八年级数学奥数竞赛题怎么解？

校园之窗 2026年1月28日 07:06:58 99ANYc3cd6 1 0

已知关于 $x$ 的二次函数 $y = x^2 - 2|x| - 2$。

(1) 画出该函数的图像； (2) 求该函数图像与 $x$ 轴的交点坐标； (3) 设 $m$ 是一个实数，$x$ 的方程 $|x^2 - 2|x| - 2| = m$ 有四个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围。

（图片来源网络，侵删）

解题思路与详解

这道题的关键在于处理绝对值符号 $|x|$，一个常用的技巧是根据 $x$ 的正负性，将函数分段讨论，从而去掉绝对值符号，简化问题。

(1) 画出该函数的图像

思路： 函数 $y = x^2 - 2|x| - 2$ 中含有 $|x|$，我们可以将定义域 $(-\infty, +\infty)$ 分成两部分：$x \ge 0$ 和 $x < 0$。

当 $x \ge 0$ 时，$|x| = x$，函数变为： $y = x^2 - 2x - 2$ 这是一个开口向上的抛物线，我们可以通过配方法找到其顶点： $y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 2 = (x-1)^2 - 3$ 当 $x \ge 0$ 时，图像是顶点在 $(1, -3)$ 的抛物线的一部分。
当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，函数变为： $y = x^2 - 2(-x) - 2 = x^2 + 2x - 2$ 这也是一个开口向上的抛物线，同样配方法找顶点： $y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 2 = (x+1)^2 - 3$ 当 $x < 0$ 时，图像是顶点在 $(-1, -3)$ 的抛物线的一部分。
（图片来源网络，侵删）

这个函数的图像是关于 y 轴对称的，它由两段抛物线组成，左半部分（$x<0$）的顶点在 $(-1, -3)$，右半部分（$x \ge 0$）的顶点在 $(1, -3)$，整个图像看起来像一个“W”形，最低点的纵坐标为 -3。

图像特征总结：

对称性： y 轴对称。
顶点： $(-1, -3)$ 和 $(1, -3)$。
与 y 轴交点： 令 $x=0$，得 $y = 0 - 0 - 2 = -2$，交点为 $(0, -2)$。
开口方向： 两段抛物线均开口向上。

(2) 求该函数图像与 $x$ 轴的交点坐标

思路： 函数图像与 $x$ 轴的交点，即满足 $y=0$ 的点，所以我们解方程 $x^2 - 2|x| - 2 = 0$，同样，我们分段讨论。

当 $x \ge 0$ 时，方程为 $x^2 - 2x - 2 = 0$。使用求根公式：$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$。因为 $x \ge 0$，我们取正值解：$x = 1 + \sqrt{3}$。（$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732 < 0$，舍去）交点为 $(1 + \sqrt{3}, 0)$。
（图片来源网络，侵删）
当 $x < 0$ 时，方程为 $x^2 + 2x - 2 = 0$。使用求根公式：$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$。因为 $x < 0$，我们取负值解：$x = -1 - \sqrt{3}$。（$-1 + \sqrt{3} \approx -1 + 1.732 = 0.732 > 0$，舍去）交点为 $(-1 - \sqrt{3}, 0)$。

该函数图像与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1 - \sqrt{3}, 0)$ 和 $(1 + \sqrt{3}, 0)$。

(3) 求 $m$ 的取值范围

思路： 这是一个非常经典的“数形结合”问题，方程 $|x^2 - 2|x| - 2| = m$ 的解，就是函数 $y = |x^2 - 2|x| - 2|$ 的图像与水平直线 $y = m$ 的交点的横坐标。要求这个方程有四个不相等的实数根，意味着直线 $y = m$ 必须与函数 $y = |x^2 - 2|x| - 2|$ 的图像有四个不同的交点。

第一步：画出函数 $y = |x^2 - 2|x| - 2|$ 的图像。 这个新函数的图像，是在第(1)问中画出的图像的基础上，将所有在 $x$ 轴下方的部分“翻折”到 $x$ 轴上方。

原函数 $y = x^2 - 2|x| - 2$ 的图像在 $y=-3$ 处达到最低点。
新函数 $y = |x^2 - 2|x| - 2|$ 的图像在 $y=3$ 处达到最高点（因为 $|-3|=3$）。
原函数与 $x$ 轴的交点 $(-1-\sqrt{3}, 0)$ 和 $(1+\sqrt{3}, 0)$ 不变。
原函数的顶点 $(-1, -3)$ 和 $(1, -3)$ 翻折后变为 $(-1, 3)$ 和 $(1, 3)$。
原函数与 y 轴的交点 $(0, -2)$ 翻折后变为 $(0, 2)$。

第二步：分析交点个数。 我们分析水平直线 $y = m$ 与这个新图像的交点个数：

当 $m < 0$ 时，直线 $y=m$ 在 $x$ 轴下方，与图像无交点。0 个根。
当 $m = 0$ 时，直线 $y=0$ 是 $x$ 轴，与图像在 $(-1-\sqrt{3}, 0)$ 和 $(1+\sqrt{3}, 0)$ 两点相切。2 个根。
当 $0 < m < 2$ 时，直线 $y=m$ 穿过中间的“V”形部分，与图像有 4 个交点。4 个根。
当 $m = 2$ 时，直线 $y=2$ 经过点 $(0, 2)$，此时中间的“V”形被“卡住”，总共只有 3 个交点（左右各一个，中间一个）。3 个根。
当 $2 < m < 3$ 时，直线 $y=m$ 穿过中间的“V”形和两侧的“U”形，与图像有 4 个交点。4 个根。
当 $m = 3$ 时，直线 $y=3$ 正好与图像的两个最高点 $(-1, 3)$ 和 $(1, 3)$ 相切。2 个根。
当 $m > 3$ 时，直线 $y=m$ 在图像上方，与图像无交点。0 个根。