九年级相似三角形教案如何突破教学难点？

九年级数学《相似三角形（第一课时）》教案

教学基本信息

• 课题： 24.2 相似三角形（第一课时）
• 授课年级： 九年级
• 教材版本： 人教版（或其他主流版本,内容基本一致）
• 课时安排： 1课时（45分钟）
• 授课教师： [教师姓名]

教学目标

根据课程标准和学生认知水平,设定以下三维目标：

1. 知识与技能：

   
   （图片来源网络，侵删）
   • 理解并掌握相似三角形的定义和表示方法。
   • 理解相似比（相似系数）的概念,并会计算相似三角形的相似比。
   • 掌握相似三角形的预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
   • 能够运用预备定理进行简单的证明和计算。

2. 过程与方法：

   • 通过观察、测量、比较、猜想等数学活动，经历从具体到抽象的认知过程,培养学生的合情推理能力。
   • 通过小组合作探究，体验“观察—猜想—验证—归纳—应用”的数学思想方法,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
   • 通过一题多解,培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：

   • 通过探究活动，激发学生学习数学的兴趣,感受数学的严谨性和探索性。
   • 在合作学习中,培养学生的团队协作精神和交流意识。
   • 感受相似图形在生活中的广泛应用,体会数学与生活的紧密联系。

教学重难点

• 教学重点：

  1. 相似三角形的概念。
  2. 相似三角形的预备定理及其应用。

• 教学难点：

  
  （图片来源网络，侵删）
  1. 相似三角形“形状相同，大小不一定相同”的本质理解。
  2. 预备定理的证明思路（特别是对“对应顶点字母写在对应位置”的理解）。

教学准备

• 教师准备： 多媒体课件（PPT）、三角板、量角器、剪刀、若干大小不一但形状相同的三角形纸片。
• 学生准备： 直尺、量角器、练习本、铅笔。

教学过程

(一) 创设情境，引入新课 (约5分钟)

1. 情境展示：

   • PPT展示一组图片：大小不同的国旗、同一张照片的不同尺寸版本、由小到大的埃菲尔铁塔模型、放大镜下的图形等。
   • 提问： “同学们，请观察这些图片，它们有什么共同的特点？”
   • 引导学生回答： “形状相同，大小不同。”

2. 聚焦问题：

   • 教师追问： “在数学中，我们把这种‘形状相同’的图形称为相似图形，我们已经学过相似多边形，今天我们来研究一种特殊的相似图形——相似三角形。”（板书课题：24.2 相似三角形）
   • 提出本节课核心问题： “什么样的两个三角形是相似的？如何判断两个三角形相似？”

(二) 动手操作，探究新知 (约15分钟)

感知相似三角形的概念

1. 分发学具： 给每个小组分发2-3对形状相同但大小不一的三角形纸片（△ABC 和 △A'B'C'）。
2. 任务驱动：
   • 任务1（测量）： 用量角器测量每组三角形三个内角的度数,用直尺测量三条边的长度。
   • 任务2（比较）： 比较两个三角形的三个角和三条边,你发现了什么？
   • 任务3（猜想）： 你认为满足什么条件的两个三角形是相似的？
3. 小组汇报与归纳：
   • 请小组代表上台展示测量数据并分享发现。
   • 教师引导总结：
     • 角的关系： 对应角相等。（∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'）
     • 边的关系： 对应边成比例。（即 AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'）
   • 得出定义： 如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。（板书）
   • 强调： 对应角相等、对应边成比例，这两个条件必须同时满足。

学习相似三角形的表示与相似比

1. 表示方法：

   • 教师讲解： “相似用符号 ‘∽’ 表示，读作 ‘相似于’。”
   • 板书： △ABC ∽ △A'B'C'
   • 强调对应： “书写时，一定要把对应顶点的字母写在对应的位置上！这能帮助我们快速找到对应角和对应边。”（举例：ABC ∽ △DEF，则A对应D，B对应E,C对应F）

2. 相似比（相似系数）：

   • 概念引入： “相似三角形对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。”（板书）
   • 举例说明： 在△ABC ∽ △A'B'C'中，相似比 k = AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
   • 关键点：
     • 相似比是一个正数。
     • 计算相似比时，必须指明是哪个三角形与哪个三角形的相似比。
     • ABC ∽ △A'B'C'的相似比是 k，A'B'C' ∽ △ABC的相似比就是 1/k。

(三) 合作探究，突破难点 (约15分钟)

探究活动：相似三角形的预备定理

1. 提出问题：

   • PPT展示图形：在△ABC中，DE∥BC，D在AB上,E在AC上。
   • 提问： “同学们，大胆猜想一下，△ADE和△ABC之间有什么关系？为什么？”
   • 学生猜想： “看起来很像，可能是相似的。”

2. 验证猜想：

   • 方法一（度量法）： 请学生用直尺和量角器在课本图形上测量，验证对应角是否相等，对应边是否成比例。（初步验证）
   • 方法二（逻辑推理）：
     • 教师引导： “度量只能得到近似值，如何从理论上证明它们相似呢？我们需要从定义出发，证明‘对应角相等，对应边成比例’。”
     • 证明对应角相等：
       • ∠A 是公共角，∠A = ∠A。
       • ∵ DE ∥ BC （已知）
       • ∴ ∠ADE = ∠B （两直线平行,内错角相等）
       • ∴ ∠AED = ∠C （同理）
       • △ADE 和 △ABC 的对应角相等。
     • 证明对应边成比例（本课时难点）：
       • 教师讲解： “我们已经知道角相等了，现在来证明边成比例，这需要用到我们之前学过的知识——平行线分线段成比例定理。”
       • 回顾旧知： “如果一组三条或三条以上的平行线被两条直线所截，那么所得的对应线段成比例。”
       • 应用定理：
         • ∵ DE ∥ BC （已知）
         • ∴ AD/AB = AE/AC （平行线分线段成比例定理）
       • 教师追问： “我们只得到了两组边的比相等，怎么证明第三组呢？”
       • 引导学生思考： “我们可以利用 AD/AB = AE/AC，通过等式的性质变形得到 AD/AE = AB/AC，再结合我们刚刚证明的 ∠A = ∠A，可以证明出 △ADE ∽ △ABC （利用 SAS 相似判定定理，此为后续内容，此处可暂不点明，或作为悬念），但这比较复杂。”
       • 给出简洁思路（预备定理的标准证法）：
         1. 过点 D 作 DF ∥ AC，交 BC 于点 F。
         2. 则四边形 DFCE 是平行四边形。
         3. DF = CE，FC = DE。
         4. ∵ DF ∥ AC，∴ BD/BA = BF/BC。
         5. 又 ∵ BF = BC - FC = BC - DE,这个思路似乎也复杂了。
       • 回归核心，直接给出结论并强调： “为了简化证明过程，我们把这条重要的结论作为一个基本事实，也就是我们的预备定理。”（降低认知负荷，重点放在应用上）
         • 预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似。
         • 几何语言：
           • 如图1： 在△ABC中，∵ DE ∥ BC，
           • ∴ △ADE ∽ △ABC。
           • 如图2： 在△ABC中，∵ DE ∥ BC，
           • ∴ △ADE ∽ △ABC。

3. 初步应用：

   • 例题1： 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=2.4,求EC的长度。
   • 师生共同分析：
     • 第一步：识别图形，看到 DE∥BC,立刻想到预备定理。
     • 第二步：写出相似关系。△ADE ∽ △ABC。
     • 第三步：写出对应边的比例式，AD/AB = AE/AC。
     • 第四步：代入数据求解，AB = AD + DB = 5，AC = AE + EC = 2.4 + EC。
     • 3/5 = 2.4 / (2.4 + EC)，解得 EC = 1.6。
   • 教师强调： 解题的关键是“先找相似，再写比例，后计算”。

(四) 巩固练习，学以致用 (约7分钟)

1. 基础题（判断题）：

   • (1) 所有等边三角形都相似。 ( √ )
   • (2) 所有等腰直角三角形都相似。 ( √ )
   • (3) 所有的直角三角形都相似。 ( × )
   • (4) 两个全等的三角形一定是相似三角形，相似比是1。 ( √ )

2. 计算题：

   • 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若AD=4，AB=10，DE=5,求BC的长。
   • 学生独立完成，请一位同学板演，教师巡视指导。

(五) 课堂小结，梳理升华 (约3分钟)

• 教师提问： “通过今天的学习，你有哪些收获？”
• 引导学生从以下几个方面总结：
  1. 知识上： 我学到了相似三角形的定义、表示方法、相似比的概念和平行于三角形一边的直线所构成的三角形与原三角形相似的预备定理。
  2. 方法上： 我学会了如何判断两个三角形是否相似（从定义出发）,以及如何利用预备定理进行计算和证明。
  3. 思想上： 我体会到了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想。
• 教师总结： “相似是图形间的一种重要关系，它不仅存在于三角形中，也广泛存在于我们的世界里，下节课我们将继续探索判断三角形相似的其他方法。”

板书设计

2 相似三角形（第一课时）

定义	预备定理	例题与练习
相似三角形：	图形： (画图1和图2)	例题1： (题目与解题过程)
对应角相等	预备定理：	解：∵ DE ∥ BC
对应边成比例	平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。	∴ △ADE ∽ △ABC (预备定理)
表示：△ABC ∽ △A'B'C'	几何语言：	∴ AD/AB = AE/AC
相似比：k = AB/A'B'	∵ DE ∥ BC	∴ 3/5 = 2.4 / (2.4+EC)
注意：对应顶点写在对应位置！	∴ △ADE ∽ △ABC	∴ EC = 1.6
		练习题： (题目)

---

作业布置

1. 基础作业（必做）：

   • 课本 Pxx 页，练习题 第1、2、3题。
   • 习题24.2 第1题。

2. 拓展作业（选做）：

   • 思考：如果一条直线平行于三角形一边的延长线，情况会怎样？请画图并尝试说明。
   • 寻找生活中至少3个相似三角形的例子,并尝试说明为什么它们相似。

教学反思

本节课的设计力求体现以学生为主体的教学理念，通过生活情境引入，激发学生兴趣；通过动手操作和小组合作，让学生亲历知识的形成过程；通过逻辑推理，培养学生的严谨思维，预备定理的证明是难点，对于九年级学生，直接将其作为基本事实呈现，重点放在其应用上，符合学生的认知规律,能更好地保护学生的学习积极性。

在实际教学中,需要注意：

• 时间把控： 探究活动和例题讲解是重点，要给予充足时间,练习环节要灵活调整。
• 关注个体： 在小组活动中，要关注学习有困难的学生,及时给予指导。
• 语言规范： 强调数学语言的准确性和规范性，特别是“对应”和“相似比”的表述。
• 思想渗透： 在各个环节中，要潜移默化地渗透数学思想方法，如转化思想、数形结合思想等。