九年级上册数学期中卷重点难点有哪些？

校园之窗 2026年1月16日 13:16:01 99ANYc3cd6 1 0

九年级上册数学期中模拟试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

（图片来源网络，侵删）

本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
答案全部填写在答题卡上,写在本试卷上无效。
做题时，请将答案用2B铅笔填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm黑色签字笔书写。

第I卷（选择题共30分）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

方程 $(x-1)^2 = 4$ 的解是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$ B. $x_1 = 3, x_2 = 1$ C. $x_1 = -3, x_2 = 1$ D. $x_1 = -3, x_2 = -1$
下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x - 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2 + 3x$ D. $y = (x-1)^2$
用配方法解方程 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 3$ B. $(x-2)^2 = 5$ C. $(x+2)^2 = 3$ D. $(x+2)^2 = 5$
（图片来源网络，侵删）
抛物线 $y = (x-2)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(2, 3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, -3)$ D. $(-2, -3)$
已知一元二次方程 $x^2 - 3x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k > -\frac{9}{4}$ B. $k < -\frac{9}{4}$ C. $k > \frac{9}{4}$ D. $k < \frac{9}{4}$
如图，$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是 A. $AB \parallel A'B'$ B. $OA = OA'$ C. $\angle A = \angle A'$ D. $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ (注：此处为示意图，实际考试中会有图形)
在半径为5的圆中，弦AB的长为8，则圆心O到弦AB的距离为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A. $a > 0, b > 0, c > 0$ B. $a < 0, b > 0, c > 0$ C. $a < 0, b < 0, c > 0$ D. $a < 0, b > 0, c < 0$ (注：此处为示意图，开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴)
一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 A. $15\pi$ B. $30\pi$ C. $45\pi$ D. $75\pi$
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，且$\angle ACB = 65^\circ$，则$\angle P$的度数是 A. $50^\circ$ B. $60^\circ$ C. $65^\circ$ D. $70^\circ$ (注：此处为示意图，P在圆外，PA、PB为切线)

第II卷（非选择题共90分）

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

方程 $x^2 - 2x = 0$ 的根是 ____。
抛物线 $y = 2x^2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是 ____。
已知点 $A(2, -3)$ 关于原点对称的点是 $A'$，则 $A'$ 的坐标是 ____。
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，$\angle BAC = 30^\circ$，若AB = 8，则BC = ____。 (注：此处为示意图，AB为直径，C在圆上)
若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 4x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的非负整数值为 ____。
如图，菱形 $ABCD$ 的边长为2，$\angle ABC = 60^\circ$，则以 $AC$ 为边的正方形的面积为 ____。 (注：此处为示意图，菱形ABCD，角B为60度)

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本题8分）解方程：$(2x-1)^2 - 3(2x-1) = 0$
（本题8分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$。 (1) 若该方程有两个相等的实数根，求 $m$ 的值。 (2) 若该方程的一个根为1，求 $m$ 的另一个根。
（本题10分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2) 求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标。 (3) 画出这个函数的大致图象。
（本题10分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边的中点，将 $\triangle ABD$ 绕点 $D$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle ECD$。 (1) 求证：四边形 $ABEC$ 是平行四边形。 (2) 若 $AB = 6, AC = 8$，求线段 $AE$ 的长。 (注：此处为示意图，三角形ABC，D是BC中点，旋转后得到ECD)
（本题12分）某商店销售一种商品，成本为每件40元，经市场调查发现，若按每件50元销售，每月能卖出100件，在此基础上，售价每提高1元，销售量就减少2件，设售价为 $x$ 元（$x > 50$），每月的销售利润为 $y$ 元。 (1) 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当售价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
（本题12分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径的⊙O交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，连接 $AD$、$DE$。 (1) 求证：$\angle BAD = \angle C$。 (2) 求证：$DE$ 是⊙O的切线。 (注：此处为示意图，等腰三角形ABC，AB为直径的圆)
（本题12分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$ 和点 $B(3, 0)$。 (1) 求该抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线上一动点，且位于x轴下方，求 $\triangle ABP$ 面积的最大值。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的点，且 $\triangle ABM$ 是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点 $M$ 的坐标。

参考答案与解析

第I卷

第II卷

填空题 11. $x_1 = 0, x_2 = 2$ 12. $y = 2(x+3)^2 - 1$ 13. $(-2, 3)$ 14. $4$ 15. $0, 1$ 16. $8$ (提示：连接BD,利用菱形和等边三角形性质求出AC)

解答题

解：$(2x-1)^2 - 3(2x-1) = 0$ $(2x-1)(2x-1-3) = 0$ $(2x-1)(2x-4) = 0$ $2x-1 = 0$ 或 $2x-4 = 0$ $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$
解：(1) $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times m = 0$ $16 - 4m = 0$ $m = 4$ (2) 将 $x=1$ 代入方程：$1^2 - 4 \times 1 + m = 0$ $1 - 4 + m = 0$ $m = 3$ 设方程的另一根为 $x_2$，由根与系数关系得：$1 \cdot x_2 = m = 3$ $x_2 = 3$。
解：(1) $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$ 顶点坐标为 $(1, -4)$，对称轴为直线 $x=1$。 (2) 令 $y=0$，即 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$。所以与x轴交点为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$。令 $x=0$，得 $y = -3$。所以与y轴交点为 $(0, -3)$。 (3) 图象略（开口向上的抛物线，顶点在(1,-4)，过(-1,0), (0,-3), (3,0)）
解：(1) $\because \triangle ABD$ 绕点 $D$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle ECD$， $\therefore AD = CE, BD = CD, \angle ADB = \angle EDC$。 $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ECD$ (SAS)。 $\therefore AB = EC, \angle ABD = \angle ECD$。 $\therefore AB \parallel EC$。又 $\because AB = EC$， $\therefore$ 四边形 $ABEC$ 是平行四边形。 (2) $\because$ 四边形 $ABEC$ 是平行四边形， $\therefore AE = BC$。在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 6, AC = 8$，$D$ 是 $BC$ 中点， $\therefore AD$ 是中线，由中线长公式（或坐标系法）可得： $AD = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$。由 $AD^2 + CD^2 = AC^2$，设 $BC = 2x$，则 $CD = x$。 $AD^2 + x^2 = 64$，又 $AD^2 + x^2 = AB^2 = 36$，此法有误。 正确解法：在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 中点。 $\because AB = 6, AC = 8$， $\therefore AD$ 是中线，在 $\triangle ABD$ 中，由勾股定理： $AD^2 = AB^2 - BD^2$。在 $\triangle ADC$ 中，$AD^2 = AC^2 - DC^2$。设 $BD = DC = x$，则 $6^2 - x^2 = 8^2 - x^2$，此路不通。 使用坐标系法：以 $B$ 为原点，$BC$ 为x轴建立坐标系，设 $B(0,0), C(2x,0)$。$A(a,b)$。 $AB^2 = a^2+b^2=36, AC^2=(a-2x)^2+b^2=64$。相减得：$(a-2x)^2 - a^2 = 28$，$-4ax+4x^2=28$。 $D(x,0)$。$AD^2=(a-x)^2+b^2$。 $AD^2 = a^2-2ax+x^2+b^2 = (a^2+b^2) + x^2 - 2ax = 36 + x^2 - 2ax$。由 $-4ax+4x^2=28$ 得 $-ax+x^2=7$。 $AD^2 = 36 + 7 = 43$。在 $\triangle ADE$ 中，$AD=DE=\sqrt{43}$，$\angle ADE=180^\circ$。 $AE = AD + DE = 2\sqrt{43}$。 更简单方法：在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 中点，则 $AE=2AD$。 $AD$ 是中线，由中线长公式：$AD = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}$。需要求 $BC$，在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理： $\cos B = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$。 终极简单方法：连接 $CD$，因为 $D$ 是中点，$AD$ 是中线。在 $\triangle ABD$ 中，$AD^2 = AB^2 - BD^2$。在 $\triangle ADC$ 中，$AD^2 = AC^2 - DC^2$。这两个式子不能直接用。发现题目条件不足，无法确定AE长度。 重新审题：题目“若 $AB = 6, AC = 8$”，但没有给 $BC$ 的长度，$AE$ 的长度不固定，此题可能有误，或者默认 $BC$ 是某个值，如果按 $BC=2\sqrt{7}$ 计算，$AD=\sqrt{43}$，$AE=2\sqrt{43}$，这里按此逻辑给出答案。 $AE = 2\sqrt{43}$。
解：(1) 每件商品的利润为 $(x - 40)$ 元。销售量为 $(100 - 2(x - 50)) = (200 - 2x)$ 件。 $y = (x - 40)(200 - 2x)$ $y = -2x^2 + 280x - 8000$。 (2) $y = -2(x^2 - 140x) - 8000$ $y = -2(x-70)^2 + 9800 - 8000$ $y = -2(x-70)^2 + 1800$。因为 $a = -2 < 0$，所以当 $x = 70$ 时，$y$ 有最大值。最大利润为 $1800$ 元。答：当售价定为70元时，每月销售利润最大,最大利润是1800元。
解：(1) 连接 $BD$。 $\because AB$ 是直径，$\therefore \angle ADB = 90^\circ$。在 $\triangle ABD$ 中，$\angle BAD + \angle B = 90^\circ$。在 $\triangle ABC$ 中，$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle C$。 $\therefore \angle BAD + \angle C = 90^\circ$。 (2) 连接 $OE$，要证 $DE$ 是切线，只需证 $OE \perp DE$。 $\because AB$ 是直径，$E$ 在圆上，$\therefore \angle AEB = 90^\circ$。 $\therefore \angle AED + \angle BED = 90^\circ$。 $\because \angle BAD = \angle C$，$\angle BED = \angle C$ (同弧所对的圆周角相等)， $\therefore \angle BAD = \angle BED$。 $\because OA = OE$，$\therefore \angle OAE = \angle OEA$。 $\because \angle AED = \angle OEA - \angle OED$， $\angle BAD = \angle OAE - \angle OAD$。 更优方法：连接 $OD$。 $\because D$ 是 $BC$ 中点，$AB=AC$，$\therefore AD \perp BC$。 $\because AB$ 是直径，$\therefore \angle ADB = 90^\circ$，即 $AD \perp BD$。 $\therefore AD$ 是垂直平分线，$\therefore AD$ 过圆心 $O$。 $\therefore$ 点 $O, A, D$ 在同一直线上。 $\because OA = OE$，$\therefore \angle OAE = \angle OEA$。 $\because \angle BAD = \angle C$，$\angle BED = \angle C$， $\therefore \angle BAD = \angle BED$。 $\therefore \angle OAE = \angle BED$。 $\because \angle AED = \angle OED - \angle OEA$， $\angle BAD = \angle OED - \angle OAD$。 再次思考：$\angle OAD = \angle ODA$。 $\angle BED = \angle BAD$。 $\angle OED = \angle OEA + \angle AED$。 $\angle ODA = \angle BAD + \angle ABD$。 使用全等：$\triangle OAD \cong \triangle OED$ (HL)。$OA=OE, OD=OD$。 $\angle OAD = \angle OED$。 $\because \angle ADB = 90^\circ$，$\angle OAD + \angle ABD = 90^\circ$。 $\angle OED + \angle ABD = 90^\circ$。 $\because \angle BED = \angle ABD$，$\therefore \angle OED + \angle BED = 90^\circ$。即 $\angle OED + \angle AED = 90^\circ$。 $\therefore \angle OED = 90^\circ$。 $\therefore DE \perp OE$。 $\because OE$ 是半径， $\therefore DE$ 是⊙O的切线。
解：(1) 将 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y = -x^2 + bx + c$。 $\begin{cases} -(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \ -(3)^2 + b(3) + c = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} -1 - b + c = 0 \ -9 + 3b + c = 0 \end{cases}$ 解得：$b=2, c=3$。所以抛物线解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (2) 设 $P(x, y_p)$，$y_p < 0$。 $\triangle ABP$ 的面积 $S = \frac{1}{2} \times AB \times |y_p|$。 $AB = 3 - (-1) = 4$。 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times |y_p| = 2|y_p|$。要使 $S$ 最大，需使 $|y_p|$ 最大，即 $y_p$ 最小。 $y_p = -x^2 + 2x + 3 = -(x-1)^2 + 4$。当 $x=1$ 时，$y_p$ 最大值为4，要求 $P$ 在x轴下方，$y_p < 0$。令 $y_p < 0$，即 $-x^2 + 2x + 3 < 0$，解得 $x < -1$ 或 $x > 3$。当 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，$y_p \to -\infty$。 $yp$ 没有最小值，面积 $S$ 也没有最大值。 题目有误，应改为“求面积的最大值”或“P在抛物线顶点下方”。 按常规理解，P在AB之间的抛物线上方，求最大面积。当 $P$ 在顶点 $(1,4)$ 时，面积最大。 $S{max} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$。 按原题“P在x轴下方”理解，面积为 $2|y_p|$，$y_p$ 可以无限小，面积无限大，无最大值。 此题可能为“求 $\triangle ABP$ 面积的最大值”，P为任意点。 假设题目为求最大值，答案为8。 (3) 设 $M(x, -x^2+2x+3)$。 $\because \triangle ABM$ 是以AB为斜边的直角三角形， $\therefore M$ 在以AB为直径的圆上，且 $M \ne A, M \ne B$。以AB为直径的圆，圆心为 $(1,0)$，半径为 $2$。圆的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 4$。联立抛物线方程 $y = -x^2+2x+3$。 $(x-1)^2 + (-x^2+2x+3)^2 = 4$。设 $t=x-1$，则 $x=t+1$。 $t^2 + (-(t+1)^2+2(t+1)+3)^2 = 4$。 $t^2 + (-(t^2+2t+1)+2t+2+3)^2 = 4$。 $t^2 + (-t^2+4)^2 = 4$。 $t^2 + t^4 - 8t^2 + 16 = 4$。 $t^4 - 7t^2 + 12 = 0$。 $(t^2-3)(t^2-4) = 0$。 $t^2=3$ 或 $t^2=4$。 $t=\pm\sqrt{3}$ 或 $t=\pm2$。 $t=2$ 时，$x=3$，为点 $B$。 $t=-2$ 时，$x=-1$，为点 $A$。 $t=\sqrt{3}$ 时，$x=1+\sqrt{3}$，$y=-(1+\sqrt{3})^2+2(1+\sqrt{3})+3 = -1-2\sqrt{3}-3+2+2\sqrt{3}+3 = 1$。 $t=-\sqrt{3}$ 时，$x=1-\sqrt{3}$，$y=-(1-\sqrt{3})^2+2(1-\sqrt{3})+3 = -1+2\sqrt{3}-3+2-2\sqrt{3}+3 = 1$。所以点 $M$ 的坐标为 $(1+\sqrt{3}, 1)$ 或 $(1-\sqrt{3}, 1)$。