八年级上册的数学卷子

八年级上册数学期末模拟卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，不是轴对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 线段 C. 角 D. 平行四边形

   
   （图片来源网络，侵删）

2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC的形状是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

3. 下列计算正确的是 A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$ B. $(a^2)^3 = a^5$ C. $(2a)^3 = 6a^3$ D. $a^6 \div a^2 = a^4$

4. 下列实数中，是无理数的是 A. 3.14 B. $\sqrt{9}$ C. $\frac{22}{7}$ D. $\sqrt{5}$

5. 已知点P(3, -2)关于x轴的对称点为P'，则P'的坐标是 A. (-3, 2) B. (-3, -2) C. (3, 2) D. (2, -3)

   
   （图片来源网络，侵删）

6. 若一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、三、四象限，则k和b的符号是 A. $k>0, b>0$ B. $k>0, b<0$ C. $k<0, b>0$ D. $k<0, b<0$

7. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 A. $x^2 - 4y^2$ B. $x^2 + 4y^2$ C. $-x^2 - 4y^2$ D. $x^2 + 4xy + 4y^2$

8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，若∠BAD=30°，则∠C的度数为 A. 30° B. 60° C. 70° D. 80°

   (注：此题为图形题，请在脑海中构建图形或自行绘制)

9. 已知$4x^2 + kx + 9$是一个完全平方式，则k的值是 A. 12 B. -12 C. ±12 D. 36

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=3，BD=12，则CD的长为 A. 6 B. $2\sqrt{3}$ C. $2\sqrt{6}$ D. 36

    (注：此题为图形题，请在脑海中构建图形或自行绘制)

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。

12. 点A(1, m)在函数$y=2x-1$的图象上，则m的值为 \underline{\quad\quad}。

13. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是 \underline{\quad\quad} 边形。

14. 分解因式：$a^3 - 4a = \underline{\quad\quad}$。

15. 已知△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为12cm²，AB=6cm，EF=4cm，则△DEF中EF边上的高为 \underline{\quad\quad} cm。

16. 若一次函数$y=(m-1)x + m^2 - 1$的图象经过原点，则m的值为 \underline{\quad\quad}。

17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且AD=BD，则∠DAC的度数为 \underline{\quad\quad}。

    (注：此题为图形题，请在脑海中构建图形或自行绘制)

18. 观察下列算式：$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, \dots$，根据你发现的规律，$3^{2025}$的个位数字是 \underline{\quad\quad}。

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解答题（共66分）

(本小题8分) 计算： $(1) \sqrt{18} + (\pi - 3.14)^0 - (-\frac{1}{2})^{-2} + |1-\sqrt{2}|$ $(2) (2a+b)(2a-b) - (a+b)^2$

(本小题8分) 先化简，再求值： $(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$，x=\sqrt{3}-1$。

(本小题8分) 已知：如图，点A, E, F, C在同一条直线上，AE=CF，AB∥CD，AB=CD，求证：∠B=∠D。

*(注：此题为证明题，请在脑海中构建图形或自行绘制)*

(本小题10分) 某文具店销售A, B两种型号的钢笔，A种钢笔每支进价12元，售价15元；B种钢笔每支进价15元，售价20元。 (1) 该店一次购进A, B两种钢笔共50支，恰好用去675元，求购进A, B两种钢笔各多少支？ (2) 在(1)的条件下，若A种钢笔每支降价1元出售，B种钢笔售价不变，要使销售完这50支钢笔的总利润不低于330元，最多可以降价多少元？

(本小题10分) 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE, CE。 (1) 求证：△ABD≌△ACD。 (2) 求证：BE=CE。

*(注：此题为证明题，请在脑海中构建图形或自行绘制)*

(本小题12分) 已知直线$l_1: y = -2x + 4$与x轴、y轴分别交于A, B两点，直线$l_2: y = kx + b$经过点B，且与直线$l_1$关于y轴对称。 (1) 求点A, B的坐标。 (2) 求直线$l_2$的表达式。 (3) 求直线$l_1$与$l_2$的交点C的坐标。 (4) 求△ABC的面积。

(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，求证：AD⊥BC。

*(注：此题为证明题，请在脑海中构建图形或自行绘制)*

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参考答案与解析

选择题

1. D (平行四边形对角线互相平分,但不是轴对称图形)
2. C (∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，A最小，∠B和∠C相等且大于∠A,是钝角三角形)
3. D (A选项应为$a^5$；B选项应为$a^6$；C选项应为$8a^3$)
4. D (A、C是有限小数或无限循环小数，属于有理数；B开方后得3,也是有理数)
5. C (关于x轴对称，横坐标不变,纵坐标取相反数)
6. B (经过一、三象限，说明k>0；经过四象限，说明b<0)
7. A (平方差公式形式为$a^2-b^2$)
8. B (等腰三角形三线合一，AD垂直平分BC，ADC=90°，在△ADC中，∠C=90°-∠CAD=90°-30°=60°)
9. C (完全平方式形式为$(2x \pm 3)^2 = 4x^2 \pm 12x + 9$，所以k=±12)
10. A (根据射影定理，$CD^2 = AD \cdot BD = 3 \times 12 = 36$，所以CD=6)

填空题

11. $\sqrt{3}$ ($\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$)
12. 1 (将点坐标代入函数式：$m = 2 \times 1 - 1 = 1$)
13. 八 (多边形内角和公式 $(n-2) \times 180° = 1080°$, 解得n=8)
14. $a(a+2)(a-2)$ (先提公因式$a$，再用平方差公式：$a(a^2-4) = a(a+2)(a-2)$)
15. 18 (两三角形面积相等，设△DEF中EF边上的高为h，则$\frac{1}{2} \times 4 \times h = 12$，解得h=6cm，注意：对应边相等，但这里AB和EF不是对应边，面积相等是关键。修正：题目应说明AB与EF是对应边，否则不严谨，按常规理解，面积相等，$\frac{1}{2} \times EF \times h{EF} = 12$, $\frac{1}{2} \times 4 \times h{EF} = 12$, $h_{EF} = 6$ cm，原答案18cm有误，应为6cm。)
16. -1 (图象过原点，则当x=0时，y=0，代入得$m^2 - 1 = 0$，解得m=±1，又因为是“一次函数”，m-1 \neq 0$，即$m \neq 1$，所以m=-1。)
17. 30° (∠B=40°，AB=AC，C=40°，AD=BD，BAD=∠B=40°，DAC = ∠BAC - ∠BAD = (180°-40°-40°) - 40° = 100° - 40° = 60°。修正：计算有误。∠BAC = 180° - 2×40° = 100°，在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 40° - 40° = 100°。∠ADC = 180° - ∠ADB = 80°，在△ADC中，∠DAC = 180° - ∠C - ∠ADC = 180° - 40° - 80° = 60°，原答案30°有误，应为60°。)
18. 3 (3的幂的个位数字周期为4：3, 9, 7, 1。$2025 \div 4 = 505$余3，所以个位数字与$3^3$相同，为7。修正：原答案3有误，应为7。)

解答题

解： $(1) \sqrt{18} + (\pi - 3.14)^0 - (-\frac{1}{2})^{-2} + |1-\sqrt{2}|$ $= 3\sqrt{2} + 1 - (-2)^2 + \sqrt{2} - 1$ $= 3\sqrt{2} + 1 - 4 + \sqrt{2} - 1$ $= (3\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (1 - 4 - 1)$ $= 4\sqrt{2} - 4$

$(2) (2a+b)(2a-b) - (a+b)^2$ $= (4a^2 - b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)$ $= 4a^2 - b^2 - a^2 - 2ab - b^2$ $= 3a^2 - 2ab - 2b^2$

解： $(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$ $= (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1)$ $= x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1$ $= 4x + 5$

当$x=\sqrt{3}-1$时， 原式$= 4(\sqrt{3}-1) + 5$ $= 4\sqrt{3} - 4 + 5$ $= 4\sqrt{3} + 1$

证明： $\because AE = CF$ $\therefore AE + EF = CF + EF$ 即 $AF = CE$ 又 $\because AB \parallel CD$ $\therefore \angle A = \angle C$ 在△ABF和△CDE中 $\begin{cases} AF = CE \ \angle A = \angle C \ AB = CD \end{cases}$ $\therefore \triangle ABF \cong \triangle CDE$ (SAS) $\therefore \angle B = \angle D$ (全等三角形的对应角相等)

解： (1) 设购进A种钢笔x支，则购进B种钢笔$(50-x)$支。 根据题意得： $12x + 15(50-x) = 675$ $12x + 750 - 15x = 675$ $-3x = -75$ $x = 25$ $50 - x = 25$ 答：购进A, B两种钢笔各25支。

(2) 设A种钢笔每支降价a元。 根据题意得： $(15-a-12) \times 25 + (20-15) \times 25 \ge 330$ $(3-a) \times 25 + 5 \times 25 \ge 330$ $75 - 25a + 125 \ge 330$ $200 - 25a \ge 330$ $-25a \ge 130$ $a \le -5.2$ 因为a代表降价金额，a \ge 0$。 所以此不等式无解。（题目数据可能有问题，重新审视） 重新审题：A种售价15元，进价12元，利润3元，B种售价20元，进价15元，利润5元。 总利润：$3 \times 25 + 5 \times 25 = 75 + 125 = 200$元，要求利润不低于330元，这是不可能的。（看来是我看错了题，应该是总售价不低于330元） 再看一遍：要使销售完这50支钢笔的总利润不低于330元。 $(15-a-12) \times 25 + (20-15) \times 25 \ge 330$ $(3-a) \times 25 + 5 \times 25 \ge 330$ $75 - 25a + 125 \ge 330$ $200 - 25a \ge 330$ $-25a \ge 130$ $a \le -5.2$ 这个结果不合理，说明题目数据设置有误，如果改为“总利润不低于230元”，则$a \le 1.2$，答案为最多降价1.2元，为“总利润不低于200元”） 则 $200 - 25a \ge 200$ $-25a \ge 0$ $a \le 0$ 因为$a \ge 0$，a=0$，数据确实有问题，我们按常规思路解答，并指出问题） 解答： 设A种钢笔每支降价a元 ($a \ge 0$)。 A种利润为$(15-12-a) = (3-a)$元。 B种利润为$(20-15) = 5$元。 总利润为$25(3-a) + 25 \times 5 = 75 - 25a + 125 = 200 - 25a$元。 根据题意：$200 - 25a \ge 330$ 解得：$a \le -5.2$ 因为降价金额a必须是非负数，所以此不等式无解，这意味着在现有定价下，无论如何降价，总利润都无法达到330元，可能题目中的数字有误，例如将“50支”改为更多，或将“330元”改为更小的值。

证明： (1) 在△ABD和△ACD中 $\begin{cases} AB = AC \text{ (已知)} \ BD = CD \text{ (D是BC中点)} \ AD = AD \text{ (公共边)} \end{cases}$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$ (SSS) (2) $\because \triangle ABD \cong \triangle ACD$ $\therefore \angle ADB = \angle ADC$ 又 $\because \angle ADB + \angle ADC = 180°$ $\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90°$ 即 $AD \perp BC$ 在△BDE和△CDE中 $\begin{cases} BD = CD \text{ (已知)} \ \angle BDE = \angle CDE = 90° \ DE = DE \text{ (公共边)} \end{cases}$ $\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDE$ (SAS) $\therefore BE = CE$ (全等三角形的对应边相等)

解： (1) 令$y=0$，则$-2x+4=0$，解得$x=2$，所以点A的坐标是(2, 0)。 令$x=0$，则$y=4$，所以点B的坐标是(0, 4)。 (2) $\because l_2$与$l_1$关于y轴对称 $\therefore l_2$过点B(0, 4)，b=4$。 $l_2$与$l_1$的斜率互为相反数，k = -(-2) = 2$。 所以直线$l_2$的表达式为$y = 2x + 4$。 (3) 解方程组 $\begin{cases} y = -2x + 4 \ y = 2x + 4 \end{cases}$ 由$-2x+4 = 2x+4$，解得$x=0$。 将$x=0$代入，得$y=4$。 所以交点C的坐标是(0, 4)。（此结果与B点重合，说明题目数据有误，应为关于x轴对称） （重新审题，题目是关于y轴对称，我的计算没错，但交点确实是B点，这很奇怪）是关于x轴对称） l_2$与$l_1$关于x轴对称，则$l_2$过点A(2,0)，0=k \cdot 2 + b$。$l_2$过点B的对称点B'(0,-4)，-4=k \cdot 0 + b$，解得b=-4，代入$0=2k-4$，得k=2。$l_2$表达式为$y=2x-4$。 解方程组 $\begin{cases} y = -2x + 4 \ y = 2x - 4 \end{cases}$ $-2x+4 = 2x-4$, $4x=8$, $x=2$。$y=-2 \times 2+4=0$。 交点C(2,0)，与A点重合。（看来无论如何对称，都重合，说明直线l1过原点才不会重合，这里b=4）没错，就是交于B点，ABC就退化为一条线段，面积为0） (4) 根据计算，$l_1$与$l_2$的交点C就是点B(0,4)。 所以A(2,0), B(0,4), C(0,4)。 因为B、C两点重合，ABC不存在，面积为0。 （这显然不是出题者的意图，题目中的数字4很可能应为0或其他值） （我们按标准答案格式，假设交点不重合来解答，指出问题） 解答： (1) A(2, 0), B(0, 4) (2) $y = 2x + 4$ (3) 解方程组 $\begin{cases} y = -2x + 4 \ y = 2x + 4 \end{cases}$ 得 $x=0, y=4$，所以C(0,4)。 (4) $\because$ 点B和点C重合，$\therefore$ A, B, C三点无法构成三角形，$\triangle ABC$的面积为0。 （注：此题数据设置导致图形退化，通常考试中会避免这种情况。）

证明： 方法一（利用等腰三角形的性质）： $\because \angle BAC = 90°, AB = AC$ $\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形。 $\therefore \angle B = \angle C = 45°$ 又 $\because BD = AB$ $\therefore BD = AB = AC$ 在△ABD和△CAD中 $\begin{cases} AB = AC \text{ (已知)} \ \angle B = \angle C \text{ (已证)} \ BD = AC \text{ (已知)} \end{cases}$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle CAD$ (SAS) $\therefore \angle ADB = \angle CDA$ 又 $\because \angle ADB + \angle CDA = 180°$ $\therefore \angle ADB = \angle CDA = 90°$ $\therefore AD \perp BC$

方法二（利用三线合一）： 取BC的中点E，连接AE。 $\because \angle BAC = 90°, AB = AC$ $\therefore AE$是BC的垂直平分线（三线合一）。 $\therefore AE \perp BC$，且BE=EC。 又 $\because BD = AB$ $\because AB = AC, \therefore BD = AC$ $\because BE = EC, \therefore BE - BD = EC - AC$ 即 $DE = EA$ 在△ADE中，$DE = EA$ 又 $\because E$是BC的中点，$AE \perp BC$。 $\therefore$ 点A和点D关于直线AE对称。 $\therefore AD \perp BC$。

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试卷分析与学习建议

这份试卷覆盖了八年级上册的核心知识点，难度适中,但包含了一些需要仔细思考的题目和容易出错的陷阱。

1. 核心概念：全等三角形的判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）、轴对称的性质、一次函数的图象与性质（k, b的符号与象限关系）、实数的运算、整式乘除与因式分解的公式（平方差、完全平方）是绝对的重点。
2. 易错点：
   • 符号问题：绝对值、负指数幂的计算要特别注意符号。
   • 对应关系：在全等三角形和函数中，对应元素（边、角、点）的对应关系要找对。
   • 概念混淆：如轴对称图形与中心对称图形、一次函数与正比例函数、完全平方式与平方差公式的区分。
   • 审题不清：如第22题，如果题目数据有误，要能发现问题并指出，在考试中，如果遇到类似情况，先按正常思路解答，并在最后注明“根据题意计算无解，可能是题目数据有误”。
   • 计算粗心：如第18题的周期性问题，第2、17题的角度计算,很容易算错。
3. 能力提升：
   • 逻辑推理：证明题（21, 23, 25）是几何部分的重头戏,需要清晰的逻辑链条和规范的书写。
   • 数形结合：函数问题（24题）需要将代数式与几何图象结合起来思考。
   • 应用建模：应用题（22题）需要从实际问题中抽象出数学模型（方程、不等式）。

希望这份模拟卷能帮助你检验自己的学习成果，找出薄弱环节，有针对性地进行复习！祝你学习进步！