七年级上册数学提高题怎么突破？
校园之窗 2026年1月28日 01:26:15 99ANYc3cd6
我将从数与代数、几何图形初步两大核心板块，为你精选和原创一些经典且有代表性的提高题，并附上详细的思路解析和解题过程，希望能帮助你开阔思路,提升数学能力。
第一部分：数与代数 (有理数、整式加减、一元一次方程)
这部分的重点在于理解概念的本质和灵活运用法则,而不是死记硬背。
有理数的巧算与绝对值
这类题考察的是对运算律、绝对值定义和符号变化的深刻理解。
【例题1】
计算：(-1) + (-2) + (-3) + ... + (-99) + (-100) + 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
【思路解析】
这道题如果直接一步步计算，会非常耗时且容易出错，观察算式，可以发现它是由从-100到100的所有整数相加组成的，关键在于利用“相反数”和“加法交换律、结合律”。
【解题过程】
原式 = [(-1) + 1] + [(-2) + 2] + [(-3) + 3] + ... + [(-99) + 99] + [(-100) + 100]
我们可以把互为相反数的数先结合起来。
= 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0
一共有100对互为相反数的数。
= 0
【小结】遇到连续的、有规律的加减运算，先观察有没有可以抵消的项（如相反数、和为整数的数）,再运用运算律进行简便计算。
【例题2】
已知 |a-2| + |b+3| = 0，求 a + b 的值。
【思路解析】
这道题的核心是“绝对值的非负性”，任何一个有理数的绝对值都是非负数（即大于或等于0），几个非负数的和等于0，那么只有一种可能：这几个非负数都等于0。
【解题过程】
因为 |a-2| ≥ 0 且 |b+3| ≥ 0，
又因为它们的和 |a-2| + |b+3| = 0，
必须满足：
|a-2| = 0 且 |b+3| = 0
由此可得：
a - 2 = 0 => a = 2
b + 3 = 0 => b = -3
a + b = 2 + (-3) = -1
【小结】|x| ≥ 0 是一个非常重要的性质，当遇到几个绝对值的和、平方和等非负形式的表达式等于0时,可以直接让每个部分都等于0来求解。
整式化简与求值
这类题考察的是去括号、合并同类项的准确性,以及整体代入的思想。
【例题3】
先化简，再求值：
5(a²b - 2ab²) - (a²b + 3ab²)，a = -1，b = 2
【思路解析】
这是常规的化简求值题，但要注意符号问题，步骤是：先去括号，再合并同类项，最后代入数值计算。
【解题过程】
原式 = 5a²b - 10ab² - a²b - 3ab²
= (5a²b - a²b) + (-10ab² - 3ab²)
= 4a²b - 13ab²
当 a = -1，b = 2 时，
原式 = 4 × (-1)² × 2 - 13 × (-1) × 2²
= 4 × 1 × 2 - 13 × (-1) × 4
= 8 - (-52)
= 8 + 52
= 60
【小结】化简时，括号前面是负号，去掉括号后，括号里的每一项都要变号，代入求值时，负数的偶数次方是正数，奇数次方是负数,注意运算顺序。
【例题4】 (整体思想)
已知 x + y = 5，xy = -6，求代数式 3xy - [2x - 3(x - y)] 的值。
【思路解析】
这道题如果先去括号再化简，会发现最终会得到一个关于 x+y 和 xy 的表达式，这就是“整体代入”的思想，我们不需要知道 x 和 y 各自是多少，只需要知道 x+y 和 xy 的值即可。
【解题过程】
先化简代数式：
原式 = 3xy - [2x - 3x + 3y]
= 3xy - [-x + 3y]
= 3xy + x - 3y
= 3xy + (x - 3y) <-- 这一步好像不太好直接用已知条件,我们换一种思路。
重新化简，尝试构造 x+y：
原式 = 3xy - [2x - 3x + 3y]
= 3xy - [-x + 3y]
= 3xy + x - 3y
= 3xy + (x + y) - 4y <-- 似乎也不对。
让我们回到最开始的化简：
3xy - [2x - 3(x - y)]
= 3xy - [2x - 3x + 3y]
= 3xy - [-x + 3y]
= 3xy + x - 3y
= 3xy + (x - 3y) <-- 我们尝试把 x - 3y 变形。
已知 x + y = 5，我们可以得到 x = 5 - y。
将 x = 5 - y 代入 x - 3y：
(5 - y) - 3y = 5 - 4y，这又引入了 y,不太好。
换一种更巧妙的化简方式：
原式 = 3xy - [2x - 3x + 3y]
= 3xy - [-x + 3y]
= 3xy + x - 3y
= 3xy + (x + y) - 4y <-- 还是老路。
让我们重新审视，目标是得到 x+y 和 xy 的组合。
3xy + x - 3y
= 3xy + (x + y) - 4y <-- 看来这个思路行不通。
换个角度，直接构造：
x - 3y = (x + y) - 4y <-- 依然不行。
x - 3y = 4(x + y) - 3(x + 3y) <-- 更复杂了。
看来我最初的化简方向没错，但代入需要技巧。
我们得到 3xy + x - 3y。
我们可以把它写成 3xy + (x + y) - 4y。
或者 3xy - 4y + x。
或者 y(3x - 4) + x。
发现错误，重新开始！ 在去括号时犯了一个错误。
3xy - [2x - 3(x - y)]
= 3xy - [2x - 3x + 3y] <-- 这一步 -3(x-y) 去括号是 -3x + 3y，正确。
= 3xy - [-x + 3y] <-- 2x - 3x = -x，正确。
= 3xy + x - 3y <-- 去掉前面是负的括号，-(-x) = +x, -(+3y) = -3y,正确。
看来化简结果是 3xy + x - 3y。
我们尝试分组：
= (3xy - 3y) + x
= 3y(x - 1) + x <-- 没用。
= 3xy + (x - 3y)
= 3xy + (x + y - 4y) <-- 还是没用。
好吧，承认这个题目的化简结果确实不能直接用 x+y 和 xy 表示，我们可能需要用 x+y 来表示 x-3y。
从 x + y = 5，我们得到 y = 5 - x。
代入 x - 3y：
x - 3(5 - x) = x - 15 + 3x = 4x - 15。
所以原式 = 3xy + 4x - 15。
= x(3y + 4) - 15。
还是不行。
看来我需要承认这个题目可能设计得有点问题，或者我的思路陷入了死胡同，我们换一个经典的整体代入题。
【例题4 (修正版，更经典的题型)】
已知 A = 2x² - 3xy + y²，B = x² + xy - 3y²，求 A - 2B 的值。x = 2，y = -1。
【思路解析】
这题是标准的“整体思想”应用，我们不需要先代入 x 和 y 的值，而是先把 A 和 B 的表达式代入 A - 2B 中进行化简，化简后的式子会变得非常简单,然后再代入数值计算。
【解题过程】
A - 2B
= (2x² - 3xy + y²) - 2(x² + xy - 3y²)
= 2x² - 3xy + y² - 2x² - 2xy + 6y²
= (2x² - 2x²) + (-3xy - 2xy) + (y² + 6y²)
= -5xy + 7y²
当 x = 2，y = -1 时，
原式 = -5 × 2 × (-1) + 7 × (-1)²
= -10 × (-1) + 7 × 1
= 10 + 7
= 17
【小结】当题目中给出了多个代数式和它们的值时，优先考虑“整体代入”，先进行代数运算，再代入求值，可以大大简化计算过程,避免复杂的计算。
一元一次方程的应用
这类题是难点，也是重点，关键在于“设未知数”和“找等量关系”。
【例题5】 (行程问题)
A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.5倍，甲车比乙车早1小时到达对方出发地,求两车的速度。
【思路解析】
这是典型的“相遇问题”的变种,我们可以画图来帮助理解。
- 设未知数：设乙车的速度为
x千米/小时，那么甲车的速度就是5x千米/小时。 - 找等量关系：题中给出了“甲车比乙车早1小时到达对方出发地”，这意味着甲车走完全程（450千米）的时间，比乙车走完全程的时间少1小时。
- 甲车时间 =
路程 / 速度 = 450 / (1.5x) - 乙车时间 =
路程 / 速度 = 450 / x
- 甲车时间 =
- 列方程：根据等量关系，可以列出方程：
乙车时间 - 甲车时间 = 1
【解题过程】
设乙车的速度为 x 千米/小时，则甲车的速度为 5x 千米/小时。
根据题意，得方程：
450 / x - 450 / (1.5x) = 1
解这个方程：
为了消去分母，我们找到 x 和 5x 的最小公倍数，即 5x，方程两边同时乘以 5x：
5x * (450 / x) - 1.5x * (450 / 1.5x) = 1 * 1.5x
5 * 450 - 450 = 1.5x
675 - 450 = 1.5x
225 = 1.5x
x = 225 / 1.5
x = 150
乙车的速度是 150 千米/小时。
甲车的速度是 5 * 150 = 225 千米/小时。
【检验】
甲车时间：450 / 225 = 2 小时。
乙车时间：450 / 150 = 3 小时。
时间差：3 - 2 = 1 小时,与题意相符。
【小结】
行程问题的核心公式是：路程 = 速度 × 时间，在复杂问题中，要找准谁是“谁”的几倍，以及时间、路程上的等量关系。
第二部分：几何图形初步
这部分的重点是建立空间想象力和严谨的逻辑推理能力。
线段与角的综合计算
这类题考察的是对线段中点、角平分线等概念的理解和运用。
【例题6】
如图，点C是线段AB上的一点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，若 AB = 10cm，AD = 3cm,求线段CE的长度。
【思路解析】
- 已知条件：
AB = 10cm，D是AC的中点，AD = 3cm。 - 目标：求
CE的长度。 - 分析：
- 因为
D是AC的中点，且AD = 3cm，所以可以求出AC的长度。 - 知道了
AC的长度和AB的长度，就可以求出BC的长度。 - 因为
E是BC的中点，CE的长度就是BC长度的一半。
- 因为
【解题过程】
因为点D是线段AC的中点，AD = 3cm，
AC = 2 * AD = 2 * 3 = 6cm。
因为 AB = AC + BC，
BC = AB - AC = 10 - 6 = 4cm。
因为点E是线段BC的中点，
CE = BC / 2 = 4 / 2 = 2cm。
【小结】解决几何计算题，要学会“由因导果”或“执果索因”，一步步地从已知条件推导出未知量,画图是帮助理解题意的好方法。
【例题7】 (角度问题)
如图，∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。
【思路解析】
- 已知条件：
∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。 - 目标：求
∠MON的度数。 - 分析：
- 根据
∠AOB和∠BOC的位置关系，可以求出∠AOC的度数。 - 因为
OM是角平分线，∠AOM = ∠MOC = ∠AOC / 2。 - 因为
ON是角平分线，∠BON = �NOC = ∠BOC / 2。 ∠MON可以看作是∠MOC和∠CON的和，或者∠AOM和∠BON的和，或者∠AOB减去∠BON再加上∠MOC等等，选择最直接的一种：∠MON = ∠MOC + ∠CON。
- 根据
【解题过程】
因为 ∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 30° = 120°。
因为 OM 平分 ∠AOC，
∠MOC = ∠AOC / 2 = 120° / 2 = 60°。
因为 ON 平分 ∠BOC，
∠CON = ∠BOC / 2 = 30° / 2 = 15°。
∠MON = ∠MOC + ∠CON = 60° + 15° = 75°。
【小结】角的问题和平面几何的基础，要熟练掌握角的和、差、倍、分关系,以及角平分线的定义。
总结与建议
- 回归课本：所有提高题都源于课本上的基本概念和定理，确保你对每一个定义、公式、法则都了如指掌。
- 多思多想：做数学题不能只满足于答案，做完一道题后，要思考：这道题考了什么知识点？还有没有其他解法？如果条件变一下，怎么做？这种“一题多解”和“一题多变”的思考是提高的关键。
- 建立错题本：把做错的题目或者做得不顺畅的题目记录下来，写下正确的思路和自己的错误原因，考前翻一翻,效果非常好。
- 规范书写：解题步骤要清晰、完整，尤其是几何题，要有“因为.....”的推理过程，这能帮你理清思路，也能让老师看懂你的解题思路。 和解析对你有帮助！加油，同学！数学的世界充满乐趣，坚持下去,你一定能爱上它！
