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二次根式化简与计算 ** 计算与化简： (1) $\sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$ (2) $(\sqrt{5} - 2)^0 + \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} - |1 - \sqrt{2}|$

考查知识点： 二次根式的加减乘除、最简二次根式、零指数幂、绝对值的化简。

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勾股定理及其逆定理的应用 ** 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 90^\circ$，$AB=6$，$BC=8$，$CD=10$，$AD=10$，求四边形 $ABCD$ 的面积。

（请自行在脑海中或纸上画一个图：B点为直角顶点，AB和BC是两条直角边，然后连接C到D和A到D，长度均为10）

考查知识点： 勾股定理、勾股定理的逆定理、不规则图形面积的计算（分割法）。

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一次函数与二元一次方程组 ** 已知一次函数 $y = kx + b$ 的图像经过点 $A(2, 4)$ 和点 $B(-1, -5)$。 (1) 求这个一次函数的表达式。 (2) 判断点 $P(1, 1)$ 是否在这个函数的图像上。 (3) 求这个一次函数图像与两坐标轴围成的三角形的面积。

考查知识点： 用待定系数法求一次函数解析式、点的坐标与函数图像的关系、求直线与坐标轴的交点、三角形面积计算。

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平行四边形的性质与判定 ** 如图，在 $\square ABCD$ 中，$E$、$F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$。 求证：$BE = DF$。

（请自行在脑海中或纸上画一个平行四边形ABCD，画出对角线AC，在AC上取两点E和F，使得AE=CF，连接BE和DF）

考查知识点： 平行四边形的性质（对边平行且相等、对角线互相平分）、全等三角形的判定与性质（SAS）。

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数据分析 ** 为了了解某小区居民对垃圾分类知识的掌握情况，随机抽取了20名居民进行测试，将他们的成绩（单位：分）进行整理后，得到了如下频数分布表：

成绩分组	频数（人数）
$60 \leq x < 70$	2
$70 \leq x < 80$	6
$80 \leq x < 90$	a
$90 \leq x \leq 100$	4

已知这组成绩的平均数是82分,众数是85分。 (1) 求出频数分布表中a的值。 (2) 求这20名居民成绩的中位数。 (3) 如果成绩在80分及以上为“优秀”，请估计该小区1000名居民中，大约有多少人达到“优秀”水平？

考查知识点： 频数分布表、平均数、中位数、众数的概念与计算、用样本估计总体。

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答案与解析

题目一答案

(1) 解： $\sqrt{48} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$ $= \sqrt{16 \times 3} - \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{9 \times 3}$ $= 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$ $= (4 - 2 + 3)\sqrt{3}$ $= 5\sqrt{3}$

(2) 解： $(\sqrt{5} - 2)^0 + \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} - |1 - \sqrt{2}|$ $= 1 + \sqrt{18 \times \frac{1}{2}} - (\sqrt{2} - 1)$ （任何非零数的0次幂等于1；因为 $\sqrt{2} > 1$，$|1-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1$） $= 1 + \sqrt{9} - \sqrt{2} + 1$ $= 1 + 3 - \sqrt{2} + 1$ $= 5 - \sqrt{2}$

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题目二答案

解： 连接对角线 $BD$。 因为 $\angle ABC = 90^\circ$，$AB=6$，$BC=8$， 根据勾股定理，在 $\triangle ABC$ 中： $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $AC = \sqrt{100} = 10$。

在 $\triangle ACD$ 中，$AC=10$，$CD=10$，$AD=10$。 因为 $AC^2 + CD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$， 而 $AD^2 = 10^2 = 100$。 因为 $AC^2 + CD^2 \neq AD^2$，$\triangle ACD$ 不是直角三角形。 （此步骤是为了严谨，但本题最简单的方法是分割）

更简单的方法（分割法）： 连接对角线 $BD$。 四边形 $ABCD$ 的面积 = $\triangle ABC$ 的面积 + $\triangle ACD$ 的面积。

1. 计算 $\triangle ABC$ 的面积： $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$。
2. 计算 $\triangle ACD$ 的面积： 因为 $AC=10$，$CD=10$，$AD=10$，$\triangle ACD$ 是一个等边三角形。 等边三角形的面积公式为 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。 $S_{\triangle ACD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3}$。
3. 计算四边形面积： $S{\text{四边形 } ABCD} = S{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 24 + 25\sqrt{3}$。

答案： 四边形 $ABCD$ 的面积为 $24 + 25\sqrt{3}$。

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题目三答案

(1) 解： 因为函数图像经过点 $A(2, 4)$ 和 $B(-1, -5)$， $\begin{cases} 4 = 2k + b \ -5 = -k + b \end{cases}$ ① - ② 得：$4 - (-5) = (2k + b) - (-k + b)$ $9 = 3k$ $k = 3$ 将 $k=3$ 代入 ① 得：$4 = 2 \times 3 + b$ $4 = 6 + b$ $b = -2$ 这个一次函数的表达式为 $y = 3x - 2$。

(2) 解： 当 $x=1$ 时，$y = 3 \times 1 - 2 = 1$。 因为点 $P(1, 1)$ 的坐标满足函数关系式 $y=3x-2$， 所以点 $P(1, 1)$ 在这个函数的图像上。

(3) 解： 令 $x=0$，则 $y = 3 \times 0 - 2 = -2$。 函数图像与y轴的交点为 $C(0, -2)$。 令 $y=0$，则 $0 = 3x - 2$，解得 $x = \frac{2}{3}$。 函数图像与x轴的交点为 $D(\frac{2}{3}, 0)$。 这个一次函数图像与两坐标轴围成的三角形是 $\triangle COD$。 其面积 $S = \frac{1}{2} \times OC \times OD = \frac{1}{2} \times |-2| \times |\frac{2}{3}| = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$。

答案： (1) $y = 3x - 2$ (2) 点 $P$ 在图像上 (3) 面积为 $\frac{2}{3}$

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题目四答案

证明： 在 $\square ABCD$ 中， $\because$ 对角线互相平分， $\therefore AO = CO$，$BO = DO$。 （O为对角线AC和BD的交点） 又 $\because AE = CF$， $\therefore AO - AE = CO - CF$， 即 $EO = FO$。 在 $\triangle EOB$ 和 $\triangle FOD$ 中， $\begin{cases} BO = DO & \text{(已证)} \ EO = FO & \text{(已证)} \ \angle EOB = \angle FOD & \text{(对顶角相等)} \end{cases}$ $\therefore \triangle EOB \cong \triangle FOD$ （SAS） $\therefore BE = DF$ （全等三角形的对应边相等）

证毕。

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题目五答案

(1) 解： 总人数为20人，$2 + 6 + a + 4 = 20$。 $12 + a = 20$ $a = 8$。

(2) 解： 将20名居民的成绩按从小到大的顺序排列： 前两组有 $2 + 6 = 8$ 人。 第三组（$80 \leq x < 90$）有8人。 第9名和第10名居民的成绩都在第三组（$80 \leq x < 90$）中。 这组成绩的中位数落在 $80 \leq x < 90$ 这个区间内，要求给出具体数值，则需要原始数据，这里根据题目给出的信息，只能确定中位数所在的区间，通常在考试中，如果数据不全，会问“中位数落在哪个组别？”*） 修正： 题目说众数是85分，说明80-90这个组里85分出现次数最多，中位数是第10和第11个数的平均数，第10个数在80-90组，第11个数也在80-90组，所以中位数也在80-90之间，由于我们不知道具体数值，无法算出精确的中位数。这是一个很好的题目，提醒我们数据的局限性。有笔误，比如总人数是21人，那么中位数就是第11个数，在80-90组，我们按最常见的20人来处理，答案为：中位数在 $80 \leq x < 90$ 这个分数段内。

(3) 解： 成绩在80分及以上的“优秀”人数 = 第三组人数 + 第四组人数 = $a + 4 = 8 + 4 = 12$ 人。 样本中“优秀”的频率 = $\frac{12}{20} = 0.6$。 用样本估计总体，该小区1000名居民中，大约有： $1000 \times 0.6 = 600$ 人达到“优秀”水平。

答案： (1) a 的值是 8。 (2) 这20名居民成绩的中位数落在 80 ≤ x < 90 的分数段内。 (3) 大约有 600 名居民达到“优秀”水平。