九年级数学综合测试题如何高效提分？

九年级数学综合测试题

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

1. 本试卷共三大题,26小题。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 所有答案均须填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4. 计算题要求写出必要的文字说明、演算步骤。

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 1$ 的顶点坐标是 A. (2, 1) B. (-2, 1) C. (2, -1) D. (-2, -1)

2. 在平面直角坐标系中，点 $P(-3, 4)$ 关于原点对称的点的坐标是 A. (3, 4) B. (-3, -4) C. (3, -4) D. (4, -3)

3. 已知 $\odot O$ 的半径为5，点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为3，则点 $A$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $A$ 在圆上 B. 点 $A$ 在圆内 C. 点 $A$ 在圆外 D. 无法确定

4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 等腰梯形

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，则 $\sin A$ 的值是 A. $\frac{5}{13}$ B. $\frac{12}{13}$ C. $\frac{5}{12}$ D. $\frac{12}{5}$

6. 如果一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为6，那么这个扇形的面积为 A. $12\pi$ B. $4\pi$ C. $6\pi$ D. $3\pi$

7. 为了了解某市九年级学生的体能情况，随机抽取了500名学生的测试成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是 A. 某市所有九年级学生 B. 被抽取的500名学生 C. 被抽取的500名学生的测试成绩 D. 500

8. 已知 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，且 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 的相似比为 $2:3$，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $8 \text{cm}^2$，则 $\triangle DEF$ 的面积为 A. $12 \text{cm}^2$ B. $18 \text{cm}^2$ C. $27 \text{cm}^2$ D. $32 \text{cm}^2$

   
   （图片来源网络，侵删）

9. $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k < 4$ B. $k > 4$ C. $k \le 4$ D. $k \ge 4$

10. 如图，在 $\odot O$ 中，$AB$ 是直径，$CD$ 是弦，$AB \perp CD$ 于点 $E$，若 $AB = 10$，$CD = 8$，则 $AE$ 的长为

    (图示：一个圆，直径AB垂直于弦CD，交于点E) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 因式分解：$ax^2 - 4ay = \underline{\quad}$。

12. 函数 $y = \sqrt{x-2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 $\underline{\quad}$。

13. 某校九年级（1）班有50名学生，其中女生有25名，现随机抽取一名学生，抽到男生的概率是 $\underline{\quad}$。

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AB$、$AC$ 上，且 $DE \parallel BC$，若 $AD = 2$，$DB = 3$，$DE = 4$，则 $BC$ 的长为 $\underline{\quad}$。

    (图示：三角形ABC，DE平行于BC，D在AB上,E在AC上)

15. 如图，PA、PB是 $\odot O$ 的切线，A、B为切点，$\angle APB = 60^\circ$，$\odot O$ 的半径为3，则弦 $AB$ 的长为 $\underline{\quad}$。

    (图示：圆O，从圆外一点P引两条切线PA和PB，切点为A和B,角APB为60度)

16. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 $\underline{\quad}$。

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解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分8分) 计算：$(\pi - 2025)^0 + |-3| + \sqrt{12} - 2\sin 60^\circ$。

18. (本题满分8分) 先化简，再求值：$(\frac{a}{a-2} - \frac{4}{a^2-4}) \div \frac{a+2}{a}$，$a = \sqrt{3} + 1$。

19. (本题满分8分) 解方程：$x^2 - 4x - 1 = 0$。

20. (本题满分8分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AD$。 (1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACD$。 (2) 若 $AB = 5$，$BC = 6$，求 $AD$ 的长。

    (图示：等腰三角形ABC，AB=AC，D是BC中点,连接AD)

21. (本题满分9分) 某商店销售一种进价为每件40元的商品，经市场调查发现，销售单价定为50元时，每天可售出100件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少2件，设销售单价为 $x$ 元，每天的销售利润为 $y$ 元。 (1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

22. (本题满分9分) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，$AC$ 平分 $\angle BAD$，$BC = 6$，$CD = 2$。 (1) �证：$CD$ 是 $\odot O$ 的切线。 (2) 求 $AB$ 的长。

    (图示：圆O，直径AB，点C在圆上，连接AC和BC，延长BC到D，使得CD=2，连接AD,AC平分角BAD)

23. (本题满分10分) 为了响应“阳光体育”运动的号召，某校随机抽取了部分九年级学生一周内平均每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟），并绘制成如下的统计图表,请结合图表信息解答下列问题：

    统计表： | 时间分组 (分钟) | 频数 (人数) | 频率 | | :--- | :--- | :--- | | $0 \le t < 30$ | 10 | 0.1 | | $30 \le t < 60$ | $a$ | 0.3 | | $60 \le t < 90$ | 30 | $b$ | | $90 \le t < 120$ | 20 | 0.2 | | $120 \le t < 150$ | 10 | 0.1 | | 合计 | $n$ | 1.0 |

    频数分布直方图（部分）： (图示：一个不完整的直方图，横轴是时间分组，纵轴是频数，0≤t<30”和“90≤t<120”的柱状图已画出，高度分别为10和20。)

    (1) 求出表中 $a$, $b$, $n$ 的值。 (2) 请将频数分布直方图补充完整。 (3) 若该校九年级共有800名学生，估计该校九年级学生中,一周内平均每天参加体育锻炼时间不少于60分钟的人数。

24. (本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $\triangle PAB$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的一个动点，且在第一象限，是否存在点 $M$，使得以 $A$, $B$, $M$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在,请说明理由。

    (图示：坐标系中，抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，对称轴为x=1)

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参考答案及评分标准

选择题

1. A
2. C
3. B
4. C
5. A
6. B
7. C
8. B
9. A
10. B

填空题 11. $a(x+2)(x-2)$ 12. $x \ge 2$ 13. $\frac{1}{2}$ 14. $10$ 15. $3\sqrt{3}$ 16. $\frac{25}{64}$

解答题

17. 解： 原式 $= 1 + 3 + 2\sqrt{3} - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= 4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$ $= 4 + \sqrt{3}$。 (每步2分,共8分)

18. 解： 原式 $= \left( \frac{a}{a-2} - \frac{4}{(a+2)(a-2)} \right) \div \frac{a+2}{a}$ $= \left( \frac{a(a+2)-4}{(a+2)(a-2)} \right) \div \frac{a+2}{a}$ $= \frac{a^2+2a-4}{(a+2)(a-2)} \times \frac{a}{a+2}$ $= \frac{a(a^2+2a-4)}{(a+2)^2(a-2)}$。 当 $a = \sqrt{3} + 1$ 时， 原式 $= \frac{(\sqrt{3}+1)((\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{3}+1)-4)}{(\sqrt{3}+1+2)^2(\sqrt{3}+1-2)}$ $= \frac{(\sqrt{3}+1)(3+2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}+2-4)}{(\sqrt{3}+3)^2(\sqrt{3}-1)}$ $= \frac{(\sqrt{3}+1)(2+4\sqrt{3})}{(3+6\sqrt{3}+9)(\sqrt{3}-1)}$ $= \frac{(\sqrt{3}+1) \cdot 2(1+2\sqrt{3})}{(12+6\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}$ $= \frac{2(\sqrt{3}+1)(1+2\sqrt{3})}{6(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}$ $= \frac{(\sqrt{3}+1)(1+2\sqrt{3})}{3(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}$ (化简过程4分，求值过程4分，共8分) （注：此题计算量较大，也可将 $a=\sqrt{3}+1$ 代入化简后的式子进行计算，结果一致）

19. 解： 移项，得 $x^2 - 4x = 1$。 配方，得 $x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$， $(x-2)^2 = 5$。 解得 $x-2 = \pm\sqrt{5}$。 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$。 (配方正确2分，求解过程4分，答案2分,共8分)

20. (1) 证明： 因为 $D$ 是 $BC$ 的中点， $BD = CD$。 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中， $\begin{cases} AB = AC \quad (\text{已知}) \ BD = CD \quad (\text{已证}) \ AD = AD \quad (\text{公共边}) \end{cases}$ $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SSS)。 (4分)

    (2) 解： 由(1)可知，$AD \perp BC$。 在Rt$\triangle ABD$中，$AB = 5$，$BD = \frac{1}{2}BC = 3$。 根据勾股定理，$AD^2 + BD^2 = AB^2$。 $AD^2 = AB^2 - BD^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$。 $AD = 4$。 (4分)

21. (1) 解： 根据题意，销售量为 $100 - 2(x-50) = 200 - 2x$ (件)。 销售利润为 $y = (x-40)(200-2x)$。 $y = -2x^2 + 280x - 8000$。 (4分)

    (2) 解： 由(1)知，$y = -2x^2 + 280x - 8000$。 当 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{280}{2 \times (-2)} = 70$ 时，$y$ 有最大值。 最大利润为 $y_{max} = -2(70)^2 + 280 \times 70 - 8000 = 1800$ (元)。 答：当销售单价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元。 (5分)

22. (1) 证明： 连接 $OC$。 因为 $AB$ 是直径，$\angle ACB = 90^\circ$。 因为 $AC$ 平分 $\angle BAD$， $\angle BAC = \angle CAD$。 因为 $OA = OC$， $\angle OAC = \angle OCA$。 $\angle OCA = \angle CAD$。 $OC \parallel AD$。 因为 $BC \perp AD$， $OC \perp BC$。 又因为 $C$ 在 $\odot O$ 上， $CD$ 是 $\odot O$ 的切线。 (5分)

    (2) 解： 因为 $CD$ 是切线，$CB$ 是割线， $CD^2 = CB \cdot DB$。 $2^2 = 6 \cdot (DB-6)$。 $4 = 6DB - 36$。 $6DB = 40$。 $DB = \frac{20}{3}$。 因为 $AB$ 是直径，$\angle ACB = 90^\circ$。 在Rt$\triangle ABC$中，$AC^2 = AD^2 - CD^2 = (AB + DB)^2 - CD^2$，此法较复杂。 利用相似：$\triangle ACB \sim \triangle DCB$。 $\frac{AC}{DB} = \frac{AB}{CB} = \frac{CB}{CD}$。 由 $\frac{CB}{CD} = \frac{AB}{CB}$，得 $\frac{6}{2} = \frac{AB}{6}$。 $AB = 18$。 (4分)

23. (1) 解： $n = \frac{10}{0.1} = 100$。 $a = 0.3 \times 100 = 30$。 $b = \frac{30}{100} = 0.3$。 (3分)

    (2) 解： “$30 \le t < 60$”的频数为30，补全图略。 (3分)

    (3) 解： 根据图表，时间不少于60分钟的频率为 $b + 0.2 + 0.1 = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6$。 估计人数为 $800 \times 0.6 = 480$ (人)。 (3分)

24. (1) 解： 因为抛物线经过 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$, 可设解析式为 $y = a(x+1)(x-3)$。 将 $C(0, 3)$ 代入，得 $3 = a(0+1)(0-3)$。 $3 = -3a$。 $a = -1$。 所以抛物线的解析式为 $y = -(x+1)(x-3)$， 即 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (4分)

    (2) 解： 抛物线的对称轴为 $x = \frac{-1+3}{2} = 1$。 点 $A$ 关于对称轴 $x=1$ 的对称点为 $A'(3, 0)$，与 $B$ 重合，此路不通。 应连接 $AC$，与对称轴的交点即为所求。 直线 $AC$ 的解析式为 $y = 3x + 3$。 当 $x=1$ 时，$y=6$。 所以点 $P$ 的坐标为 $(1, 6)$。 (5分)

    (3) 解： 存在。 情况一：$\angle AMB = 90^\circ$。 $M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，且在抛物线上。 圆心为 $(1, 0)$，半径为 $2$。 圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 4$。 联立 $y = -x^2 + 2x + 3$， $(x-1)^2 + (-x^2+2x+3)^2 = 4$。 解得 $x_1 = -1$ (舍去), $x_2 = 3$ (舍去), $x_3 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。 取 $x_M = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$y_M = -(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 + 2(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + 3 = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$。 点 $M1(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{5}}{2})$。 情况二：$\angle BAM = 90^\circ$。 $M$ 在过点 $A$ 且垂直于 $AB$ 的直线上。 $AB$ 的斜率为 $k{AB} = 0$，$AM$ 的斜率不存在，$M$ 的横坐标为 $-1$。 代入抛物线，$y = -(-1)^2 + 2(-1) + 3 = 0$，即点 $A$，舍去。 情况三：$\angle ABM = 90^\circ$。 $M$ 在过点 $B$ 且垂直于 $AB$ 的直线上。 $BM$ 的斜率不存在，$M$ 的横坐标为 $3$。 代入抛物线，$y = -(3)^2 + 2(3) + 3 = 0$，即点 $B$，舍去。 存在这样的点 $M$，其坐标为 $(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{5+\sqrt{5}}{2})$。 (3分)