八年级数学分式计算题

校园之窗 2026年1月28日 14:16:06 99ANYc3cd6 1 0

第一部分：基础计算题（通分与约分）

这类题是分式计算的基础，主要考察分式的基本性质、通分和约分的技能。

分式的约分

目标： 将分子和分母的公因式约去,使分式化简。

例题 1： 化简分式 $\frac{15a^2b}{20ab^2}$

解题思路：

系数约分：15和20的最大公约数是5。
同底数幂约分：$a^2$ 和 $a$ 约去 $a$，剩下 $a$；$b$ 和 $b^2$ 约去 $b$，剩下 $b$。
组合结果。

解： $$ \frac{15a^2b}{20ab^2} = \frac{3 \times 5 \times a \times a \times b}{4 \times 5 \times a \times b \times b} = \frac{3a}{4b} $$

例题 2： 化简分式 $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

解题思路：

分子、分母因式分解：
- 分子 $x^2 - 9$ 是平方差公式，可分解为 $(x+3)(x-3)$。
- 分母 $x^2 + 6x + 9$ 是完全平方公式，可分解为 $(x+3)^2$。
约去公因式：分子和分母都含有 $(x+3)$,可以约去一个。

解： $$ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)} = \frac{x-3}{x+3} \quad (x \neq -3) $$

注意：约分后，分母不能为0，$x+3 \neq 0$，即 $x \neq -3$。

第二部分：分式的四则运算

这是分式计算的核心,主要考察运算顺序和运算法则。

分式的加减法（同分母）

目标： 分母不变,分子相加减。

例题 3： 计算 $\frac{2x}{x+y} + \frac{y}{x+y}$

解： $$ \frac{2x}{x+y} + \frac{y}{x+y} = \frac{2x + y}{x+y} $$

分式的加减法（异分母）

目标： 先通分，将异分母分式化为同分母分式,再进行加减。

例题 4： 计算 $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{b-a}$

解题思路：

观察分母：$a-b$ 和 $b-a$ 互为相反数，即 $b-a = -(a-b)$。
统一分母：将第二个分式的分母 $b-a$ 变形为 $-(a-b)$，从而得到共同的分母 $a-b$。
进行计算。

解： $$ \frac{a}{a-b} - \frac{b}{b-a} = \frac{a}{a-b} - \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a-b} + \frac{b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $$

例题 5： 计算 $\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1}$

解题思路：

找最简公分母：两个分母 $x-2$ 和 $x+1$ 没有公因式，所以最简公分母是它们的乘积 $(x-2)(x+1)$。
通分：将两个分式都化为以 $(x-2)(x+1)$ 为分母的分式。
分子相加减。
结果是否要化简。

解： $$ \begin{aligned} \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1} &= \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-2)(x+1)} + \frac{2 \cdot (x-2)}{(x+1)(x-2)} \ &= \frac{x+1}{(x-2)(x+1)} + \frac{2x-4}{(x-2)(x+1)} \ &= \frac{(x+1) + (2x-4)}{(x-2)(x+1)} \ &= \frac{3x-3}{(x-2)(x+1)} \ &= \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+1)} \quad \text{(分子可以因式分解，但无法与分母约分，结果到此为止)} \end{aligned} $$

分式的乘除法

目标： 乘法：分子乘分子，分母乘分母，再约分，除法：除以一个分式等于乘以它的倒数。

例题 6： 计算 $\frac{2a}{3b} \cdot \frac{9b^2}{4a^2}$

解： $$ \frac{2a}{3b} \cdot \frac{9b^2}{4a^2} = \frac{2a \cdot 9b^2}{3b \cdot 4a^2} = \frac{18ab^2}{12a^2b} = \frac{3}{2a} $$

例题 7： 计算 $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \div \frac{x+2}{x-2}$

解题思路：

除法变乘法：将除号变为乘号,同时将第二个分式颠倒。
分子分母因式分解：对能分解的式子进行分解。
约分。

解： $$ \begin{aligned} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \div \frac{x+2}{x-2} &= \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \cdot \frac{x-2}{x+2} \ &= \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-2)} \cdot \frac{x-2}{x+2} \ &= 1 \quad \text{(所有项都约掉了)} \end{aligned} $$

分式的混合运算

目标： 按照运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的）进行计算。

例题 8： 计算 $\left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) \div \frac{4a}{a^2-1}$

解题思路：

先算括号内：括号内是异分母分式的减法，需要先通分。
- 最简公分母是 $(a-1)(a+1)$。
- 通分后计算分子。
将除法变为乘法。
约分。

解： $$ \begin{aligned} &\left(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}\right) \div \frac{4a}{a^2-1} \ = &\left( \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)^2}{(a+1)(a-1)} \right) \div \frac{4a}{a^2-1} \ = &\frac{(a^2+2a+1) - (a^2-2a+1)}{(a-1)(a+1)} \div \frac{4a}{a^2-1} \ = &\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \div \frac{4a}{(a-1)(a+1)} \quad \text{(注意：$a^2-1=(a-1)(a+1)$)} \ = &\frac{4a}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{4a} \ = &1 \end{aligned} $$

第三部分：化简求值题

这类题先化简，再将给定的数值代入求值,需要注意分母不为0的条件。

例题 9： 先化简，再求值：$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} \cdot \frac{x+1}{x-1}$，$x = \sqrt{2}$。

解题思路：

先化简：按照分式乘法法则，先因式分解,再约分。
代入求值：将 $x = \sqrt{2}$ 代入化简后的式子计算。

解： $$ \begin{aligned} \text{化简：} & \quad \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} \cdot \frac{x+1}{x-1} \ &= \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{x+1}{x-1} \ &= \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{x+1}{x-1} \ &= 1 \end{aligned} $$ $$ \text{求值：} \quad \text{当 } x = \sqrt{2} \text{ 时，原式} = 1 $$

例题 10： 先化简，再求值：$\left(\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}\right) \div \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$，$m = 2, n = 1$。

解： $$ \begin{aligned} \text{化简：} & \quad \left(\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}\right) \div \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \ &= \left( \frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)} \right) \div \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} \ &= \frac{m^2+mn - (mn-n^2)}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m^2+n^2} \ &= \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m^2+n^2} \ &= 1 \end{aligned} $$ $$ \text{求值：} \quad \text{当 } m=2, n=1 \text{ 时，原式} = 1 $$

第四部分：解分式方程

解分式方程的关键是“去分母”，将其转化为整式方程，但必须检验。

例题 11： 解方程 $\frac{2}{x-3} = \frac{1}{x}$

解题思路：

确定最简公分母：$x(x-3)$。
方程两边同乘最简公分母,去分母。
解整式方程。
检验：将求出的根代入最简公分母，看是否为0，若为0，则是增根,舍去。

解：方程两边同乘 $x(x-3)$，得： $$ 2x = 1 \cdot (x-3) $$ $$ 2x = x - 3 $$ $$ 2x - x = -3 $$ $$ x = -3 $$ 检验：当 $x = -3$ 时，$x(x-3) = (-3)(-3-3) = (-3)(-6) = 18 \neq 0$。 $x = -3$ 是原方程的解。

例题 12： 解方程 $\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$

解：方程两边同乘 $(x-1)(x+2)$，得： $$ x(x+2) - 1 \cdot (x-1)(x+2) = 3 $$ 展开并化简： $$ x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3 $$ $$ x^2 + 2x - (x^2 + x - 2) = 3 $$ $$ x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3 $$ $$ x + 2 = 3 $$ $$ x = 1 $$ 检验：当 $x = 1$ 时，$(x-1)(x+2) = (1-1)(1+2) = 0 \times 3 = 0$。 $x=1$ 是增根,原方程无解。