八年级上册三角形卷子
校园之窗 2026年1月22日 07:45:33 99ANYc3cd6
八年级上册《三角形》综合复习卷
核心知识梳理
在做题之前,先确保你对这些核心概念和定理了如指掌。
三角形的基本概念
- 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
- 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
作用：判断三条线段能否构成三角形。
- 三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°。
- 三角形的外角：
- 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
- 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的重要线段
- 中线：连接一个顶点和它对边中点的线段。（三条中线交于一点，即重心）
- 高线：从一个顶点向它的对边（或对边所在直线）作垂线，顶点和垂足间的线段。（三条高线或其延长线交于一点，即垂心）
- 角平分线：一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。（三条角平分线交于一点，即内心）
全等三角形
- 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
- 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
- 判定公理/定理（这是重点！）
- SSS（边边边）：三边对应相等，两三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等，两三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等，两三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等，两三角形全等。
- HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。（仅限Rt△）
- 注意：“SSA”和“AAA”不能作为判定全等的依据。
角平分线的性质
- 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
- 判定定理：到一个角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
线段垂直平分线的性质
- 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
- 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
轴对称
- 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
- 性质：
- 关于某条直线对称的两个图形是全等的。
- 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
- 对称角相等,对称边相等。
- 等腰三角形
- 性质：
- 两条边相等。
- 两个底角相等（等边对等角）。
- 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
- 是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线（底边上的高、底边上的中线）所在的直线。
- 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
- 性质：
- 等边三角形
- 性质：
- 三条边相等,三个角都相等，每个角都是60°。
- 具有等腰三角形的一切性质。
- 有三条对称轴。
- 判定：
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
- 性质：
典型例题与解题思路
例1：利用三边关系求范围 已知三角形三边长分别为 3, 5, x-2, 求 x 的取值范围。
思路分析：
直接运用“任意两边之和大于第三边”和“任意两边之差小于第三边”列不等式组。
解：
根据三边关系，得：
(1) 3 + 5 > x - 2 => 8 > x - 2 => x < 10
(2) 3 + (x - 2) > 5 => x + 1 > 5 => x > 4
(3) 5 + (x - 2) > 3 => x + 3 > 3 => x > 0
综合以上三个不等式，x 需要同时满足 x < 10, x > 4, x > 0。
x 的取值范围是 4 < x < 10。
例2：全等三角形的证明 如图，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC, BC 为边作等边三角形 △ACD 和 △BCE，连接 AE, DB。 求证：AE = DB。
思路分析：
要证明两条线段相等，最常用的方法是证明它们所在的两个三角形全等。
证明：
在 △ACD 和 △BCE 中：
∵ △ACD 和 △BCE 都是等边三角形，
∴ AC = DC, BC = EC (等边三角形的性质)
且 ∠ACD = ∠BCE = 60° (等边三角形的性质)
又 ∠ACD + ∠DCB = ∠BCE + ∠DCB
即 ∠ACB = ∠DCE
在 △ACE 和 △DCB 中：
AC = DC
∠ACE = ∠DCB
CE = CB
∴ △ACE ≌ △DCB (SAS)
∴ AE = DB (全等三角形的对应边相等)
分层练习题
（一） 基础巩固题
-
以下列各组线段为边,能组成三角形的是（ ） A. 1cm, 2cm, 3cm B. 2cm, 3cm, 5cm C. 5cm, 6cm, 12cm D. 3cm, 4cm, 9cm
-
在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
-
下列命题中,错误的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角
-
等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是（ ） A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 无法确定
-
如图,△ABC ≌ △DEF，点A与点D，点B与点E是对应点，则∠A的对应角是__，BC的对应边是__。
（二） 能力提升题
-
如图,AD是△ABC的高，∠B=36°，∠CAD=42°，则∠C的度数为__。
-
如图,点E, F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE。
-
如图,在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，连接AD。 (1) 图中有几个等腰三角形？请写出它们的名称。 (2) 若∠B=40°，求∠BAD的度数。
（三） 挑战拓展题
-
如图,在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。 求证：AD是EF的垂直平分线。
-
如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠A=30°。 (1) 求∠BCD的度数。 (2) 若AB=4cm，求CD的长。
参考答案与解析
（一） 基础巩固题
- C (解析：A中1+2=3；B中2+3=5；D中3+4<9，均不满足两边之和大于第三边，C中5+6>12, 5+12>6, 6+12>5，满足。)
- C (解析：∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 60° = 80°。)
- C (解析：C选项缺少“夹边”或“对边”的条件，错误，正确的应为“ASA”或“AAS”。)
- C (解析：80°可能是顶角，也可能是底角，若为顶角，则顶角为80°；若为底角，则顶角为180°-2×80°=20°。)
- ∠F，EF (解析：根据对应点确定对应角和对应边。)
（二） 能力提升题
6. 54° (解析：在△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=42°，C=180°-90°-42°=48°。)
7. 证明：
∵ BE = CF
∴ BE + EF = CF + EF
即 BF = CE
在△ABF和△DCE中：
AB = DC (已知)
∠B = ∠C (已知)
BF = CE (已证)
∴ △ABF ≌ △DCE (SAS)
∴ AF = DE (全等三角形的对应边相等)
- 解： (1) 图中有 2 个等腰三角形，分别是 △ABC 和 △ABD (或 △ADC)。 (2) ∵ AB = AC, D是BC中点 ∴ AD是BC边上的中线。 ∵ 等腰三角形三线合一， ∴ AD平分∠BAC。 ∴ ∠BAD = ∠CAD = ½∠BAC。 ∵ ∠B = ∠C = 40° ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 40° = 100°。 ∴ ∠BAD = ½ × 100° = 50°。
（三） 挑战拓展题
9. 证明：
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DF⊥AC
∴ 点E, F到AD两边的距离相等。
即 DE = DF。
在△AED和△AFD中：
∠EAD = ∠FAD (角平分线定义)
AD = AD (公共边)
DE = DF (已证)
∴ △AED ≌ △AFD (HL)
∴ AE = AF (全等三角形的对应边相等)
又 ∵ DE = DF
∴ 点A, D都在EF的垂直平分线上。
∴ AD是EF的垂直平分线。
- 解： (1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴ ∠ABC = 180° - 90° - 30° = 60°。 又 ∵ CD是高， ∴ 在△BCD中，∠BDC=90°。 ∴ ∠BCD = 180° - 90° - ∠ABC = 180° - 90° - 60° = 30°。 (或者利用“直角三角形中，一个锐角等于另一个锐角的余角”得出 ∠BCD = ∠A = 30°) (2) 在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm， 根据含30°角的直角三角形的性质，斜边是30°角所对直角边的2倍。 即 BC = ½ AB = ½ × 4 = 2cm。 在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=2cm， CD = BC × cos(30°) = 2 × (√3 / 2) = √3 cm。 (或者利用面积法：S△ABC = ½AC·BC = ½AB·CD，先求出AC，再计算CD。)
