九年级上册图形的旋转

旋转的定义

什么是旋转？

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

• 定点：称为旋转中心。
• 方向：通常是顺时针或逆时针方向。
• 角度：称为旋转角。

旋转的三个关键要素

任何一个旋转，都必须明确以下三个要素,缺一不可：

• 旋转中心：绕着哪个点转。
• 旋转方向：顺时针还是逆时针。
• 旋转角度：转了多少度。

【举例】 如图，△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到 △A'B'C'。

• 旋转中心：点 O
• 旋转方向：逆时针
• 旋转角度：90°

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旋转的性质

图形在旋转过程中，虽然位置发生了改变，但有些量是保持不变的，这些不变的量就是旋转的性质,也是我们解题的依据。

对应点到旋转中心的距离相等。

• OA = OA'，OB = OB'，OC = OC'。

任意两组对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

• ∠AOA' = ∠BOB' = ∠COC' = 旋转角 (90°)。

旋转前后，图形的形状和大小没有改变，即旋转是全等变换

• △ABC ≌ △A'B'C'。
• 对应边相等：AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'。
• 对应角相等：∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。

【记忆口诀】 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 对应点到中心的距离相等，对应点与中心连线夹的角等于旋转角。

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旋转作图

作图步骤（三步法）

1. 找关键点：在原图形上确定几个关键点（通常是顶点）。
2. 作对应点：
   • 连接：将每个关键点与旋转中心连接起来。
   • 旋转：以旋转中心为顶点，利用量角器画出旋转角,得到新的射线。
   • 截取：在新的射线上，截取与原关键点到旋转中心距离相等的长度,找到对应点。
3. 连线成图：顺次连接各个对应点,得到旋转后的图形。

【例题】 将线段 AB 绕点 O 逆时针旋转 60°，画出旋转后的线段 A'B'。

作图步骤：

1. 连接 OA 和 OB。
2. 以点 O 为顶点，OA 为一边，用量角器画一个 60° 的角，得到射线 OA'，在 OA' 上截取 OA' = OA，得到点 A'。
3. 同理，以点 O 为顶点，OB 为一边，画一个 60° 的角，得到射线 OB'，在 OB' 上截取 OB' = OB，得到点 B'。
4. 连接 A' 和 B'，线段 A'B' 即为所求。

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旋转对称图形

定义 如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于 360°）后，能与原来的图形完全重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形。

中心对称图形 旋转对称图形中，最特殊的一种是旋转 180° 后能与原图形重合的图形，这种图形称为中心对称图形，这个旋转中心也称为对称中心。

【常见旋转对称图形举例】

图形	旋转角度	是否为中心对称图形
线段	180°	是
矩形	180°	是
菱形	180°	是
正方形	90°, 180°, 270°	是
等边三角形	120°, 240°	否
圆	任意角度	是
平行四边形	180°	是

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坐标系中的旋转

在平面直角坐标系中，图形的旋转可以通过坐标变换来实现,这是中考的重点和难点。

旋转中心为原点 (0,0)

这是最基本的情况,记住以下结论即可：

旋转方向	旋转角度	原坐标	新坐标	记忆口诀
逆时针	90°	(x, y)	(-y, x)	左上，x变y，y变-x
顺时针	90°	(x, y)	(y, -x)	右下，x变y，y变-x
任意方向	180°	(x, y)	(-x, -y)	关于原点对称

【巧记方法】

• 90°旋转：想象点 (x, y) 在第一象限。
  • 逆时针转 90°，到了第二象限，x 坐标变负，y 坐标不变。(-y, x)。
  • 顺时针转 90°，到了第四象限，y 坐标变负，x 坐标不变。(y, -x)。
• 180°旋转：相当于关于原点对称,横纵坐标都取相反数。

旋转中心为任意点 (a, b)

这种情况比较复杂，通常使用平移法（又称“化归法”）：

步骤：

1. 平移：将整个图形（包括旋转中心）平移，使得旋转中心与原点重合，即所有点的坐标都减去 (a, b)。
   • 原坐标 (x, y) → 新坐标 (x-a, y-b)。
2. 旋转：按照原点旋转的规律，对新坐标进行旋转。
   • 逆时针旋转 90°：(x-a, y-b) → (-(y-b), x-a)。
3. 平移回去：将旋转后的图形平移回原来的位置，即所有点的坐标都加上 (a, b)。
   • (-(y-b), x-a) → (-(y-b)+a, x-a+b) = (a - y + b, x - a + b)。

【例题】 点 P(x, y) 绕点 A(a, b) 逆时针旋转 90° 后的坐标 P' 是什么？ 解：

1. 平移：P(x, y) → P₁(x-a, y-b)
2. 旋转：P₁(x-a, y-b) → P₂(-(y-b), x-a) = P₂(b-y, x-a)
3. 平移回去：P₂(b-y, x-a) → P'(b-y+a, x-a+b)

点 P(x, y) 绕点 A(a, b) 逆时针旋转 90° 后的坐标为 P'(a - y + b, x - a + b)。 （这个公式很复杂，强烈建议掌握方法，而不是死记硬背公式！）

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旋转在解题中的应用

旋转是一种重要的几何变换思想,常用于解决以下问题：

1. 构造全等三角形：通过旋转，将分散的线段或角集中起来，构造出全等三角形,利用全等三角形的性质来证明线段相等或角相等。

   • 经典模型：正方形中，以顶点为旋转中心，旋转 90°,可以构造全等三角形。

2. 计算角度和线段长度：利用旋转的性质,将未知的角度或线段转移到已知的位置进行计算。

3. 求图形面积：通过旋转，将不规则图形拼凑成规则图形,便于计算面积。

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学习建议与常见误区

学习建议：

1. 动手操作：多在纸上画一画，用直尺和量角器亲自操作旋转的过程,加深对旋转性质的理解。
2. 数形结合：将图形旋转与坐标变换结合起来,理解坐标变化的几何意义。
3. 总结模型：总结常见的旋转模型，如“一线三等角”、“手拉手模型”等,提高解题效率。
4. 规范作图：作图步骤要清晰、规范,这是解题思路的体现。

常见误区：

1. 混淆旋转方向：顺时针和逆时针旋转 90° 后的坐标结果不同,一定要分清楚。
2. 忽略旋转中心：不明确旋转中心,导致作图或计算错误。
3. 混淆旋转与平移：平移是“沿直线移动”，旋转是“绕定点转动”，运动方式不同,性质也不同。
4. 坐标系中旋转中心不是原点：忘记使用“平移-旋转-平移”的方法,直接套用原点旋转的公式。

希望这份详细的梳理能帮助你全面掌握“图形的旋转”这一章节！加油！