数值检验结果是否正确,或者重新检查一遍去括号和合并同类项的步骤。

希望这份详细的梳理能帮助你更好地理解和掌握《整式》这一章的内容！